Биномиальный процесс

Биномиальный процесс является специальным точечным процессом в теории вероятности .

Определение

Позволять $P$ быть распределением вероятностей и $n$ быть фиксированным естественным числом. Позволять $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ быть случайными переменными IID с распределением $P$, так $X_{i}\sim P$ для всех $i\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Тогда биномиальный процесс, основанный на N и P, является случайной мерой

$\xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},$

где $\delta _{X_{i}(A)}={\begin{cases}1,&{\text{if }}X_{i}\in A,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Характеристики

Имя

Название биномиального процесса получено из того факта, что для всех измеримых наборов $A$ переменная Случайная $\xi (A)$ следует биномиальному распределению с параметрами $P(A)$ и $n$:

$\xi (A)\sim \operatorname {Bin} (n,P(A)).$

Лаплас-трансформ

Преобразование Лапласа биномиального процесса определяется

${\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{n}$

Для всех положительных измеримых функций $f$.

Мера интенсивности

Мера интенсивности $\operatorname {E} \xi$ биномиальный процесс $\xi$ дано

$\operatorname {E} \xi =nP.$

Обобщения

Обобщение биномиальных процессов представляет собой смешанные биномиальные процессы . В этих точечных процессах количество точек не детерминированно, как с биномиальными процессами, но определяется случайной переменной $K$Полем Поэтому смешанные биномиальные процессы, обусловленные на $K=n$ биномиальный процесс на основе $n$ и $P$.

Литература

• Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Спрингер. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN  978-3-319-41596-3 .