Теорема Кэмпбелла (вероятность)

Эта статья о случайных точечных процессах. Чтобы узнать о других значениях, см. Теорему Кэмпбелла (геометрия) .

В вероятностей и статистике теории теорема Кэмпбелла или теорема Кэмпбелла-Харди представляет собой либо конкретное уравнение , либо набор результатов, относящихся к математическому ожиданию функции , суммированной по точечному процессу , до интеграла, включающего среднюю меру точечного процесса, что позволяет расчет значения и дисперсии случайной . суммы ожидаемого Одна из версий теоремы, также известная как формула Кэмпбелла , влечет за собой интегральное уравнение для вышеупомянутой суммы по общему точечному процессу, а не обязательно по точечному процессу Пуассона. Также существуют уравнения, включающие меры моментов и факториальные меры момента , которые считаются версиями формулы Кэмпбелла. Все эти результаты используются в теории вероятностей и статистике, причем особое значение они имеют в теории точечных процессов. и теория массового обслуживания а также смежные области стохастической геометрии , теория перколяции континуума , и пространственная статистика .

Другой результат, называемый теоремой Кэмпбелла. предназначен специально для точечного процесса Пуассона и дает метод расчета моментов , а также функционал Лапласа точечного процесса Пуассона.

Название обеих теорем взято из работы Норман Р. Кэмпбелл о термоэлектронном шуме, также известном как дробовой шум , в электронных лампах , который был частично вдохновлен работой Эрнеста Резерфорда и Ганса Гейгера по обнаружению альфа-частиц , где точечный процесс Пуассона возник как решение семейства дифференциальных уравнений Гарри Бейтмана . В работе Кэмпбелла он представляет моменты и производящие функции случайной суммы процесса Пуассона на реальной прямой, но отмечает, что основной математический аргумент принадлежит Г.Х. Харди , что вдохновило этот результат на то, что его иногда называют методом Кэмпбелла-Харди. теорема .

Фон

Для точечного процесса $N$ определенный в d -мерном евклидовом пространстве ${\textbf {R}}^{d}$, Теорема Кэмпбелла предлагает способ вычисления математического ожидания действительной функции. $f$ определено также на ${\textbf {R}}^{d}$ и суммировал $N$, а именно:

$\operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right],$

где $E$ обозначает ожидание, а обозначение множества используется так, что $N$ рассматривается как случайное множество (см. Обозначение точечного процесса ). Для точечного процесса $N$, теорема Кэмпбелла связывает приведенное выше ожидание с мерой интенсивности $\Lambda$. По отношению к борелевскому множеству B мера интенсивности $N$ определяется как:

$\Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],$

где обозначение меры используется так, что $N$ считается случайной мерой подсчета . Количество $\Lambda (B)$ можно интерпретировать как среднее количество точек точечного процесса $N$ в множестве B. находится

Первое определение: общий точечный процесс

Одна из версий теоремы Кэмпбелла предназначена для общего (не обязательно простого) точечного процесса. $N$ с мерой интенсивности:

$\Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],$

известна как формула Кэмпбелла или теорема Кэмпбелла , дающий метод вычисления математических ожиданий сумм измеримых функций $f$ с диапазонами на реальной линии . Точнее, для точечного процесса $N$ и измеримая функция $f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}$, сумма $f$ точечный процесс задается уравнением:

$E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),$

где если одна часть уравнения конечна, то конечна и другая сторона. Это уравнение по существу является применением теоремы Фубини. и это справедливо для широкого класса точечных процессов, простых или нет. В зависимости от интегральных обозначений этот интеграл также можно записать как:

$\operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,$

Если мера интенсивности $\Lambda$ точечного процесса $N$ имеет плотность $\lambda (x)$, то формула Кэмпбелла примет вид:

$\operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx$

Стационарный точечный процесс

Для стационарного точечного процесса $N$ с постоянной плотностью $\lambda >0$, Кэмпбелла теорема или формула сводится к объемному интегралу:

$\operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,dx$

Это уравнение, естественно, справедливо для однородных точечных процессов Пуассона, которые являются примером стационарного случайного процесса .

Приложения: случайные суммы

Теорема Кэмпбелла для общих точечных процессов дает метод вычисления математического ожидания функции точки (точечного процесса), суммированной по всем точкам точечного процесса. Эти случайные суммы по точечным процессам находят применение во многих областях, где они используются в качестве математических моделей.

Шум выстрела

Кэмпбелл первоначально изучал проблему случайных сумм, пытаясь понять термоэлектронный шум в лампах, который также известен как дробовой шум. Следовательно, исследование случайных сумм функций по точечным процессам известно как дробовой шум в теории вероятностей и, в частности, в теории точечных процессов.

Помехи в беспроводных сетях

При беспроводной сетевой связи, когда передатчик пытается отправить сигнал приемнику, все остальные передатчики в сети могут рассматриваться как помехи, что создает ту же проблему, что и шум в традиционных проводных телекоммуникационных сетях с точки зрения способности отправлять данные на основе теории информации. Если предполагается, что расположение мешающих передатчиков образует некоторый точечный процесс, то дробовой шум можно использовать для моделирования суммы их мешающих сигналов, что привело к созданию моделей стохастической геометрии беспроводных сетей.

Нейронаука

Общий входной сигнал в нейронах представляет собой сумму многих синаптических входных сигналов с одинаковым временным ходом. Когда входные данные моделируются как независимый точечный процесс Пуассона, средний ток и его дисперсия определяются теоремой Кэмпбелла. Обычно рассматривается сумма со случайными амплитудами.

$S=\sum _{x\in {N}}a_{n}f(x)$

В этом случае кумулянты $\kappa _{i}$ из $S$ равный

$\kappa _{i}=\lambda {\overline {a^{i}}}\int f(x)^{i}dx$

где ${\overline {a^{i}}}$ сырые моменты распределения $a$.

Обобщения

Для общих точечных процессов существуют другие, более общие версии теоремы Кэмпбелла, в зависимости от природы случайной суммы и, в частности, функции, суммируемой по точечному процессу.

Функции нескольких точек

Если функция является функцией более чем одной точки точечного процесса, необходимы моментные меры или факториальные моментные меры точечного процесса, которые можно сравнить с моментами и факториалами случайных величин. Тип необходимой меры зависит от того, должны ли точки точечного процесса в случайной сумме быть различными или могут повторяться.

Повторяющиеся точки

Измерения момента используются, когда точкам разрешено повторяться.

Отличительные точки

Факторные меры момента используются, когда точкам не разрешено повторяться, следовательно, точки различны.

Функции точек и точечный процесс

Для общих точечных процессов теорема Кэмпбелла применима только для сумм функций одной точки точечного процесса. Чтобы вычислить сумму функции отдельной точки, а также всего точечного процесса, необходимы обобщенные теоремы Кэмпбелла с использованием распределения Пальма точечного процесса, которое основано на ветви вероятности, известной как теория Пальма или исчисление Пальма .

Второе определение: точечный процесс Пуассона.

Другая версия теоремы Кэмпбелла. говорит, что для точечного процесса Пуассона $N$ с мерой интенсивности $\Lambda$ и измеримая функция $f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}$, случайная сумма

$S=\sum _{x\in N}f(x)$

с абсолютно сходится вероятностью единица тогда и только тогда, когда интеграл

$\int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .$

При условии, что этот интеграл конечен, теорема далее утверждает, что для любого комплексного значения $\theta$ уравнение

$E(e^{\theta S})=\exp \left(\int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),$

выполняется, если интеграл в правой части сходится , что имеет место для чисто мнимых $\theta$. Более того,

$E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),$

и если этот интеграл сходится, то

$\operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)^{2}\Lambda (dx),$

где ${\text{Var}}(S)$ обозначает дисперсию случайной суммы $S$.

Из этой теоремы следуют некоторые результаты математических ожиданий для точечного процесса Пуассона , включая его функционал Лапласа .

Приложение: функционал Лапласа.

Для точечного процесса Пуассона $N$ с мерой интенсивности $\Lambda$ является функционал Лапласа следствием приведенной выше версии теоремы Кэмпбелла и дается:

${\mathcal {L}}_{N}(sf):=E{\bigl [}e^{-s\sum _{x\in N}f(x)}{\bigr ]}=\exp {\Bigl [}-\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\Lambda (dx){\Bigr ]},$

что для однородного случая равно:

${\mathcal {L}}_{N}(sf)=\exp {\Bigl [}-\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\,dx{\Bigr ]}.$