Непрерывное равномерное распределение

Непрерывная форма

Функция плотности вероятности Использование максимального соглашения
Кумулятивная функция распределения
Обозначения	${\mathcal {U}}_{[a,b]}$
Параметры	$-\infty <a<b<\infty$
Поддерживать	$[a,b]$
PDF	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x>b\end{cases}}$
Иметь в виду	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
медиана	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Режим	${\text{any value in }}(a,b)$
Дисперсия	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
БЕЗУМНЫЙ	${\tfrac {1}{4}}(b-a)$
асимметрия	$0$
Избыточный эксцесс	$-{\tfrac {6}{5}}$
Энтропия	$\log(b-a)$
МГФ	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}$
CF	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}$

В теории вероятностей и статистике непрерывные равномерные распределения или прямоугольные распределения представляют собой семейство симметричных распределений вероятностей . Такое распределение описывает эксперимент, в котором произвольный результат находится между определенными границами. Границы определяются параметрами, $a$ и $b,$ какие минимальные и максимальные значения. Интервал может быть либо замкнутым (т.е. $[a,b]$) или открытый (т.е. $(a,b)$). Поэтому распределение часто сокращается $U(a,b),$ где $U$ означает равномерное распределение. Разница между границами определяет длину интервала; все интервалы одинаковой длины на носителе распределения равновероятны. Это максимальное распределение вероятностей энтропии для случайной величины. $X$ ни при каких ограничениях, кроме того, что он содержится в поддержке дистрибутива.

Определения

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения равна

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}$

Значения $f(x)$ на двух границах $a$ и $b$ обычно не имеют значения, поскольку не меняют значения ${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$ за любой интервал $[c,d],$ ни из ${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}$ ни какого-либо высшего момента. Иногда они выбираются равными нулю, а иногда выбираются равными ${\tfrac {1}{b-a}}.$ Последнее уместно в контексте оценки методом максимального правдоподобия . В контексте анализа Фурье можно принять значение $f(a)$ или $f(b)$ быть ${\tfrac {1}{2(b-a)}},$ потому что тогда обратное преобразование многих интегральных преобразований этой равномерной функции вернет саму функцию, а не функцию, которая равна « почти всюду », то есть за исключением набора точек с нулевой мерой . Кроме того, это согласуется со знаковой функцией , которая не имеет такой двусмысленности.

Любая функция плотности вероятности интегрируется с $1,$ поэтому функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения графически изображается в виде прямоугольника, где ⁠ $b-a$⁠ — базовая длина, ⁠ ${\tfrac {1}{b-a}}$⁠ — высота. По мере увеличения длины основания высота (плотность при любом конкретном значении в пределах границ распределения) уменьшается.

С точки зрения среднего $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2},$ функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения равна

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения непрерывного равномерного распределения:

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}$

Его обратная сторона:

$F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.$

С точки зрения среднего $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2},$ кумулятивная функция распределения непрерывного равномерного распределения равна:

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}$

его обратная сторона:

$F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.$

Пример 1. Использование непрерывной функции равномерного распределения

Для случайной величины $X\sim U(0,23),$ находить $P(2<X<18):$

$P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}.$

В графическом представлении непрерывной функции равномерного распределения $[f(x){\text{ vs }}x],$ область под кривой в заданных границах, отображающая вероятность, представляет собой прямоугольник. В приведенном выше примере базой будет ⁠ $16,$⁠ и высота будет ⁠ ${\tfrac {1}{23}}.$⁠

Пример 2. Использование непрерывной функции равномерного распределения (условное)

Для случайной величины $X\sim U(0,23),$ находить $P(X>12\ |\ X>8):$

$P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}.$

Приведенный выше пример представляет собой случай условной вероятности для непрерывного равномерного распределения: учитывая, что ⁠ $X>8$⁠ верно, какова вероятность того, что ⁠ $X>12?$⁠ Условная вероятность меняет выборочное пространство, поэтому новая длина интервала ⁠ $b-a'$⁠ необходимо рассчитать, где $b=23$ и $a'=8.$ Графическое представление по-прежнему будет следовать примеру 1, где область под кривой в указанных границах отображает вероятность; основание прямоугольника будет ⁠ $11,$⁠ и высота будет ⁠ ${\tfrac {1}{15}}.$⁠

Генерирующие функции

Функция генерации момента

Момент -генерирующая функция непрерывного равномерного распределения равна:

$M_{X}=\mathrm {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(b-a)}},$

из которого мы можем вычислить исходные моменты $m_{k}:$

$m_{1}={\frac {a+b}{2}},$

$m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},$

$m_{k}={\frac {\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}}{k+1}}.$

Для случайной величины, имеющей непрерывное равномерное распределение, ожидаемое значение равно $m_{1}={\tfrac {a+b}{2}},$ и дисперсия ​ $m_{2}-m_{1}^{2}={\tfrac {(b-a)^{2}}{12}}.$

Для особого случая $a=-b,$ функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения равна:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for }}-b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}};\end{cases}}$

производящая момент функция сводится к простому виду:

$M_{X}={\frac {\sinh bt}{bt}}.$

Кумулянт-генерирующая функция

Для ⁠ $n\geq 2,$⁠ ​ $n$-й кумулянт непрерывного равномерного распределения на интервале ⁠ $[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]$⁠ это ${\tfrac {B_{n}}{n}},$ где $B_{n}$ это $n$-е число Бернулли .

Стандартное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение с параметрами $a=0$ и $b=1,$ т.е. $U(0,1),$ называется стандартным равномерным распределением .

Одно интересное свойство стандартного равномерного распределения состоит в том, что если $u_{1}$ имеет стандартное равномерное распределение, то и $1-u_{1}.$ Это свойство можно использовать для создания противоположных переменных , среди прочего, . Другими словами, это свойство известно как метод инверсии , при котором непрерывное стандартное равномерное распределение можно использовать для генерации случайных чисел для любого другого непрерывного распределения. Если $u_{1}$ — равномерное случайное число со стандартным равномерным распределением, т. е. с $U(0,1),$ затем $x=F^{-1}(u_{1})$ генерирует случайное число $x$ из любого непрерывного распределения с заданной кумулятивной функцией распределения $F.$

Связь с другими функциями

Если в точках перехода соблюдаются те же соглашения, функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения также может быть выражена через ступенчатую функцию Хевисайда как:

$f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},$

или с точки зрения функции прямоугольника как:

$f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).$

нет никакой двусмысленности В точке перехода знаковой функции . Используя соглашение о полувысоте в точках перехода, непрерывное равномерное распределение можно выразить через знаковую функцию как:

$f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.$

Характеристики

Моменты

Среднее значение (первый необработанный момент ) непрерывного равномерного распределения равно:

$E(X)=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.$

Второй необработанный момент этого распределения:

$E(X^{2})=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.$

В целом, $n$-й исходный момент этого распределения:

$E(X^{n})=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.$

Дисперсия (второй центральный момент ) этого распределения равна:

$V(X)=E\left({\big (}X-E(X){\big )}^{2}\right)=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.$

Статистика заказов

Позволять $X_{1},...,X_{n}$ быть образцом iid из $U(0,1),$ и пусть $X_{(k)}$ быть $k$ -го Статистика порядка из этой выборки.

$X_{(k)}$ имеет бета-распределение с параметрами $k$ и ⁠ $n-k+1.$⁠

Ожидаемое значение:

$\operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.$

Этот факт полезен при построении графиков Q–Q .

Разница составляет:

$\operatorname {V} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.$

См. Также: Статистика заказов § Распределение вероятностей статистики заказов.

Единообразие

Вероятность того, что непрерывно равномерно распределенная случайная величина попадает в какой-либо интервал фиксированной длины, не зависит от местоположения самого интервала (но зависит от размера интервала $(\ell )$), пока интервал содержится в поддержке распределения.

Действительно, если $X\sim U(a,b)$ и если $[x,x+\ell ]$ представляет собой подинтервал $[a,b]$ с фиксированным $\ell >0,$ затем:

$P{\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},$

который не зависит от $x.$ Этот факт мотивирует название дистрибутива.

Обобщение на борелевские множества.

Это распределение можно обобщить на более сложные множества, чем интервалы. Позволять $S$ — борелевское множество положительной конечной меры Лебега $\lambda (S),$ т.е. $0<\lambda (S)<+\infty .$ Равномерное распределение по $S$ может быть задано путем определения функции плотности вероятности, равной нулю вне $S$ и постоянно равен ${\tfrac {1}{\lambda (S)}}$ на $S.$

Связанные дистрибутивы

• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то с помощью выборки обратного преобразования метода Y = − λ ⁻¹ ln( X ) имеет экспоненциальное распределение с параметром (скорости) λ .
• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то Y = X ^н имеет бета-распределение с параметрами (1/ n ,1). Как таковой,
• Распределение Ирвина – Холла представляет собой сумму распределений n i.id U (0,1).
• Распределение Бейтса представляет собой среднее значение распределений n i.id U (0,1).
• Стандартное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения с параметрами (1,1).
• Сумма двух независимых равномерных распределений U ₁ (a,b)+ U ₂ (c,d) дает трапециевидное распределение , симметричное относительно своего среднего, на носителе [a+c,b+d]. Плато имеет ширину, равную абсолютной разнице ширины U ₁ и U ₂ . Ширина наклонных частей соответствует ширине самого узкого равномерного распределения.
  • Если равномерные распределения имеют одинаковую ширину w, результатом будет треугольное распределение , симметричное относительно своего среднего значения, на носителе [a+c,a+c+2w].
  • Сумма двух независимых, одинаково распределенных, равномерных распределений U ₁ (a,b)+ U ₂ (a,b) дает симметричное треугольное распределение на носителе [2a,2b].
• Расстояние между двумя iid равномерными случайными величинами | U ₁ (а,б)- U ₂ (а,б)| также имеет треугольное распределение , хотя и не симметричное, на носителе [0,ba].

Статистический вывод

Оценка параметров

Оценка максимума

Несмещенная оценка с минимальной дисперсией

Основная статья: Проблема немецких танков

При равномерном распределении по $[0,b]$ с неизвестным $b,$ несмещенная оценка минимальной дисперсии (UMVUE) для максимума:

${\hat {b}}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}},$

где $m$ – выборочный максимум и $k$ — размер выборки , выборка без замещения (хотя это различие почти наверняка не имеет значения для непрерывного распределения). Это следует по тем же причинам, что и оценка дискретного распределения , и может рассматриваться как очень простой случай оценки максимального расстояния . Эта проблема широко известна как проблема немецких танков из-за применения максимальной оценки к оценкам производства немецких танков во время Второй мировой войны .

Метод оценки момента

Метод оценки моментов :

${\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}},$

где ${\bar {X}}$ – выборочное среднее.

Оценщик максимального правдоподобия

максимального правдоподобия Оценка :

${\hat {b}}_{ML}=m,$

где $m$ – это выборочный максимум , также обозначаемый как $m=X_{(n)},$ статистика максимального порядка выборки.

Оценка минимума

При равномерном распределении по $[a,b]$ с неизвестным a оценка максимального правдоподобия для a равна:

${\hat {a}}_{ML}=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$,

образец минимум .

Оценка средней точки

Середина распределения, ${\tfrac {a+b}{2}},$ является одновременно средним и медианой равномерного распределения. Хотя и выборочное среднее, и выборочная медиана являются несмещенными оценками средней точки, ни один из них не является столь же эффективным, как выборочный средний диапазон , то есть среднее арифметическое выборочного максимума и выборочного минимума, которое является оценкой UMVU средней точки (и также оценка максимального правдоподобия ).

Доверительный интервал

Для максимального

Позволять $X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}$ быть образцом из $U_{[0,L]},$ где $L$ является максимальным значением в популяции. Затем $X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})$ имеет плотность Лебега-Бореля $f={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}:$

$f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),$ где $1\!\!1_{[0,L]}$ – индикаторная функция $[0,L].$

Приведенный ранее доверительный интервал математически неверен, поскольку

$\Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha$

не может быть решено для $\varepsilon$ без знания $\theta$. Однако можно решить

$\Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha$ для $\varepsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1$ для любого неизвестного, но действительного $\theta ;$

затем выбирают наименьшее $\varepsilon$ возможно выполнение условия выше. Обратите внимание, что длина интервала зависит от случайной величины ${\hat {\theta }}.$

Возникновение и применение

Вероятности для функции равномерного распределения легко вычислить благодаря простоте формы функции. Следовательно, существуют различные приложения, для которых это распределение может использоваться, как показано ниже: ситуации проверки гипотез, случай случайной выборки, финансы и т. д. Кроме того, как правило, эксперименты физического происхождения следуют равномерному распределению (например, выброс радиоактивных частиц ). Однако важно отметить, что в любом приложении существует неизменное предположение, что вероятность попадания в интервал фиксированной длины постоянна.

Экономический пример равномерного распределения

В области экономики спрос и пополнение обычно не соответствуют ожидаемому нормальному распределению. В результате для лучшего прогнозирования вероятностей и тенденций используются другие модели распределения, такие как процесс Бернулли . Но, по мнению Ванке (2008), в частном случае исследования времени выполнения заказа для управления запасами в начале жизненного цикла , когда анализируется совершенно новый продукт, равномерное распределение оказывается более полезным. В этой ситуации другое распространение может быть нежизнеспособным, поскольку отсутствуют данные о новом продукте или история спроса недоступна, поэтому на самом деле не существует подходящего или известного распределения. Равномерное распределение было бы идеальным в этой ситуации, поскольку случайная величина времени выполнения заказа (связанная со спросом) для нового продукта неизвестна, но результаты, вероятно, будут находиться в диапазоне между двумя вероятными значениями. Таким образом, время выполнения заказа будет представлять собой случайную величину. На основе модели равномерного распределения другие факторы, связанные со временем выполнения заказа, можно было рассчитать такие как уровень обслуживания цикла и дефицит за цикл . Также было отмечено, что из-за простоты расчетов также использовалось равномерное распределение.

Выборка из произвольного распределения

Основная статья: Выборка обратного преобразования

Равномерное распределение полезно для выборки из произвольных распределений. Общим методом является метод выборки обратного преобразования, который использует кумулятивную функцию распределения (CDF) целевой случайной величины. Этот метод очень полезен в теоретической работе. Поскольку моделирование с использованием этого метода требует инвертирования CDF целевой переменной, были разработаны альтернативные методы для случаев, когда CDF неизвестен в закрытой форме. Одним из таких методов является бракованная выборка .

Нормальное распределение является важным примером, когда метод обратного преобразования неэффективен. Однако существует точный метод — преобразование Бокса-Мюллера , который использует обратное преобразование для преобразования двух независимых однородных случайных величин в две независимые нормально распределенные случайные величины.

Ошибка квантования

Основная статья: Ошибка квантования

При аналого-цифровом преобразовании возникает ошибка квантования. Эта ошибка связана либо с округлением, либо с усечением. Когда исходный сигнал намного больше одного младшего значащего бита (LSB) , ошибка квантования незначительно коррелирует с сигналом и имеет приблизительно равномерное распределение. Таким образом, среднеквадратическая ошибка следует из дисперсии этого распределения.

Генерация случайной переменной

Существует множество приложений, в которых полезно проводить имитационные эксперименты. Многие языки программирования имеют реализации для генерации псевдослучайных чисел , которые эффективно распределяются в соответствии со стандартным равномерным распределением.

С другой стороны, равномерно распределенные числа часто используются в качестве основы для генерации неравномерных случайных величин .

Если $u$ — значение, выбранное из стандартного равномерного распределения, тогда значение $a+(b-a)u$ следует равномерному распределению, параметризованному $a$ и $b,$ как описано выше.

История

Хотя историческое происхождение концепции равномерного распределения неубедительно, предполагается, что термин «равномерное» возник из концепции равновероятности в играх в кости (обратите внимание, что игры в кости будут иметь дискретное , а не непрерывное однородное выборочное пространство). Равновероятность была упомянута в книге Джероламо Кардано « Liber de Ludo Aleae» , руководстве, написанном в 16 веке и подробно описывающем расширенное исчисление вероятностей применительно к игральным костям.

См. также

• Дискретное равномерное распределение
• Бета-дистрибутив
• Преобразование Бокса – Мюллера
• Вероятностный график
• График вопросов-вопросов
• Прямоугольная функция
• Распределение Ирвина-Холла . В вырожденном случае, когда n = 1, распределение Ирвина-Холла создает равномерное распределение между 0 и 1.
• Распределение Бейтса — аналогично распределению Ирвина-Холла, но масштабировано для n. Как и распределение Ирвина-Холла, в вырожденном случае, когда n = 1, распределение Бейтса создает равномерное распределение между 0 и 1.

Дальнейшее чтение

• Казелла, Джордж; Роджер Л. Бергер (2001), Статистический вывод (2-е изд.), Thomson Learning, ISBN  978-0-534-24312-8 , LCCN   2001025794

Внешние ссылки

• Онлайн калькулятор Равномерного распределения (непрерывный)