Момент (математика)

В математике моменты это определенные количественные меры , функции — функции связанные с формой графика . Если функция представляет плотность массы, то нулевой момент — это полная масса, первый момент (нормированный на полную массу) — это центр массы , а второй момент — это момент инерции . Если функция представляет собой распределение вероятностей , то первый момент — это ожидаемое значение , второй центральный момент — это дисперсия , третий стандартизированный момент — это асимметрия , а четвертый стандартизированный момент — это эксцесс .

Для распределения массы или вероятности на ограниченном интервале совокупность всех моментов (всех порядков, от $0$ до $\infty$ ) однозначно определяет распределение ( проблема моментов Хаусдорфа ). То же самое неверно на неограниченных интервалах ( проблема моментов Гамбургера ).

В середине XIX века Пафнутий Чебышев стал первым человеком, который систематически мыслил в терминах моментов случайных величин . ^[1]

Значимость моментов

n $-ый$ необработанный момент (т.е. момент около нуля) случайной величины $X$ с функцией плотности $f(x)$ определяется ^[2] $\mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{discrete distribution}}\\[1.2ex]\int x^{n}f(x)\,dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}$ n $-й$ момент вещественной непрерывной случайной величины с функцией плотности $f(x)$ о ценности $c$ это интеграл $\mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$

можно определить Моменты для случайных величин более общим способом, чем моменты для вещественнозначных функций — см. моменты в метрических пространствах . Момент функции без дальнейших пояснений обычно относится к приведенному выше выражению с $c=0$ .Для второго и более высоких моментов обычно используется центральный момент (моменты около среднего значения, где c — среднее значение), а не моменты около нуля, поскольку они предоставляют более четкую информацию о форме распределения.

Могут быть определены и другие моменты. Например, $n-$ й обратный момент относительно нуля равен $\operatorname {E} \left[X^{-n}\right]$ а $n$ -й логарифмический момент относительно нуля равен $\operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].$

n $-й$ момент около нуля функции плотности вероятности $f(x)$ значение ожидаемое $X^{n}$ и называется необработанным моментом или грубым моментом . ^[3] Моменты о его значении $\mu$ называются центральными моментами ; они описывают форму функции независимо от перевода .

Если $f$ является функцией плотности вероятности , то значение приведенного выше интеграла называется $n$ -м моментом распределения вероятностей . В более общем смысле, если F — кумулятивная функция распределения вероятностей любого распределения вероятностей, которое может не иметь функции плотности, то $n$ -й момент распределения вероятностей определяется интегралом Римана – Стилтьеса. $\mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)$ где X — случайная величина , имеющая кумулятивное распределение F , а $E$ — оператор ожидания или среднее значение.Когда $\operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty$ Говорят, что момент не существует. Если $существует n$ -й момент относительно любой точки, то существует и $(n - 1)$ -й момент (и, следовательно, все моменты низшего порядка) относительно каждой точки.Нулевой момент любой функции плотности вероятности равен 1, поскольку площадь под любой функцией плотности вероятности должна быть равна единице.

Значимость моментов (необработанных, центральных, стандартизированных) и кумулянтов (необработанных, нормализованных) в связи с названными свойствами распределений
Момент порядковый номер	Момент			кумулятивный
Момент порядковый номер	Сырой	Центральный	Стандартизированный	Сырой	Нормализованный
1	Иметь в виду	0	0	Иметь в виду	—
2	–	Дисперсия	1	Дисперсия	1
3	–	–	асимметрия	–	асимметрия
4	–	–	(Неизбыточный или исторический) эксцесс	–	Избыточный эксцесс
5	–	–	Гиперасимметрия	–	–
6	–	–	Гиперхвостость	–	–
7+	–	–	–	–	–

Стандартизированные моменты

Нормализованный - й $n$ центральный момент или стандартизованный момент — это $n-$ й центральный момент, разделенный на $σ. н$ ; нормированный $n$ -й центральный момент случайной величины $X$ равен ${\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.$

Эти нормированные центральные моменты представляют собой безразмерные величины , которые представляют распределение независимо от любого линейного изменения масштаба.

Примечательные моменты

Иметь в виду

Первый необработанный момент — это среднее значение , обычно обозначаемое $\mu \equiv \operatorname {E} [X].$

Дисперсия

Второй центральный момент – это дисперсия . Положительный квадратный корень дисперсии представляет собой стандартное отклонение. $\sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.$

асимметрия

Третий центральный момент — это мера однобокости распределения; любое симметричное распределение будет иметь третий центральный момент, если он определен, равный нулю. Нормированный третий центральный момент называется асимметрией , часто $γ$ . Распределение, смещенное влево (хвост распределения длиннее слева), будет иметь отрицательную асимметрию. Распределение, смещенное вправо (хвост распределения длиннее справа), будет иметь положительную асимметрию.

Для распределений, которые не слишком отличаются от нормального распределения , медиана будет где-то около $µ - γσ /6$ ; мода около − $µ / γσ 2$ .

Куртозис

Четвертый центральный момент является мерой тяжести хвоста распределения. Поскольку это ожидание четвертой степени, четвертый центральный момент, если он определен, всегда неотрицательен; и за исключением точечного распределения , оно всегда строго положительно. Четвертый центральный момент нормального распределения равен $3 σ. 4$ .

Эксцесс κ $.$ определяется как стандартизованный четвертый центральный момент (Точно так же, как и в следующем разделе, избыточный эксцесс — это четвертый кумулянт, разделенный на квадрат второго кумулянта .) ^[4]^[5] Если распределение имеет тяжелые хвосты, эксцесс будет высоким (иногда его называют лептокуртическим); и наоборот, распределения с легким хвостом (например, ограниченные распределения, такие как равномерное) имеют низкий эксцесс (иногда называемый платикуртическим).

Эксцесс может быть положительным без ограничений, но $κ$ должно быть больше или равно $γ. 2 + 1$ ; равенство справедливо только для двоичных распределений . Для неограниченных асимметричных распределений, не слишком далеких от нормального, $κ$ имеет тенденцию находиться где-то в области $γ. 2$ и $2 γ 2$ .

Неравенство можно доказать, рассмотрев $\operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]$ где $Т знак равно (Икс - μ)/ σ$ . Это математическое ожидание квадрата, поэтому оно неотрицательно для всех a ; однако это также квадратичный многочлен от a . Его дискриминант должен быть неположительным, что дает требуемую связь.

Высшие моменты

Моменты высокого порядка — это моменты, выходящие за пределы моментов 4-го порядка.

Как и в случае с дисперсией, асимметрией и эксцессом, это статистика более высокого порядка , включающая нелинейные комбинации данных, и ее можно использовать для описания или оценки дальнейших параметров формы . Чем выше момент, тем сложнее его оценить, в том смысле, что для получения оценок аналогичного качества требуются более крупные выборки. Это связано с избыточными степенями свободы, потребляемыми высшими порядками. Кроме того, их может быть сложно интерпретировать, и зачастую их проще всего понять с точки зрения моментов более низкого порядка — сравните производные более высокого порядка от рывка и толчка в физике . Например, точно так же, как момент 4-го порядка (эксцесс) можно интерпретировать как «относительную важность хвостов по сравнению с плечами во вкладе в дисперсию» (при заданной величине дисперсии более высокий эксцесс соответствует более толстым хвостам, а меньший эксцесс соответствует к более широким плечам), момент 5-го порядка можно интерпретировать как измерение «относительной важности хвостов по сравнению с центром ( мода и плечи) в вкладе в асимметрию» (при заданной величине асимметрии более высокий 5-й момент соответствует большей асимметрии в хвостовых частях и небольшой асимметрии моды, тогда как меньший 5-й момент соответствует большей асимметрии в плечах).

Смешанные моменты

Смешанные моменты — это моменты, включающие несколько переменных.

Значение $E[X^{k}]$ называется моментом заказа $k$ (моменты определены также для нецелых $k$ ). Моменты совместного распределения случайных величин $X_{1}...X_{n}$ определяются аналогично. Для любых целых чисел $k_{i}\geq 0$ , математическое ожидание $E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]$ называется смешанным моментом порядка $k$ (где $k=k_{1}+...+k_{n}$ ), и $E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]$ называется центральным смешанным моментом порядка $k$ . Смешанный момент $E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]$ называется ковариацией и является одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами.

Некоторыми примерами являются ковариация , совместная асимметрия и кокуртозис . Несмотря на уникальную ковариацию, существует множество коасимметрий и кокуртосов.

Свойства моментов

Трансформация центра

С $(x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}$ где ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$ - биномиальный коэффициент , отсюда следует, что моменты относительно b можно вычислить из моментов вокруг a по формуле: $E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.$

Момент свертки функции

Необработанный момент свертки ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$ читает $\mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]$ где $\mu _{n}[\,\cdot \,]$ обозначает $n$ -й момент функции, указанной в скобках. Это тождество следует из теоремы свертки для производящей функции момента и применения цепного правила для дифференцирования продукта.

Кумулянты

Первый необработанный момент, а также второй и третий ненормированные центральные моменты аддитивны в том смысле, что если X и Y являются независимыми случайными величинами, то ${\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}$

(Они также могут выполняться для переменных, которые удовлетворяют более слабым условиям, чем независимость. Первое всегда выполняется; если выполняется второе, переменные называются некоррелированными ).

Фактически, это первые три кумулянта, и все кумулянты обладают этим свойством аддитивности.

Примеры моментов

Для всех k k $- й$ исходный момент совокупности можно оценить, используя $k$ -й исходный момент выборки. ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$ применяется к выборке $X 1, ..., X n,$ взятой из генеральной совокупности.

Можно показать, что ожидаемое значение момента исходной выборки равно $k$ -му исходному моменту совокупности, если этот момент существует, для любого размера выборки $n$ . Таким образом, это несмещенная оценка. Это контрастирует с ситуацией с центральными моментами, при вычислении которых используется определенная степень свободы с использованием выборочного среднего. Так, например, несмещенная оценка дисперсии совокупности (второй центральный момент) определяется выражением ${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$ в котором предыдущий знаменатель $n$ был заменен степенями свободы $n - 1$ и в котором ${\bar {X}}$ относится к выборочному среднему значению. Эта оценка момента совокупности превышает нескорректированный наблюдаемый момент выборки в раз. ${\tfrac {n}{n-1}},$ и ее называют «скорректированной выборочной дисперсией» или иногда просто «выборочной дисперсией».

Проблема моментов

Задачи определения распределения вероятностей по его последовательности моментов называются задачами моментов . Такие проблемы впервые были обсуждены П. Л. Чебышевым (1874). ^[6] в связи с исследованиями предельных теорем. Для того, чтобы распределение вероятностей случайной величины $X$ однозначно определяться своими моментами $\alpha _{k}=E\left[X^{k}\right]$ достаточно, например, чтобы выполнялось условие Карлемана: $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty$ Аналогичный результат справедлив даже для моментов случайных векторов. Проблема моментов ищет характеристики последовательностей. ${{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }$ которые являются последовательностями моментов некоторой функции f, все моменты $\alpha _{k}(n)$ из которых конечны, и для каждого целого числа $k\geq 1$ позволять $\alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,$ где $\alpha _{k}$ конечно. Тогда есть последовательность ${\mu _{n}}'$ слабо сходящуюся к функции распределения $\mu$ имея $\alpha _{k}$ как его моменты. Если моменты определяют $\mu$ однозначно, то последовательность ${\mu _{n}}'$ слабо сходится к $\mu$ .

Частичные моменты

Частичные моменты иногда называют «односторонними моментами». Нижний $и верхний частичные моменты n$ -го порядка относительно опорной точки r можно выразить как

$\mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,$ $\mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$

Если интегральная функция не сходится, то парциальный момент не существует.

Частичные моменты нормализуются возведением в степень 1/ n . Отношение восходящего потенциала может быть выражено как отношение верхнего парциального момента первого порядка к нормализованному нижнему парциальному моменту второго порядка.

Центральные моменты в метрических пространствах

Пусть $(M, d)$ — метрическое пространство , и пусть B( M ) — σ $-$ алгебра на M , $σ$ -алгебра, порожденная d - подмножествами M. борелевская открытыми (По техническим причинам также удобно считать, что M — сепарабельное пространство относительно метрики d .) Пусть $1 ⩽ p ⩽ \infty$ .

p $-й$ центральный момент меры $µ$ на измеримом пространстве ( M , B( M )) относительно данной точки $x 0 \in M$ определяется как $\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).$

- Говорят, что µ имеет й $центральный$ момент если $p$ -й центральный момент $µ$ относительно x0 _, конечен для некоторого $x0 p \in M.$ конечный

Эта терминология для мер переносится на случайные величины обычным способом: если $(Ω, Σ, P)$ — пространство и $X : Ω \to M$ — случайная величина, то $p$ -й центральный момент X вероятностное относительно $x 0 \in М$ определяется как $\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],$ и X имеет конечный $p$ -й центральный момент если $p$ й центральный момент X относительно x0 _, конечен для $x0 некоторого \in M.$ -

См. также

Ссылки

Текст был скопирован из Moment at the Encyclopedia of Mathematics, которая выпущена под лицензией Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 (Unported) (CC-BY-SA 3.0) и лицензией GNU Free Documentation License .

^ Джордж Макки (июль 1980 г.). «ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАК ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ – ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 3 (1): 549.
^ Папулис, А. (1984). Вероятность, случайные величины и случайные процессы, 2-е изд . Нью-Йорк: МакГроу Хилл . стр. 145–149.
^ «Raw Moment — из Wolfram MathWorld» . Архивировано из оригинала 28 мая 2009 г. Проверено 24 июня 2009 г. Raw Moments в Math-world
^ Казелла, Джордж ; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Пасифик Гроув: Даксбери. ISBN 0-534-24312-6 .
^ Балланда, Кевин П.; МакГилливрей, HL (1988). «Куртосис: критический обзор». Американский статистик . 42 (2). Американская статистическая ассоциация: 111–119. дои : 10.2307/2684482 . JSTOR 2684482 .
^ Феллер, В. (1957-1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. 419 с.

Дальнейшее чтение

Спанос, Арис (1999). Теория вероятностей и статистический вывод . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 109–130 . ISBN 0-521-42408-9 .
Уокер, Хелен М. (1929). Исследования по истории статистического метода с особым упором на некоторые проблемы образования . Балтимор, Williams & Wilkins Co. p. 71 .

Внешние ссылки

«Момент» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Моменты в Mathworld

[1] Джордж Макки (июль 1980 г.). «ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАК ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ – ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 3 (1): 549.

[2] Папулис, А. (1984). Вероятность, случайные величины и случайные процессы, 2-е изд . Нью-Йорк: МакГроу Хилл . стр. 145–149.

[3] «Raw Moment — из Wolfram MathWorld» . Архивировано из оригинала 28 мая 2009 г. Проверено 24 июня 2009 г. Raw Moments в Math-world

[CasellaBerger-4] Казелла, Джордж ; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Пасифик Гроув: Даксбери. ISBN 0-534-24312-6 .

[BalandaMacGillivray88-5] Балланда, Кевин П.; МакГилливрей, HL (1988). «Куртосис: критический обзор». Американский статистик . 42 (2). Американская статистическая ассоциация: 111–119. дои : 10.2307/2684482 . JSTOR 2684482 .

[6] Феллер, В. (1957-1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. 419 с.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Теория вероятностных распределений
функция массы вероятности (pmf) функция плотности вероятности (pdf) кумулятивная функция распределения (cdf) функция квантиля
сырой момент центральный момент иметь в виду дисперсия стандартное отклонение асимметрия эксцесс L-момент
производящая момент функция (мгс) характеристическая функция вероятностная функция (pgf) накапливающийся объединение