Копула (теория вероятностей)

Эта статья о теории вероятностей. Чтобы узнать о других значениях, см. Копула (значения) .

В теории вероятностей и статистике копула — это многомерная кумулятивная функция распределения , для которой предельное распределение вероятностей каждой переменной равномерно на интервале [0, 1]. Копулы используются для описания/моделирования зависимости (взаимной корреляции) между случайными величинами . Их название, введенное математиком-прикладником Эйбом Скларом в 1959 году, происходит от латинского слова «связь» или «связь», похожее, но не связанное с грамматическими связками в лингвистике . Копулы широко используются в количественном финансировании для моделирования и минимизации хвостового риска. и приложения для оптимизации портфеля .

Теорема Склара утверждает, что любое многомерное совместное распределение можно записать в терминах одномерных предельных функций распределения и копулы, которая описывает структуру зависимости между переменными.

Копулы популярны в многомерных статистических приложениях, поскольку они позволяют легко моделировать и оценивать распределение случайных векторов путем оценки маргиналов и копул отдельно. Существует множество семейств параметрических копул, которые обычно имеют параметры, контролирующие силу зависимости. Ниже представлены некоторые популярные параметрические модели копул.

Двумерные копулы известны и в некоторых других областях математики под названием пермутоны и дважды-стохастические меры .

Математическое определение

Рассмотрим случайный вектор $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$. Предположим, что его маргиналы непрерывны, т.е. маргинальные CDF $F_{i}(x)=\Pr[X_{i}\leq x]$ являются непрерывными функциями . Применяя преобразование интеграла вероятности к каждому компоненту, случайный вектор

$(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)$

имеет маргиналы, равномерно распределенные на интервале [0, 1].

Копула $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ определяется как совместная кумулятивная функция распределения $(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})$:

$C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].$

Копула C содержит всю информацию о структуре зависимости между компонентами $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ тогда как маргинальные кумулятивные функции распределения $F_{i}$ содержат всю информацию о предельных распределениях $X_{i}$.

Обратные эти шаги можно использовать для генерации псевдослучайных выборок из общих классов многомерных распределений вероятностей . То есть, учитывая процедуру создания выборки $(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})$ из функции копулы искомую выборку можно построить как

$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).$

Обобщенные обратные $F_{i}^{-1}$ не проблематичны почти наверняка , поскольку $F_{i}$ считались непрерывными. Кроме того, приведенную выше формулу для функции копулы можно переписать как:

$C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].$

Определение

В вероятностном плане $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ является d -мерной копулой , если C — совместная кумулятивная функция распределения -мерного случайного вектора d на единичном кубе $[0,1]^{d}$ с равномерными маргиналами .

В аналитическом плане, $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ является d -мерной копулой , если

• $C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0$, копула равна нулю, если любой из аргументов равен нулю,
• $C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u$, копула равна u , если один аргумент равен u , а все остальные равны 1,
• C d каждого -неубывающая, т. е. для гиперпрямоугольника $B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}$ C : -объем B неотрицательен

  $\int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,$

где $N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}$.

Например, в двумерном случае $C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]$ является двумерной связкой, если $C(0,u)=C(u,0)=0$, $C(1,u)=C(u,1)=u$ и $C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0$ для всех $0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1$ и $0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1$.

Теорема Склара

Плотность и контурный график двумерного распределения Гаусса

Плотность и контурный график двух нормальных маргинальных соединений, соединенных копулой Гамбеля.

Теорема Склара, названная в честь Эйба Склара , обеспечивает теоретическую основу для применения копул. Теорема Склара утверждает, что каждая многомерная кумулятивная функция распределения

$H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]$

случайного вектора $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ может быть выражено через его маргинальные значения $F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]$ исвязка $C$. Действительно:

$H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).$

Если многомерное распределение имеет плотность $h$, и если эта плотность доступна, то также верно, что

$h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),$

где $c$ - плотность копулы.

Теорема также утверждает, что при условии $H$, копула уникальна на $\operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})$ является декартовым произведением диапазонов который предельных CDF. Это означает, что копула уникальна, если маргиналы $F_{i}$ являются непрерывными.

Верно и обратное: учитывая связку $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ и маргинальный $F_{i}(x)$ затем $C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)$ определяет d -мерную кумулятивную функцию распределения с маргинальными распределениями $F_{i}(x)$.

Условие стационарности

Копулы в основном работают, когда временные ряды стационарны. и непрерывный. Таким образом, очень важным шагом предварительной обработки является проверка автокорреляции , тренда и сезонности во временных рядах.

Когда временные ряды автокоррелированы, они могут создать несуществующую зависимость между наборами переменных и привести к неправильной структуре зависимости копулы.

Границы копулы Фреше – Хёфдинга

Графики двумерных пределов копулы Фреше – Хёффдинга и копулы независимости (в центре).

Теорема Фреше-Хеффдинга (по мотивам Мориса Рене Фреше и Василия Хёффдинга) . ) утверждает, что для любой связки $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ и любой $(u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}$ имеют место следующие границы:

$W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).$

Функция W называется нижней границей Фреше–Хефдинга и определяется как

$W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.$

Функция M называется верхней границей Фреше–Хефдинга и определяется как

$M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.$

Верхняя оценка точна: M всегда является копулой, она соответствует сомонотным случайным величинам .

Нижняя оценка поточечно точна в том смысле, что при фиксированном u существует связка ${\tilde {C}}$ такой, что ${\tilde {C}}(u)=W(u)$. Однако W является копулой только в двух измерениях, и в этом случае она соответствует контрмонотонным случайным величинам.

В двумерном случае, то есть в двумерном случае, теорема Фреше – Хёфдинга утверждает:

$\max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.$

Семейства копул

Описано несколько семейств копул.

Гауссова копула

Кумулятивное и плотностное распределение гауссовой копулы с ρ = 0,4

Гауссова копула - это распределение по единичному гиперкубу. $[0,1]^{d}$. Он построен на основе многомерного нормального распределения по $\mathbb {R} ^{d}$ с помощью преобразования интеграла вероятности .

Для заданной корреляционной матрицы $R\in [-1,1]^{d\times d}$, гауссова копула с матрицей параметров $R$ можно записать как

$C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),$

где $\Phi ^{-1}$ - обратная кумулятивная функция распределения стандартного нормального и $\Phi _{R}$ - это совместная кумулятивная функция распределения многомерного нормального распределения со средним вектором, равным нулю, и ковариационной матрицей, равной корреляционной матрице. $R$. Хотя простой аналитической формулы для копульной функции не существует, $C_{R}^{\text{Gauss}}(u)$, оно может быть ограничено сверху или снизу и аппроксимировано с помощью численного интегрирования. Плотность можно записать как

$c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),$

где $\mathbf {I}$ является единичной матрицей.

Архимедовы копулы

Архимедовы копулы представляют собой ассоциативный класс копул. Большинство распространенных архимедовых копул допускают явную формулу, что невозможно, например, для гауссовой копулы.На практике архимедовы копулы популярны, поскольку позволяют моделировать зависимость в произвольно больших измерениях только с одним параметром, определяющим силу зависимости.

Копула C называется архимедовой, если она допускает представление

$C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{-1}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)$

где $\psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )$ — непрерывная, строго убывающая и выпуклая функция такая, что $\psi (1;\theta )=0$, $\theta$ является параметром в некотором пространстве параметров $\Theta$, и $\psi$ – это так называемая генераторная функция и $\psi ^{-1}$ является его псевдообратным, определяемым формулой

$\psi ^{-1}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.$

Более того, приведенная выше формула для C дает копулу для $\psi ^{-1}$ тогда и только тогда, когда $\psi ^{-1}$ является d-монотонным на $[0,\infty )$. То есть, если это $d-2$ раз дифференцируемы и производные удовлетворяют

$(-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0$

для всех $t\geq 0$ и $k=0,1,\dots ,d-2$ и $(-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )$ невозрастающая и выпуклая .

Важнейшие архимедовы копулы

В следующих таблицах представлены наиболее известные двумерные архимедовы копулы с соответствующим генератором. Не все из них полностью монотонны , т.е. d -монотонны для всех. $d\in \mathbb {N}$ или d -монотонно наверняка $\theta \in \Theta$ только.

Таблица с наиболее важными архимедовыми копулами

Название связки	Двумерная связка $\;C_{\theta }(u,v)$	параметр $\,\theta$	генератор $\,\psi _{\theta }(t)$	инверсный генератор $\,\psi _{\theta }^{-1}(t)$
Али -Михаил-Хак	${\frac {uv}{1-\theta (1-u)(1-v)}}$	$\theta \in [-1,1]$	$\log \!\left[{\frac {1-\theta (1-t)}{t}}\right]$	${\frac {1-\theta }{\exp(t)-\theta }}$
Клейтон	$\left[\max \left\{u^{-\theta }+v^{-\theta }-1;0\right\}\right]^{-1/\theta }$	$\theta \in [-1,\infty )\backslash \{0\}$	${\frac {1}{\theta }}\,(t^{-\theta }-1)$	$\left(1+\theta t\right)^{-1/\theta }$
Откровенный	$-{\frac {1}{\theta }}\log \!\left[1+{\frac {(\exp(-\theta u)-1)(\exp(-\theta v)-1)}{\exp(-\theta )-1}}\right]$	$\theta \in \mathbb {R} \backslash \{0\}$	${\textstyle -\log \!\left({\frac {\exp(-\theta t)-1}{\exp(-\theta )-1}}\right)}$	$-{\frac {1}{\theta }}\,\log(1+\exp(-t)(\exp(-\theta )-1))$
Гумбель	${\textstyle \exp \!\left[-\left((-\log(u))^{\theta }+(-\log(v))^{\theta }\right)^{1/\theta }\right]}$	$\theta \in [1,\infty )$	$\left(-\log(t)\right)^{\theta }$	$\exp \!\left(-t^{1/\theta }\right)$
Независимость	${\textstyle uv}$		$-\log(t)$	$\exp(-t)$
Джо	${\textstyle {1-\left[(1-u)^{\theta }+(1-v)^{\theta }-(1-u)^{\theta }(1-v)^{\theta }\right]^{1/\theta }}}$	$\theta \in [1,\infty )$	$-\log \!\left(1-(1-t)^{\theta }\right)$	$1-\left(1-\exp(-t)\right)^{1/\theta }$

Ожидания от моделей копулы и интеграции Монте-Карло

В статистических приложениях многие задачи можно сформулировать следующим образом. Нас интересует математическое ожидание функции отклика $g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ применяется к некоторому случайному вектору $(X_{1},\dots ,X_{d})$. Если мы обозначим CDF этого случайного вектора через $H$Таким образом, интересующую величину можно записать как

$\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).$

Если $H$ задается моделью копулы, т. е.

$H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))$

это ожидание можно переписать как

$\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).$

В случае, если копула C , абсолютно непрерывна т.е. C имеет плотность c , это уравнение можно записать как

$\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},$

и если каждое маргинальное распределение имеет плотность $f_{i}$ далее утверждается, что

$\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.$

Если копула и маргиналы известны (или если они были оценены), это ожидание можно аппроксимировать с помощью следующего алгоритма Монте-Карло:

1. Нарисуйте образец $(U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)$ размера n из копулы C
2. Применяя обратные маргинальные CDF, создайте выборку $(X_{1},\dots ,X_{d})$ установив $(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)$
3. Приблизительный $\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]$ по его эмпирическому значению:

$\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})$

Эмпирические связки

При изучении многомерных данных может возникнуть желание исследовать лежащую в их основе связку. Предположим, у нас есть наблюдения

$(X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n$

из случайного вектора $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ со сплошными маргиналами. Соответствующие «истинные» наблюдения копулы будут

$(U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.$

Однако предельные функции распределения $F_{i}$ обычно не известны. Следовательно, можно построить наблюдения псевдокопулы, используя эмпирические функции распределения

$F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)$

вместо. Тогда наблюдения псевдокопулы определяются как

$({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.$

Соответствующая эмпирическая копула тогда определяется как

$C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).$

Компоненты выборок псевдокопулы также можно записать как ${\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n$, где $R_{k}^{i}$ это ранг наблюдения $X_{k}^{i}$:

$R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})$

Следовательно, эмпирическую связку можно рассматривать как эмпирическое распределение данных, преобразованных в ранг.

Пример версии ро Спирмена:

$r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]$

Приложения

Количественные финансы

Примеры двумерных копул, используемых в финансах.

Типичные финансовые приложения: Анализ системного риска на финансовых рынках Анализ и ценообразование спред-опционов , в частности, своп с фиксированным доходом и постоянным сроком погашения. спред-опционов Анализ и ценообразование волатильности/перекоса экзотических корзин, например, лучший/худший из Анализ и ценообразование волатильности/перекоса менее ликвидной валюты крест, который по сути является корзиной: C = S 1 / S 2 или C = S 1 · S 2 Прогнозирование стоимости под риском и оптимизация портфеля для минимизации хвостового риска для акций США и международных компаний. Прогнозирование доходности акций для срочной/полномасштабной оптимизации портфеля. Улучшение оценок ожидаемой доходности портфеля и матрицы дисперсии-ковариации для ввода в сложные стратегии оптимизации средней дисперсии. Стратегии статистического арбитража, включая парную торговлю

В количественных финансах копулы применяются для управления рисками , портфеля управления и оптимизации , а также для ценообразования деривативов .

В первом случае копулы используются для проведения стресс-тестов и проверок устойчивости, что особенно важно во время «режимов спада/кризиса/паники», когда могут произойти экстремальные события (например, глобальный финансовый кризис 2007–2008 гг.). Формула была также адаптирована для финансовых рынков и использовалась для оценки вероятностного распределения убытков по пулам кредитов или облигаций .

Во время режима спада большое количество инвесторов, которые держали позиции в более рискованных активах, таких как акции или недвижимость, могут искать убежища в «более безопасных» инвестициях, таких как наличные деньги или облигации. Это также известно как эффект бегства к качеству , и инвесторы склонны закрывать свои позиции в более рискованных активах в больших количествах за короткий период времени. В результате во время режимов спада корреляция между акциями сильнее в сторону снижения, а не в сторону роста, и это может иметь катастрофические последствия для экономики. Например, как ни странно, мы часто читаем заголовки финансовых новостей, сообщающие о потере сотен миллионов долларов на фондовой бирже за один день; однако мы редко читаем сообщения о положительном росте фондового рынка такого же масштаба и за такой же короткий период времени.

Копулы помогают анализировать последствия режимов спада, позволяя отдельно моделировать маргинальные значения и структуру зависимостей многомерной вероятностной модели. Например, рассмотрим фондовую биржу как рынок, состоящий из большого количества трейдеров, каждый из которых использует свои собственные стратегии для максимизации прибыли. Индивидуалистическое поведение каждого трейдера можно описать путем моделирования маржинальных показателей. Однако, поскольку все трейдеры работают на одной бирже, действия каждого трейдера оказывают влияние на действия других трейдеров. Этот эффект взаимодействия можно описать путем моделирования структуры зависимости. Таким образом, копулы позволяют нам анализировать эффекты взаимодействия, которые представляют особый интерес в периоды спада, поскольку инвесторы склонны контролировать свое торговое поведение и решения . (См. также агентную вычислительную экономику , где цена рассматривается как возникающее явление , возникающее в результате взаимодействия различных участников рынка или агентов.)

Пользователей формулы критиковали за создание «культуры оценки», которая продолжала использовать простые связки, несмотря на то, что простые версии были признаны неадекватными для этой цели. Таким образом, ранее масштабируемые модели копул для больших размерностей позволяли моделировать только эллиптические структуры зависимостей (т.е. гауссовы и t-копулы Стьюдента), которые не допускали корреляционной асимметрии, когда корреляции различаются в режимах повышения или понижения. Однако развитие копул виноградной лозы (также известный как парные копулы) позволяет гибко моделировать структуру зависимости для портфелей больших размеров. Каноническая копула Клейтона учитывает возникновение экстремальных событий снижения и успешно применяется в приложениях по оптимизации портфеля и управлению рисками. Модель способна уменьшить влияние крайних отрицательных корреляций и обеспечивает улучшенные статистические и экономические показатели по сравнению с масштабируемыми копулами эллиптической зависимости, такими как гауссова копула и копула Стьюдента.

Другие модели, разработанные для приложений управления рисками, представляют собой панические копулы, которые объединяются с рыночными оценками предельных распределений для анализа влияния режимов паники на распределение прибылей и убытков портфеля. Панические связки создаются с помощью моделирования Монте-Карло , смешанного с повторным взвешиванием вероятности каждого сценария.

Что касается ценообразования деривативов , моделирование зависимостей с помощью функций копулы широко используется в приложениях оценки финансовых рисков и актуарного анализа – например, при ценообразовании обеспеченных долговых обязательств (CDO). Некоторые считают, что методология применения гауссовой копулы к кредитным деривативам является одной из причин мирового финансового кризиса 2008–2009 годов ; см. Дэвид X. Ли § CDO и гауссова копула .

Несмотря на такое восприятие, в финансовой отрасли до кризиса предпринимались документально подтвержденные попытки устранить ограничения гауссовой связки и функций связки в целом, в частности отсутствие динамики зависимости. Гауссова копула отсутствует, поскольку она допускает только эллиптическую структуру зависимости, поскольку зависимость моделируется только с использованием дисперсионно-ковариационной матрицы. Эта методология ограничена, поскольку она не позволяет зависимости развиваться, поскольку финансовые рынки демонстрируют асимметричную зависимость, в результате чего корреляция между активами значительно увеличивается во время спадов по сравнению с подъемами. Таким образом, подходы к моделированию с использованием копулы Гаусса плохо отражают экстремальные события . Были попытки предложить модели, устраняющие некоторые ограничения копулы.

Помимо CDO, копулы применялись к другим классам активов в качестве гибкого инструмента анализа производных продуктов, состоящих из нескольких активов. Первым подобным применением за пределами кредита было использование копулы для построения корзины поверхности подразумеваемой волатильности . с учетом волатильности компонентов корзины. С тех пор копулы завоевали популярность в сфере ценообразования и управления рисками. опционов на мультиактивы при наличии улыбки волатильности, на акции , иностранную валюту и деривативы с фиксированным доходом .

Гражданское строительство

В последнее время функции копулы были успешно применены к формулированию базы данных для анализа надежности автодорожных мостов, а также к различным исследованиям многомерного моделирования в гражданском строительстве. надежность ветровой и сейсмической техники, а также машиностроение и морское машиностроение. Исследователи также пробуют эти функции в сфере транспорта, чтобы понять взаимодействие между поведением отдельных водителей, которое в совокупности формирует транспортный поток.

Инженерия надежности

Копулы используются для анализа надежности сложных систем компонентов машин с конкурирующими видами отказов.

Анализ гарантийных данных

Копулы используются для анализа гарантийных данных, при котором анализируется хвостовая зависимость.

Турбулентное горение

Копулы используются для моделирования турбулентного сгорания с частичным предварительным смешиванием, которое часто встречается в практических камерах сгорания.

Лекарство

Копулы имеют множество применений в области медицины , например,

1. Копулы использовались в области магнитно-резонансной томографии (МРТ), например, для сегментации изображений . заполнить вакансию графических моделей в области визуализации генетики в исследовании шизофрении , и различать нормальных пациентов и пациентов с болезнью Альцгеймера .
2. Копулы занимались исследованием мозга на основе сигналов ЭЭГ , например, для обнаружения сонливости во время дневного сна. для отслеживания изменений мгновенной эквивалентной пропускной способности (IEBW), получить синхронизацию для ранней диагностики болезни Альцгеймера , охарактеризовать зависимость колебательной активности между каналами ЭЭГ, и оценить надежность использования методов улавливания зависимости между парами каналов ЭЭГ с использованием их изменяющихся во времени огибающих . Функции копулы успешно применяются для анализа нейрональных зависимостей. и количество спайков в нейробиологии.
3. в области онкологии Модель копулы была разработана , например, для совместного моделирования генотипов , фенотипов и путей реконструкции клеточной сети для выявления взаимодействий между конкретным фенотипом и множеством молекулярных особенностей (например, мутаций и изменений экспрессии генов ). Бао и др. использовали данные линии раковых клеток NCI60, чтобы идентифицировать несколько подмножеств молекулярных особенностей, которые совместно служат предикторами клинических фенотипов. Предлагаемая копула может оказать влияние на биомедицинские исследования, начиная от лечения рака и заканчивая профилактикой заболеваний. Копула также использовалась для прогнозирования гистологического диагноза колоректальных поражений по изображениям колоноскопии . и классифицировать подтипы рака.
4. Модель анализа на основе копул была разработана в области сердечно-сосудистых заболеваний , например, для прогнозирования изменений частоты сердечных сокращений (ЧСС). Частота сердечных сокращений (ЧСС) является одним из наиболее важных показателей здоровья для мониторинга интенсивности упражнений и степени нагрузки, поскольку она тесно связана с частотой сердечных сокращений. Таким образом, точная методика краткосрочного прогнозирования ЧСС может обеспечить эффективное раннее предупреждение о здоровье человека и уменьшить вредные события. Намази (2022) использовали новый гибридный алгоритм для прогнозирования ЧСС.

Геодезия

Комбинация SSA и методов, основанных на копулах, была впервые применена в качестве нового стохастического инструмента для прогнозирования параметров ориентации Земли.

Гидрологические исследования

Копулы использовались как в теоретическом, так и в прикладном анализе гидроклиматических данных. В теоретических исследованиях была принята методология, основанная на копулах, например, для лучшего понимания структур зависимости температуры и осадков в различных частях мира. В прикладных исследованиях использовалась методология, основанная на копулах, для изучения, например, сельскохозяйственных засух. или совместное воздействие экстремальных температур и осадков на рост растительности.

Исследования климата и погоды

Копулы широко используются в исследованиях, связанных с климатом и погодой.

Изменчивость солнечного излучения

Копулы использовались для оценки изменчивости солнечного излучения в пространственных сетях и во времени для отдельных мест.

Генерация случайных векторов

Большие синтетические следы векторов и стационарные временные ряды можно генерировать с помощью эмпирической копулы, сохраняя при этом всю структуру зависимостей небольших наборов данных. Такие эмпирические трассировки полезны в различных исследованиях производительности на основе моделирования.

Рейтинг электродвигателей

Копулы использовались для оценки качества при производстве двигателей с электронной коммутацией.

Обработка сигналов

Копулы важны, потому что они представляют структуру зависимости без использования маргинальных распределений . Копулы широко используются в сфере финансов , но их использование в обработке сигналов является относительно новым. Копулы использовались в области беспроводной связи для классификации радиолокационных сигналов, обнаружения изменений в приложениях дистанционного зондирования и ЭЭГ обработки сигналов в медицине . В этом разделе представлен краткий математический вывод для получения функции плотности копул, за которым следует таблица, содержащая список функций плотности копул с соответствующими приложениями обработки сигналов.

Астрономия

Копулы использовались для определения основной функции радиосветимости активных галактических ядер (АЯГ). однако это невозможно реализовать традиционными методами из-за трудностей с полнотой выборки.

Математический вывод функции плотности копулы

Для любых двух случайных величин X и Y непрерывная совместная функция распределения вероятностей может быть записана как

$F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},$

где ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$ и ${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$ — маргинальные кумулятивные функции распределения случайных величин X и Y соответственно.

тогда функция распределения копулы $C(u,v)$ можно определить с помощью теоремы Склара как:

$F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),$

где $u=F_{X}(x)$ и $v=F_{Y}(y)$ являются маргинальными функциями распределения, $F_{XY}(x,y)$ совместный и $u,v\in (0,1)$.

Предполагая $F_{XY}(\cdot ,\cdot )$ является дважды дифференцируемой, мы начнем с использования связи между совместной функцией плотности вероятности (PDF) и совместной кумулятивной функцией распределения (CDF) и ее частными производными.

${\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}$

где $c(u,v)$ - функция плотности копулы, $f_{X}(x)$ и $f_{Y}(y)$ являются маргинальными функциями плотности вероятности X и Y соответственно. В этом уравнении четыре элемента, и если известны любые три элемента, можно вычислить четвертый элемент. Например, может использоваться,

• когда известна совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, известна функция плотности копулы и известна одна из двух маргинальных функций, тогда можно вычислить другую маргинальную функцию, или
• когда известны две маргинальные функции и функция плотности связки, можно вычислить совместную функцию плотности вероятности между двумя случайными величинами, или
• когда известны две маргинальные функции и совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, тогда можно вычислить функцию плотности копулы.

Список функций плотности копул и приложений

Различные функции плотности двумерных копул важны в области обработки сигналов. $u=F_{X}(x)$ и $v=F_{Y}(y)$ являются функциями маргинального распределения и $f_{X}(x)$ и $f_{Y}(y)$ являются функциями предельной плотности. Было показано, что расширение и обобщение копул для статистической обработки сигналов позволяет построить новые двумерные копулы для экспоненциального распределения, распределения Вейбулла и распределения Райса. Цзэн и др. представил алгоритмы, моделирование, оптимальный выбор и практическое применение этих копул при обработке сигналов.

	Плотность связки: c ( u , v )	Использовать
Гауссовский	${\begin{aligned}={}&{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(a^{2}+b^{2})\rho ^{2}-2ab\rho }{2(1-\rho ^{2})}}\right)\\&{\text{where }}\rho \in (-1,1)\\&{\text{where }}a={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2u-1)\\&{\text{where }}b={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2v-1)\\&{\text{where }}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{z}\exp(-t^{2})\,dt\end{aligned}}$	контролируемая классификация радиолокационных изображений с синтезированной апертурой (SAR), проверка биометрической аутентификации, моделирование стохастической зависимости при крупномасштабной интеграции ветроэнергетики, неконтролируемая классификация радиолокационных сигналов
Экспоненциальный	${\begin{aligned}={}&{\frac {1}{1-\rho }}\exp \left({\frac {\rho (\ln(1-u)+\ln(1-v))}{1-\rho }}\right)\cdot I_{0}\left({\frac {2{\sqrt {\rho \ln(1-u)\ln(1-v)}}}{1-\rho }}\right)\\&{\text{where }}x=F_{X}^{-1}(u)=-\ln(1-u)/\lambda \\&{\text{where }}y=F_{Y}^{-1}(v)=-\ln(1-v)/\mu \end{aligned}}$	система массового обслуживания с бесконечным количеством серверов
Рэлей	доказано, что двумерная экспонента, копулы Рэлея и Вейбулла эквивалентны	обнаружение изменений на изображениях SAR
Вейбулл	доказано, что двумерная экспонента, копулы Рэлея и Вейбулла эквивалентны	цифровая связь по затухающим каналам
Логнормальный	двумерная логнормальная копула и гауссова копула эквивалентны	затухание теней вместе с эффектом многолучевого распространения в беспроводном канале
Фарли-Гумбель-Моргенштерн (КОЖПО)	${\begin{aligned}={}&1+\theta (1-2u)(1-2v)\\&{\text{where }}\theta \in [-1,1]\end{aligned}}$	обработка информации неопределенности в системах, основанных на знаниях
Клейтон	${\begin{aligned}={}&(1+\theta )(uv)^{(-1-\theta )}(-1+u^{-\theta }+v^{-\theta })^{(-2-1/\theta )}\\&{\text{where }}\theta \in (-1,\infty ),\theta \neq 0\end{aligned}}$	оценка местоположения источника случайного сигнала и проверка гипотез с использованием гетерогенных данных
Откровенный	${\begin{aligned}={}&{\frac {-\theta e^{-\theta (u+v)}(e^{-\theta }-1)}{(e^{-\theta }-e^{-\theta u}-e^{-\theta v}+e^{-\theta (u+v)})^{2}}}\\&{\text{where }}\theta \in (-\infty ,+\infty ),\theta \neq 0\end{aligned}}$	количественная оценка риска геологических опасностей
Студенческая т	${\begin{aligned}={}&{\frac {\Gamma (0.5v)\Gamma (0.5v+1)(1+(t_{v}^{-2}(u)+t_{v}^{-2}(v)-2\rho t_{v}^{-1}(u)t_{v}^{-1}(v))/(v(1-\rho ^{2})))^{-0.5(v+2)})}{{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\cdot \Gamma (0.5(v+1))^{2}(1+t_{v}^{-2}(u)/v)^{-0.5(v+1)}(1+t_{v}^{-2}(v)/v)^{-0.5(v+1)}}}\\&{\text{where }}\rho \in (-1,1)\\&{\text{where }}\phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{z}\exp \left({\frac {-t^{2}}{2}}\right)\,dt\\&{\text{where }}t_{v}(x\mid v)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\Gamma {(0.5(v+1))}}{{\sqrt {v\pi }}(\Gamma {0.5v})(1+v^{-1}t^{2})^{0.5(v+1)}}}dt\\&{\text{where }}v={\text{degrees of freedom}}\\&{\text{where }}\Gamma {\text{ is the Gamma function}}\end{aligned}}$	контролируемая классификация изображений SAR, объединение коррелированных сенсорных решений
Накагами-м
Райциан

См. также

• Связь (вероятность)

Дальнейшее чтение

• Стандартный справочник по введению в копулы. Охватывает все фундаментальные аспекты, суммирует наиболее популярные классы копул и предоставляет доказательства важных теорем, связанных с копулами.

Роджер Б. Нельсен (1999), «Введение в копулы», Springer. ISBN   978-0-387-98623-4

• Книга, освещающая текущие темы математических исследований копул:

Петр Яворский, Фабрицио Дуранте, Вольфганг Карл Хёрдле, Томаш Рыхлик (редакторы): (2010): «Теория связки и ее приложения», конспект лекций по статистике, Springer. ISBN   978-3-642-12464-8

• Справочник по приложениям выборки и стохастическим моделям, связанным с копулами, см.

Ян-Фредерик Май, Маттиас Шерер (2012): Моделирование копул (стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения). Всемирная научная. ISBN   978-1-84816-874-9

• Статья, посвященная историческому развитию теории копул, написанная человеком, связанным с «изобретением» копул, Эйбом Скларом .

Эйб Склар (1997): «Случайные переменные, функции распределения и копулы – личный взгляд назад и вперед» в Рюшендорфе, Л., Швейцере, Б. и Тейлоре, М. (ред.) Распределения с фиксированными маргинальными значениями и смежные темы (лекция) Примечания – Серия монографии № 28). ISBN   978-0-940600-40-9

• Стандартный справочник по многомерным моделям и теории копул в контексте финансовых и страховых моделей.

Александр Дж. МакНил, Рюдигер Фрей и Пол Эмбрехтс (2005) «Количественное управление рисками: концепции, методы и инструменты», Принстонская серия по финансам. ISBN   978-0-691-12255-7

Внешние ссылки

• «Связка» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Copula Wiki: портал сообщества для исследователей, интересующихся копулами. Архивировано 11 сентября 2016 г. на Wayback Machine.
• Коллекция кодов моделирования и оценки Copula.
• Копулы и корреляция с использованием статей по моделированию Excel
• Глава 1 Ян-Фредерик Май, Маттиас Шерер (2012) «Моделирование копул: стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения»