Вырожденное распределение

Вырожденная одномерная

Кумулятивная функция распределения ВПР для k 0 =0. Горизонтальная ось — x .
Параметры	$k_{0}\in (-\infty ,\infty )\,$
Поддерживать	$x=k_{0}\,$
ПМФ	${\begin{matrix}1&{\mbox{for }}x=k_{0}\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}$
CDF	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<k_{0}\\1&{\mbox{for }}x\geq k_{0}\end{matrix}}$
Иметь в виду	$k_{0}\,$
медиана	$k_{0}\,$
Режим	$k_{0}\,$
Дисперсия	$0\,$
асимметрия	неопределенный
Избыточный эксцесс	неопределенный
Энтропия	$0\,$
МГФ	$e^{k_{0}t}\,$
CF	$e^{ik_{0}t}\,$

В математике ( вырожденное распределение иногда также распределение Дирака ) — это, по мнению некоторых, распределение вероятностей в пространстве с опорой только на многообразии меньшей размерности и по другим распределение с поддержкой только в одной точке. Согласно последнему определению, это детерминированное распределение , принимающее только одно значение. Примеры включают двуглавую монету и бросание кубика, на всех сторонах которого указано одинаковое число. Это распределение удовлетворяет определению «случайной величины», хотя оно и не кажется случайным в обычном смысле этого слова; следовательно, он считается вырожденным .

В случае вещественной случайной величины вырожденное распределение представляет собой одноточечное распределение , локализованное в точке k0 _на действительной прямой . Функция массы вероятности равна 1 в этой точке и 0 в других местах.

Вырожденное одномерное распределение можно рассматривать как предельный случай непрерывного распределения, дисперсия которого стремится к 0, в результате чего функция плотности вероятности становится дельта-функцией при k ₀ с бесконечной высотой, но площадью, равной 1.

Кумулятивная функция распределения одномерного вырожденного распределения:

$F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.$

Постоянная случайная величина

В теории вероятностей постоянная случайная величина — это дискретная случайная величина , которая принимает постоянное значение независимо от любого события происходящего . Технически это отличается от почти наверняка постоянной случайной величины , которая может принимать другие значения, но только для событий с нулевой вероятностью. Постоянные и почти наверняка постоянные случайные величины, имеющие вырожденное распределение, позволяют работать с постоянными значениями в вероятностной теории.

Пусть X : Ω → R — случайная величина, определенная в вероятностном пространстве (Ω, P ). Тогда X является почти наверняка постоянной случайной величиной, если существует $k_{0}\in \mathbb {R}$ такой, что

$\Pr(X=k_{0})=1,$

и, кроме того, является постоянной случайной величиной, если

$X(\omega )=k_{0},\quad \forall \omega \in \Omega .$

Постоянная случайная величина почти наверняка является постоянной, но не обязательно наоборот , поскольку если X почти наверняка постоянна, то может существовать γ ∈ Ω такое, что X (γ) ≠ k ₀ (но тогда обязательно Pr({γ}) = 0 , на самом деле Pr(X ≠ k ₀ ) = 0).

Для практических целей различие между X постоянным или почти наверняка постоянным неважно, поскольку кумулятивная функция распределения   F ( x ) X не зависит от того, является ли X постоянным или «просто» почти наверняка постоянным. В любом случае,

$F(x)={\begin{cases}1,&x\geq k_{0},\\0,&x<k_{0}.\end{cases}}$

Функция F ( x ) является ступенчатой ​​функцией ; в частности, это перевод ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Высшие измерения

Вырождение многомерного распределения от n случайных величин возникает, когда носитель лежит в пространстве размерности меньше n . Это происходит, когда хотя бы одна из переменных является детерминированной функцией других. Например, в случае с двумя переменными предположим, что Y = aX + b для скалярных случайных величин X и Y и скалярных констант a ≠ 0 и b ; здесь знание значения одного из X или Y дает точное знание значения другого. Все возможные точки ( x , y ) попадают на одномерную прямую y = ax + b .

В общем, когда одна или несколько из n случайных величин точно линейно определяются другими, если ковариационная матрица существует, ее ранг меньше n. и его определитель равен 0, поэтому он положительно полуопределенен , но не положительно определен, а совместное распределение вероятностей вырождено.

Вырождение также может произойти даже при ненулевой ковариации. Например, когда скаляр X распределен симметрично относительно 0, а Y точно определяется как Y = X ² , все возможные точки ( x , y ) попадают на параболу y = x ² , которое является одномерным подмножеством двумерного пространства.