Независимость (теория вероятностей)

Независимость — фундаментальное понятие в теории вероятностей , а также в статистике и теории случайных процессов . Два события независимы статистически , независимы или стохастически независимы. ^[1] если, неформально говоря, появление одного не влияет на вероятность появления другого или, что то же самое, не влияет на шансы . Аналогично две случайные величины являются независимыми, если реализация одной не влияет на распределение вероятностей другой.

При работе с наборами из более чем двух событий необходимо различать два понятия независимости. События называются попарно независимыми, если любые два события в коллекции независимы друг от друга, тогда как взаимная независимость (или коллективная независимость ) событий означает, неформально говоря, что каждое событие не зависит от любой комбинации других событий в коллекции. Аналогичное понятие существует для наборов случайных величин. Взаимная независимость подразумевает попарную независимость, но не наоборот. В стандартной литературе по теории вероятностей, статистике и случайным процессам независимость без дополнительных уточнений обычно относится к взаимной независимости.

Определение

Для мероприятий

Два события

Два события $A$ и $B$ независимы (часто пишутся как $A\perp B$ или $A\perp \!\!\!\perp B$ , где последний символ часто также используется для обозначения условной независимости ) тогда и только тогда, когда их совместная вероятность равна произведению их вероятностей: ^[2]^{: с. 29}^[3]^{: с. 10}

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)

( Уравнение 1 )

$A\cap B\neq \emptyset$ указывает на то, что два независимых события $A$ и $B$ имеют общие элементы в своем пространстве выборки , так что они не являются взаимоисключающими (взаимоисключающими, если только $A\cap B=\emptyset$ ). Почему это определяет независимость, становится ясно, если переписать с условными вероятностями. $P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$ как вероятность того, что событие $A$ происходит при условии, что событие $B$ произошло или предположительно произошло:

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}=\mathrm {P} (A).

и аналогично

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (B\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (A)}}=\mathrm {P} (B).

Таким образом, возникновение $B$ не влияет на вероятность $A$ , и наоборот. Другими словами, $A$ и $B$ независимы друг от друга. Хотя производные выражения могут показаться более интуитивными, они не являются предпочтительным определением, поскольку условные вероятности могут быть неопределенными, если $\mathrm {P} (A)$ или $\mathrm {P} (B)$ равны 0. Более того, предпочтительное определение в силу симметрии ясно дает понять, что когда $A$ не зависит от $B$ , $B$ также не зависит от $A$ .

Шансы

С точки зрения шансов , два события независимы тогда и только тогда, когда шансов отношение ⁠ $A$ ⁠ и ⁠ $B$ ⁠ — единица (1). Аналогично вероятности, это эквивалентно тому, что условные шансы равны безусловным:

O(A\mid B)=O(A){\text{ and }}O(B\mid A)=O(B),

или чтобы шансы на одно событие при условии, что другое событие были такими же, как и шансы на событие, при условии, что другое событие не произошло:

O(A\mid B)=O(A\mid \neg B){\text{ and }}O(B\mid A)=O(B\mid \neg A).

Отношение шансов можно определить как

O(A\mid B):O(A\mid \neg B),

или симметрично для коэффициентов ⁠ $B$ ⁠ дано ⁠ $A$ ⁠ и, следовательно, равен 1 тогда и только тогда, когда события независимы.

Более двух событий

Конечный набор событий $\{A_{i}\}_{i=1}^{n}$ если попарно независима, каждая пара событий независима ^[4]— то есть тогда и только тогда, когда для всех различных пар индексов $m,k$ ,

\mathrm {P} (A_{m}\cap A_{k})=\mathrm {P} (A_{m})\mathrm {P} (A_{k})

( Уравнение 2 )

Конечное множество событий является взаимно независимым , если каждое событие не зависит от любого пересечения других событий. ^[4]^[3]^{: с. 11}- то есть тогда и только тогда, когда для каждого $k\leq n$ и для каждых k индексов $1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n$ ,

\mathrm {P} \left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)=\prod _{j=1}^{k}\mathrm {P} (A_{i_{j}})

( Уравнение 3 )

Это называется правилом умножения независимых событий. Это не единственное условие, включающее в себя только произведение всех вероятностей всех отдельных событий; оно должно быть справедливым для всех подмножеств событий.

Для более чем двух событий взаимно независимый набор событий (по определению) попарно независим; но обратное не обязательно верно . ^[2]^{: с. 30}

Вероятность регистрации и информационное содержание

С точки зрения логарифмической вероятности два события независимы тогда и только тогда, когда логарифмическая вероятность совместного события равна сумме логарифмических вероятностей отдельных событий:

\log \mathrm {P} (A\cap B)=\log \mathrm {P} (A)+\log \mathrm {P} (B)

В теории информации вероятность отрицательного журнала интерпретируется как информационное содержание , и, таким образом, два события независимы тогда и только тогда, когда информационное содержание объединенного события равно сумме информационного содержания отдельных событий:

\mathrm {I} (A\cap B)=\mathrm {I} (A)+\mathrm {I} (B)

см. в разделе «Информационное содержание § Аддитивность независимых событий» Подробности .

Для действительных случайных величин

Две случайные величины

Две случайные величины $X$ и $Y$ независимы тогда и только тогда, когда элементы $порожденной ими π$ -системы (и только тогда) независимы ; то есть для каждого $x$ и $y$ , события $\{X\leq x\}$ и $\{Y\leq y\}$ являются независимыми событиями (как определено выше в уравнении 1 ). То есть, $X$ и $Y$ с кумулятивными функциями распределения $F_{X}(x)$ и $F_{Y}(y)$ , независимы тогда и только тогда, когда объединенная случайная величина $(X,Y)$ имеет совместную кумулятивную функцию распределения ^[3]^{: с. 15}

F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)\quad {\text{for all }}x,y

( Уравнение 4 )

или, что то же самое, если плотности вероятности $f_{X}(x)$ и $f_{Y}(y)$ и совместная плотность вероятности $f_{X,Y}(x,y)$ существовать,

f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)\quad {\text{for all }}x,y.

Более двух случайных величин

Конечное множество $n$ случайные величины $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ попарно независима тогда и только тогда, когда каждая пара случайных величин независима. Даже если набор случайных величин попарно независим, он не обязательно является взаимно независимым, как определено ниже.

Конечное множество $n$ случайные величины $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ тогда взаимно независимы и только тогда, когда для любой последовательности чисел $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ , события $\{X_{1}\leq x_{1}\},\ldots ,\{X_{n}\leq x_{n}\}$ являются взаимно независимыми событиями (как определено выше в уравнении 3 ). Это эквивалентно следующему условию для совместной кумулятивной функции распределения $F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ . Конечное множество $n$ случайные величины $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ взаимно независимы тогда и только тогда, когда ^[3]^{: с. 16}

F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{n}}(x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}

( Уравнение 5 )

Здесь нет необходимости требовать, чтобы распределение вероятностей факторизовалось для всех возможных $k$ -подмножества элементов, как в случае с $n$ события. Это не требуется, потому что, например, $F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot F_{X_{2}}(x_{2})\cdot F_{X_{3}}(x_{3})$ подразумевает $F_{X_{1},X_{3}}(x_{1},x_{3})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot F_{X_{3}}(x_{3})$ .

Сторонники теории меры могут предпочесть заменить события $\{X\in A\}$ для мероприятий $\{X\leq x\}$ в приведенном выше определении, где $A$ любое множество Бореля . Это определение в точности эквивалентно приведенному выше, когда значения случайных величин являются действительными числами . Его преимущество заключается в том, что он работает также со случайными величинами с комплексными значениями или со случайными величинами, принимающими значения в любом измеримом пространстве (включая топологические пространства, наделенные соответствующими σ-алгебрами).

Для действительных случайных векторов

Два случайных вектора $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\mathrm {T} }$ и $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ называются независимыми, если ^[5]^{: с. 187}

F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )=F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )\quad {\text{for all }}\mathbf {x} ,\mathbf {y}

( Уравнение 6 )

где $F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )$ и $F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )$ обозначают кумулятивные функции распределения $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ и $F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )$ обозначает их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ часто обозначается $\mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y}$ . Написано покомпонентно, $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ называются независимыми, если

F_{X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{1},\ldots ,X_{m}}(x_{1},\ldots ,x_{m})\cdot F_{Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}.

Для случайных процессов

Для одного случайного процесса

Определение независимости может быть расширено от случайных векторов до случайного процесса . Следовательно, для независимого стохастического процесса требуется, чтобы случайные величины, полученные путем выборки процесса в любой $n$ раз $t_{1},\ldots ,t_{n}$ являются независимыми случайными величинами для любых $n$ . ^[6]^{: с. 163}

Формально случайный процесс $\left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}$ называется независимым тогда и только тогда, когда для всех $n\in \mathbb {N}$ и для всех $t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathcal {T}}$

F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{t_{1}}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{t_{n}}}(x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}

( Уравнение 7 )

где $F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathrm {P} (X(t_{1})\leq x_{1},\ldots ,X(t_{n})\leq x_{n})$ . Независимость случайного процесса — это свойство внутри случайного процесса, а не между двумя случайными процессами.

Для двух случайных процессов

Независимость двух случайных процессов - это свойство двух случайных процессов. $\left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}$ и $\left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}$ которые определены в одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ . Формально два случайных процесса $\left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}$ и $\left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}$ называются независимыми, если для всех $n\in \mathbb {N}$ и для всех $t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathcal {T}}$ , случайные векторы $(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n}))$ и $(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n}))$ независимы, ^[7]^{: с. 515} то есть если

F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}},Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot F_{Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}}(y_{1},\ldots ,y_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}

( Уравнение 8 )

Независимые σ-алгебры

Оба определения, приведенные выше ( уравнение 1 и уравнение 2 ), обобщаются следующим определением независимости σ-алгебр . Позволять $(\Omega ,\Sigma ,\mathrm {P} )$ — вероятностное пространство и пусть ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ — две суб-σ-алгебры $\Sigma$ . ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ называются независимыми, если когда бы то ни было $A\in {\mathcal {A}}$ и $B\in {\mathcal {B}}$ ,

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B).

Аналогично, конечное семейство σ-алгебр $(\tau _{i})_{i\in I}$ , где $I$ является набором индексов , называется независимым тогда и только тогда, когда

\forall \left(A_{i}\right)_{i\in I}\in \prod \nolimits _{i\in I}\tau _{i}\ :\ \mathrm {P} \left(\bigcap \nolimits _{i\in I}A_{i}\right)=\prod \nolimits _{i\in I}\mathrm {P} \left(A_{i}\right)

и бесконечное семейство σ-алгебр называется независимым, если все его конечные подсемейства независимы.

Новое определение напрямую связано с предыдущими:

Два события независимы (в старом смысле) тогда и только тогда, когда порождаемые ими σ-алгебры независимы (в новом смысле). σ-алгебра, порожденная событием $E\in \Sigma$ это, по определению,

\sigma (\{E\})=\{\emptyset ,E,\Omega \setminus E,\Omega \}.

Две случайные величины $X$ и $Y$ определено более $\Omega$ независимы (в старом смысле) тогда и только тогда, когда порождаемые ими σ-алгебры независимы (в новом смысле). σ-алгебра, порожденная случайной величиной $X$ принимая значения в некотором измеримом пространстве $S$ состоит по определению из всех подмножеств $\Omega$ формы $X^{-1}(U)$ , где $U$ любое измеримое подмножество $S$ .

Используя это определение, легко показать, что если $X$ и $Y$ являются случайными величинами и $Y$ постоянно, то $X$ и $Y$ независимы, поскольку σ-алгебра, порожденная постоянной случайной величиной, является тривиальной σ-алгеброй $\{\varnothing ,\Omega \}$ . События с нулевой вероятностью не могут повлиять на независимость, поэтому независимость также имеет место, если $Y$ только Pr- почти наверняка постоянен.

Характеристики

Самостоятельность

Обратите внимание, что событие независимо от самого себя тогда и только тогда, когда

\mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (A\cap A)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (A)\iff \mathrm {P} (A)=0{\text{ or }}\mathrm {P} (A)=1.

Таким образом, событие независимо от самого себя тогда и только тогда, когда оно почти наверняка произойдет или его дополнение почти наверняка произойдет; этот факт полезен при доказательстве законов нуля и единицы . ^[8]

Ожидание и ковариация

Если $X$ и $Y$ являются статистически независимыми случайными величинами, то оператор ожидания $\operatorname {E}$ имеет собственность

\operatorname {E} [X^{n}Y^{m}]=\operatorname {E} [X^{n}]\operatorname {E} [Y^{m}],

^[9]^{: с. 10}

и ковариация $\operatorname {cov} [X,Y]$ равно нулю, как следует из

\operatorname {cov} [X,Y]=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].

Обратное неверно: если две случайные величины имеют ковариацию 0, они все равно не могут быть независимыми.

Аналогично для двух случайных процессов $\left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}$ и $\left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}$ : Если они независимы, то они некоррелированы . ^[10]^{: с. 151}

Характеристическая функция

Две случайные величины $X$ и $Y$ независимы тогда и только тогда, когда характеристическая функция случайного вектора $(X,Y)$ удовлетворяет

\varphi _{(X,Y)}(t,s)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(s).

В частности, характеристическая функция их суммы является произведением их предельных характеристических функций:

\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(t),

хотя обратное импликация неверно. Случайные величины, удовлетворяющие последнему условию, называются субнезависимыми .

Примеры

Бросок кубиков

Событие выпадения 6 при первом броске кубика и событие выпадения 6 во второй раз независимы . Напротив, событие выпадения 6 при первом броске кубика и событие, когда сумма чисел, увиденных при первом и втором испытании, равна 8, не являются независимыми.

Вытягивание карт

карт взяты с Если из колоды заменой две карты, то события вытягивания красной карты при первой попытке и события вытягивания красной карты при второй попытке независимы . Напротив, если вытягиваются две карты без из колоды карт замены, события вытягивания красной карты в первой попытке и события вытягивания красной карты во второй попытке не являются независимыми, поскольку колода, в которой была красная карта, не является независимой. У удаленной карты пропорционально меньше красных карточек.

Парная и взаимная независимость

Рассмотрим два показанных вероятностных пространства. В обоих случаях $\mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (B)=1/2$ и $\mathrm {P} (C)=1/4$ . Случайные величины в первом пространстве попарно независимы, поскольку $\mathrm {P} (A|B)=\mathrm {P} (A|C)=1/2=\mathrm {P} (A)$ , $\mathrm {P} (B|A)=\mathrm {P} (B|C)=1/2=\mathrm {P} (B)$ , и $\mathrm {P} (C|A)=\mathrm {P} (C|B)=1/4=\mathrm {P} (C)$ ; но три случайные величины не являются взаимно независимыми. Случайные величины во втором пространстве являются как попарно независимыми, так и взаимно независимыми. Чтобы проиллюстрировать разницу, рассмотрим обусловленность двумя событиями. В попарно независимом случае, хотя любое одно событие не зависит от каждого из двух других в отдельности, оно не является независимым от пересечения двух других:

\mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (A)

\mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (B)

\mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {6}{40}}}}={\tfrac {2}{5}}\neq \mathrm {P} (C)

Однако во взаимно независимом случае

\mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (A)

\mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (B)

\mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {3}{16}}}}={\tfrac {1}{4}}=\mathrm {P} (C)

Тройная независимость, но нет попарной независимости

Можно создать пример с тремя событиями, в котором

\mathrm {P} (A\cap B\cap C)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\mathrm {P} (C),

и все же никакие два из трех событий не являются попарно независимыми (и, следовательно, набор событий не является взаимно независимым). ^[11] Этот пример показывает, что взаимная независимость включает требования к произведениям вероятностей всех комбинаций событий, а не только отдельных событий, как в этом примере.

Условная независимость

Для мероприятий

События $A$ и $B$ условно независимы относительно события $C$ когда

$\mathrm {P} (A\cap B\mid C)=\mathrm {P} (A\mid C)\cdot \mathrm {P} (B\mid C)$ .

Для случайных величин

Интуитивно, две случайные величины $X$ и $Y$ условно независимы, учитывая $Z$ если однажды $Z$ известно, значение $Y$ не добавляет никакой дополнительной информации о $X$ . Например, два измерения $X$ и $Y$ того же базового количества $Z$ не являются независимыми, но они являются условно независимыми при условии, что $Z$ (если только ошибки в двух измерениях как-то не связаны).

Формальное определение условной независимости основано на идее условных распределений . Если $X$ , $Y$ , и $Z$ являются дискретными случайными величинами , то мы определяем $X$ и $Y$ быть условно независимым, учитывая $Z$ если

\mathrm {P} (X\leq x,Y\leq y\;|\;Z=z)=\mathrm {P} (X\leq x\;|\;Z=z)\cdot \mathrm {P} (Y\leq y\;|\;Z=z)

для всех $x$ , $y$ и $z$ такой, что $\mathrm {P} (Z=z)>0$ . С другой стороны, если случайные величины непрерывны и имеют совместную функцию плотности вероятности $f_{XYZ}(x,y,z)$ , затем $X$ и $Y$ условно независимы, учитывая $Z$ если

f_{XY|Z}(x,y|z)=f_{X|Z}(x|z)\cdot f_{Y|Z}(y|z)

для всех действительных чисел $x$ , $y$ и $z$ такой, что $f_{Z}(z)>0$ .

Если дискретный $X$ и $Y$ условно независимы, учитывая $Z$ , затем

\mathrm {P} (X=x|Y=y,Z=z)=\mathrm {P} (X=x|Z=z)

для любого $x$ , $y$ и $z$ с $\mathrm {P} (Z=z)>0$ . То есть условное распределение для $X$ данный $Y$ и $Z$ то же самое, что дано $Z$ один. Аналогичное уравнение справедливо для функций условной плотности вероятности в непрерывном случае.

Независимость можно рассматривать как особый вид условной независимости, поскольку вероятность можно рассматривать как своего рода условную вероятность при отсутствии событий.

История

До 1933 года независимость в теории вероятностей определялась устно. Например, де Муавр дал следующее определение: «Два события независимы, когда они не имеют связи одно с другим и что возникновение одного не ускоряет и не препятствует совершению другого». ^[12] Если имеется n независимых событий, вероятность того, что все они произойдут, вычислялась как произведение вероятностей этих n событий. Видимо, существовало убеждение, что эта формула является следствием приведенного определения. (Иногда это называли теоремой умножения.) Конечно, доказательство его утверждения не может работать без дальнейших, более формальных неявных предположений.

Определение независимости, данное в этой статье, стало стандартным определением (ныне используемым во всех книгах) после того, как оно появилось в 1933 году как часть аксиоматизации вероятности Колмогорова. ^[13] Колмогоров приписал это С. Н. Бернштейну и процитировал публикацию, вышедшую на русском языке в 1927 году. ^[14]

К сожалению, ни Бернштейн, ни Колмогоров не знали о работах Георга Больмана . Больман дал одно и то же определение двум событиям 1901 года. ^[15] и для n событий 1908 г. ^[16] В последней статье он подробно изучил свою концепцию. Например, он привел первый пример, показывающий, что попарная независимость не означает взаимной независимости. Даже сегодня Больмана цитируют редко. Более подробную информацию о его работе можно найти в О вкладе Георга Больмана в теорию вероятностей» статье Ульриха Кренгеля « . ^[17]

См. также

Ссылки

^ Рассел, Стюарт; Норвиг, Питер (2002). Искусственный интеллект: современный подход . Прентис Холл . п. 478 . ISBN 0-13-790395-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Флореску, Ионут (2014). Вероятность и случайные процессы . Уайли. ISBN 978-0-470-62455-5 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Галлагер, Роберт Г. (2013). Теория случайных процессов для приложений . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-03975-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Феллер, В. (1971). «Стохастическая независимость». Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Уайли .
^ Папулис, Афанасиос (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . МакГроу Хилл. ISBN 0-07-048477-5 .
^ Хвэй, Пяо (1997). Теория и проблемы вероятностей, случайных величин и случайных процессов . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-030644-3 .
^ Амос Лапидот (8 февраля 2017 г.). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-17732-1 .
^ Дарретт, Ричард (1996). Вероятность: теория и примеры (Второе изд.). стр. 62
^ Э. Джейкман. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В РАССЕЯННЫХ ВОЛНАХ . ISBN 978-0-7503-1005-5 .
^ Пак, Кун Иль (2018). Основы теории вероятности и случайных процессов с приложениями к средствам связи . Спрингер. ISBN 978-3-319-68074-3 .
^ Джордж, Глин, «Проверка независимости трех событий», Mathematical Gazette 88, ноябрь 2004 г., 568. PDF
^ Цитируется по: «Введение в вероятность» Гринстеда и Снелла. В: Проект ШАНС. Версия от 4 июля 2006 г.
^ Колмогоров, Андрей (1933). Основные понятия расчета вероятностей (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер Перевод: Колмогоров, Андрей (1956). Перевод:Основы теории вероятностей (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. ISBN 978-0-8284-0023-7.
↑ С. Н. Бернштейн , Теория вероятностей (рус.), Москва, 1927 (4 издания, последнее 1946 г.)
^ Георг Больманн : Математика страхования жизни, Энциклопедия математических наук, Том I, Часть 2, ID статьи 4b (1901), 852–917
^ Георг Больманн : Основные концепции расчета вероятности в их применении к страхованию жизни, Atti del IV. Межд. твой товарищ. Рим, Том III (1908), 244–278.
^ de: Ульрих Кренгель : О вкладе Георга Больмана в теорию вероятностей (PDF; 6,4 МБ), Электронный журнал истории вероятностей и статистики, 2011.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с независимостью (теория вероятностей) на Викискладе?

[Artificial_Intelligence-1] Рассел, Стюарт; Норвиг, Питер (2002). Искусственный интеллект: современный подход . Прентис Холл . п. 478 . ISBN 0-13-790395-2 .

[Florescu-2] Jump up to: ^а ^б Флореску, Ионут (2014). Вероятность и случайные процессы . Уайли. ISBN 978-0-470-62455-5 .

[Gallager-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Галлагер, Роберт Г. (2013). Теория случайных процессов для приложений . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-03975-9 .

[Feller-4] Jump up to: ^а ^б Феллер, В. (1971). «Стохастическая независимость». Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Уайли .

[Papoulis-5] Папулис, Афанасиос (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . МакГроу Хилл. ISBN 0-07-048477-5 .

[HweiHsu-6] Хвэй, Пяо (1997). Теория и проблемы вероятностей, случайных величин и случайных процессов . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-030644-3 .

[Lapidoth2017-7] Амос Лапидот (8 февраля 2017 г.). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-17732-1 .

[8] Дарретт, Ричард (1996). Вероятность: теория и примеры (Второе изд.). стр. 62

[JakemanBook-9] Э. Джейкман. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В РАССЕЯННЫХ ВОЛНАХ . ISBN 978-0-7503-1005-5 .

[KunIlPark-10] Пак, Кун Иль (2018). Основы теории вероятности и случайных процессов с приложениями к средствам связи . Спрингер. ISBN 978-3-319-68074-3 .

[11] Джордж, Глин, «Проверка независимости трех событий», Mathematical Gazette 88, ноябрь 2004 г., 568. PDF

[12] Цитируется по: «Введение в вероятность» Гринстеда и Снелла. В: Проект ШАНС. Версия от 4 июля 2006 г.

[13] Колмогоров, Андрей (1933). Основные понятия расчета вероятностей (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер Перевод: Колмогоров, Андрей (1956). Перевод:Основы теории вероятностей (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. ISBN 978-0-8284-0023-7.

[14] С. Н. Бернштейн , Теория вероятностей (рус.), Москва, 1927 (4 издания, последнее 1946 г.)

[15] Георг Больманн : Математика страхования жизни, Энциклопедия математических наук, Том I, Часть 2, ID статьи 4b (1901), 852–917

[16] Георг Больманн : Основные концепции расчета вероятности в их применении к страхованию жизни, Atti del IV. Межд. твой товарищ. Рим, Том III (1908), 244–278.

[17] : Ульрих Кренгель : О вкладе Георга Больмана в теорию вероятностей (PDF; 6,4 МБ), Электронный журнал истории вероятностей и статистики, 2011.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]