Общий процесс обновления

В математической теории вероятностей обобщенный процесс обновления (GRP) или процесс G-обновления представляет собой стохастический точечный процесс, используемый для моделирования поведения отказов/ремонтов ремонтопригодных систем в технике обеспечения надежности . Точечный процесс Пуассона является частным случаем GRP.

Вероятностная модель

Виртуальный возраст

Процесс G-обновления представлен Кидзимой и Сумитой через понятие виртуальной эпохи .

$y_{i}=qt_{i}$

где:

$t_{i}$ и $y_{i}$ реальный и виртуальный возраст (соответственно) системы в момент/после i ^й ремонт,

$q$ – коэффициент восстановления (он же коэффициент эффективности ремонта),

$q=0$, представляет собой состояние идеального ремонта, при котором возраст системы после ремонта сбрасывается до нуля. Это условие соответствует обычному процессу обновления .

$q=1$, представляет собой состояние минимального ремонта, при котором состояние системы после ремонта остается таким же, как и перед ремонтом. Это условие соответствует неоднородному пуассоновскому процессу .

$0<q<1$, представляет собой состояние общего ремонта, при котором состояние системы находится между идеальным ремонтом и минимальным ремонтом. Это состояние соответствует Генерализованному процессу обновления .

Kaminskiy and Krivtsov расширил модели Кидзимы , допустив q > 1, так что ремонт повреждает (стареет) систему в большей степени, чем это было непосредственно перед соответствующим сбоем.

Уравнение G-обновления

Математически процесс G-обновления количественно определяется путем решения уравнения G-обновления:

$W(t)=\int _{0}^{t}(g(\tau \mid 0)+\int _{0}^{\tau }w(x)\cdot (g(\tau -x\mid x)\,dx)\,d\tau$

где,

$g(\tau \mid x)={\frac {(t+qx,\theta )}{1-F(qx,\theta )}}$ $t,x\geq 0$

$w(x)={\frac {dW(x)}{dx}}$

f ( t ) — функция плотности вероятности (PDF) основного распределения времени отказа,

F ( t ) — кумулятивная функция распределения (CDF) основного распределения времени отказа,

q – коэффициент восстановления,

${\theta }$ — вектор параметров основного распределения времени отказа.

Решение уравнения G-обновления в замкнутой форме невозможно. Кроме того, численные аппроксимации трудно получить из-за повторяющихся бесконечных рядов. Кривцовым . Подход к решению уравнения G-обновления, основанный на Монте-Карло, был разработан Каминисским и

Статистическая оценка

процесс G-обновления приобрел Практическое распространение в технике надежности лишь после того, как стали доступны методы оценки его параметров.

Подход Монте-Карло

Нелинейная LSQ-оценка процесса G-обновления была впервые предложена Каминским и Кривцовым. Случайное время между поступлениями из параметризованного процесса G-Renewal определяется следующим образом:

$X_{i}=F^{-1}(1-U_{i}[1-F(qS_{i-1})])-qS_{i-1}$

где,

$S_{i-1}$ совокупный реальный возраст до i ^й между прибытием,

$U_{i}$ — равномерно распределенная случайная величина,

$F$ представляет собой CDF базового распределения времени отказа.

Решение Монте-Карло впоследствии было улучшено. и реализован в виде веб-ресурса.

Подход максимального правдоподобия

Процедуры максимального правдоподобия впоследствии обсуждались Яньесом и др., и Меттас и Чжао. Оценка фактора восстановления G-обновления подробно рассмотрена Kahle & Love.

Метод регуляризации при оценке параметров ВРП

Оценка параметров процесса G-обновления является некорректной обратной задачей, поэтому решение может быть неединственным и чувствительным к входным данным. Кривцов и Евкин сначала предложил оценить основные параметры распределения, используя только время до первых сбоев. Затем полученные параметры используются в качестве исходных значений для второго шага, на котором все параметры модели (включая коэффициент(ы) восстановления) оцениваются одновременно. Такой подход позволяет, с одной стороны, избежать неактуальных решений (неправильных локальных максимумов или минимумов целевой функции), а с другой стороны, повысить скорость вычислений, поскольку количество итераций существенно зависит от выбранных начальных значений.

Ограничения

Одним из ограничений процесса общего обновления является то, что он не может учитывать ремонт «лучше, чем новый». Был разработан процесс обновления G1 , который применяет коэффициент восстановления к параметру срока службы распределения в масштабе местоположения, чтобы иметь возможность учитывать ремонт «лучше, чем новый» в дополнение к другим типам ремонта.