Интегральное преобразование вероятности

В теории вероятностей преобразование интеграла вероятности (также известное как универсальность равномерного распределения ) связано с тем, что значения данных, смоделированные как случайные величины из любого заданного непрерывного распределения, могут быть преобразованы в случайные величины, имеющие стандартное равномерное распределение . ^[1] Это справедливо при условии, что используемое распределение является истинным распределением случайных величин; если распределение соответствует данным, результат будет сохраняться приблизительно в больших выборках.

Результат иногда модифицируется или расширяется, так что результатом преобразования является стандартное распределение, отличное от равномерного распределения, например экспоненциальное распределение .

Преобразование было введено Рональдом Фишером в его книге «Статистические методы для научных работников», изданной в 1932 году . ^[2]

Приложения

Одним из вариантов использования преобразования интеграла вероятности в статистическом анализе данных является обеспечение основы для проверки того, можно ли разумно смоделировать набор наблюдений как результат заданного распределения. В частности, преобразование интеграла вероятности применяется для построения эквивалентного набора значений, а затем проверяется, подходит ли равномерное распределение для построенного набора данных. Примерами этого являются графики P–P и тесты Колмогорова–Смирнова .

Второе применение преобразования - в теории, связанной с копулами , которые являются средством определения и работы с распределениями для статистически зависимых многомерных данных. Здесь проблема определения или управления совместным распределением вероятностей для набора случайных величин упрощается или уменьшается в кажущейся сложности за счет применения преобразования интеграла вероятности к каждому из компонентов, а затем работы с совместным распределением, для которого маргинальные переменные имеют равномерные распределения. .

Третье использование основано на применении обратного преобразования интеграла вероятности для преобразования случайных величин из равномерного распределения в выбранное распределение: это известно как выборка обратного преобразования .

Заявление

Предположим, что случайная величина $X$ имеет непрерывное распределение , для которого кумулятивная функция распределения (CDF) равна $F_{X}.$ Тогда случайная величина $Y$ определяется как

Y:=F_{X}(X)\,,

имеет стандартное равномерное распределение . ^[1]^[3]

Эквивалентно, если $\mu$ является единой мерой $[0,1]$ , распределение $X$ на $\mathbb {R}$ это мера продвижения вперед $\mu \circ F_{X}^{-1}$ .

Доказательство

Учитывая любую случайную непрерывную величину $X$ , определять $Y=F_{X}(X)$ . Данный $y\in [0,1]$ , если $F_{X}^{-1}(y)$ существует (т. е. если существует уникальный $x$ такой, что $F_{X}(x)=y$ ), затем:

{\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (Y\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{-1}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))\\&=y\end{aligned}}

Если $F_{X}^{-1}(y)$ не существует, то в этом доказательстве ее можно заменить функцией $\chi$ , где мы определяем $\chi (0)=-\infty$ , $\chi (1)=\infty$ , и $\chi (y)\equiv \inf\{x:F_{X}(x)\geq y\}$ для $y\in (0,1)$ , с тем же результатом, что $F_{Y}(y)=y$ . Таким образом, $F_{Y}$ это просто CDF $\mathrm {Uniform} (0,1)$ случайная величина, так что $Y$ имеет равномерное распределение на интервале $[0,1]$ .

Примеры

В качестве первого, наглядного примера, пусть $X$ быть случайной величиной со стандартным нормальным распределением ${\mathcal {N}}(0,1)$ . Тогда его CDF равен

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}{\rm {e}}^{-t^{2}/2}\,{\rm {d}}t={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\,

где $\operatorname {erf} (),$ это функция ошибки . Тогда новая случайная величина $Y,$ определяется $Y:=\Phi (X),$ распределяется равномерно.

В качестве второго примера, если $X$ имеет экспоненциальное распределение с единичным средним значением, то его CDF равен

F(x)=1-\exp(-x),

и непосредственный результат преобразования интеграла вероятности состоит в том, что

Y=1-\exp(-X)

имеет равномерное распределение. Более того, в силу симметрии равномерного распределения

Z=\exp(-X)

также имеет равномерное распределение.

См. также

Выборка обратного преобразования

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Додж, Ю. (2006) Оксфордский словарь статистических терминов , Oxford University Press
^ Дэвид, ФН; Джонсон, Нидерланды (1948). «Преобразование интеграла вероятности при оценке параметров по выборке» . Биометрика . 35 (1/2): 182. дои : 10.2307/2332638 . JSTOR 2332638 .
^ Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Теорема 2.1.10, с.54.

[Dodge-1] Jump up to: ^а ^б Додж, Ю. (2006) Оксфордский словарь статистических терминов , Oxford University Press

[2] Дэвид, ФН; Джонсон, Нидерланды (1948). «Преобразование интеграла вероятности при оценке параметров по выборке» . Биометрика . 35 (1/2): 182. дои : 10.2307/2332638 . JSTOR 2332638 .

[3] Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Теорема 2.1.10, с.54.

[1]

[2]

[3]