Неопределенная форма
В исчислении обычно можно вычислить предел суммы, разности, произведения, частного или степени двух функций, взяв соответствующую комбинацию отдельных пределов каждой соответствующей функции. Например,
и то же самое для других арифметических операций; это иногда называют алгебраической предельной теоремой . Однако некоторые комбинации конкретных предельных значений не могут быть вычислены таким способом, и знание предела каждой функции в отдельности недостаточно для определения предела комбинации. Говорят, что в этих конкретных ситуациях предел принимает неопределенную форму , описываемую одним из неформальных выражений.
где каждое выражение обозначает предел функции, построенной как арифметическая комбинация двух функций, пределы которых соответственно стремятся к или как указано. [1]
Предел, принимающий одну из этих неопределенных форм, может стремиться к нулю, может стремиться к любому конечному значению, может стремиться к бесконечности или может расходиться, в зависимости от конкретных задействованных функций. Предел, однозначно стремящийся к бесконечности, например не считается неопределенным. [2] Этот термин был первоначально введен Коши учеником Муаньо в середине XIX века.
Наиболее распространенным примером неопределенной формы является частное двух функций, каждая из которых сходится к нулю. Эту неопределенную форму обозначают . Например, как подходы соотношения , , и пойти в , , и соответственно. В каждом случае, если подставить пределы числителя и знаменателя, результирующее выражение будет , что является неопределенным. В этом смысле может принимать значения , , или , путем соответствующего выбора функций для подстановки в числитель и знаменатель. Фактически можно найти пару функций, для которых пределом является любое конкретное заданное значение. Еще более удивительным, пожалуй, является то, что частное двух функций может фактически расходиться, а не просто расходиться до бесконечности. Например, .
Итак, тот факт, что две функции и сходиться к как приближается к некоторой предельной точке недостаточно для определения предела
Такую же форму неопределенной формы может иметь и выражение, возникающее иными способами, чем применение алгебраической предельной теоремы. Однако некорректно называть выражение «неопределённой формой», если выражение сделано вне контекста определения пределов.Примером может служить выражение . Оставлено ли это выражение неопределенным или оно определено как равное , зависит от области применения и может различаться у разных авторов. Подробнее читайте в статье Ноль в степени нуля . Обратите внимание, что и другие выражения, включающие бесконечность, не являются неопределенными формами .
Некоторые примеры и не примеры
[ редактировать ]Неопределенная форма 0/0
[ редактировать ]- Рис. 1: у = x / x
- Рис. 2: у = x 2 / x
- Рис. 3: у = грех х / х
- Рис. 4: у = х - 49 / √ х - 7 (для х = 49)
- Рис. 5: у = a x / x где a = 2
- Рис. 6: у = х / х 3
Неопределенная форма особенно распространен в исчислении , поскольку часто возникает при оценке производных с использованием их определения в терминах предела.
Как упоминалось выше,
пока
Этого достаточно, чтобы показать, что является неопределенной формой. Другие примеры этой неопределенной формы включают:
и
Прямая замена числа, которое подходы к любому из этих выражений показывают, что эти примеры соответствуют неопределенной форме , но эти пределы могут принимать множество разных значений. Любое желаемое значение для этой неопределенной формы можно получить следующим образом:
Значение также можно получить (в смысле расходимости на бесконечность):
Неопределенная форма 0 0
[ редактировать ]Следующие пределы иллюстрируют, что выражение представляет собой неопределенную форму:
Таким образом, в целом, зная, что и недостаточно для оценки предела
Если функции и являются аналитическими в , и является положительным для достаточно близко (но не равно) к , то предел будет . [3] В противном случае используйте преобразование из таблицы ниже, чтобы оценить предел.
Выражения, не являющиеся неопределенными формами
[ редактировать ]Выражение обычно не рассматривается как неопределенная форма, потому что, если предел существует, то нет никакой двусмысленности относительно его значения, поскольку оно всегда расходится. В частности, если подходы и подходы затем и можно выбрать так, что:
- подходы
- подходы
- Предел не существует.
В каждом случае абсолютное значение подходы , и поэтому частное должны расходиться, в смысле расширенных действительных чисел (в рамках проективно расширенной действительной линии пределом является беззнаковая бесконечность во всех трёх случаях [4] ). Аналогично любое выражение вида с (включая и ) не является неопределенной формой, поскольку частное, порождающее такое выражение, всегда будет расходиться.
Выражение не является неопределенной формой. Выражение полученное в результате рассмотрения дает предел при условии, что остается неотрицательным, так как подходы . Выражение аналогично эквивалентно ; если как подходы , предел получается как .
Чтобы понять, почему, позвольте где и Взяв натуральный логарифм обеих частей и используя мы поняли это это означает, что
Оценка неопределенных форм
[ редактировать ]Прилагательное неопределенное не означает , что предела не существует, как показывают многие приведенные выше примеры. Во многих случаях алгебраическое исключение, правило Лопиталя для манипулирования выражением и вычисления предела можно использовать или другие методы.
Эквивалент бесконечно малого
[ редактировать ]Когда две переменные и сходятся к нулю в одной и той же предельной точке и , они называются эквивалентными бесконечно малыми (экв. ).
Более того, если переменные и таковы, что и , затем:
Вот краткое доказательство:
Предположим, что существуют две эквивалентные бесконечно малые величины и .
Для оценки неопределенной формы , можно использовать следующие факты об эквивалентных бесконечно малых (например, если x становится ближе к нулю): [5]
Например:
Во 2-м равенстве где по мере того, как y становится ближе к 0, и используется где используется в 4-м равенстве, а используется в пятом равенстве.
Правило больницы
[ редактировать ]Правило Лопиталя — общий метод оценки неопределенных форм. и . Это правило гласит, что (при соответствующих условиях)
где и являются производными от и . (Обратите внимание, что это правило не распространяется на выражения , и т. д., поскольку эти выражения не являются неопределенными формами.) Эти производные позволят выполнить алгебраическое упрощение и в конечном итоге оценить предел.
Правило Лопиталя можно применить и к другим неопределенным формам, предварительно применив соответствующее алгебраическое преобразование. Например, чтобы оценить форму 0 0 :
Правая часть имеет вид , поэтому к нему применимо правило Лопиталя. Обратите внимание, что это уравнение справедливо (пока определена правая часть), поскольку натуральный логарифм (ln) является непрерывной функцией ; не имеет значения, насколько хорошо себя ведут и может (а может и не быть) до тех пор, пока является асимптотически положительной. (область логарифмов — это совокупность всех положительных действительных чисел.)
Хотя правило Лопиталя применимо к обоим и , одна из этих форм может оказаться полезнее другой в конкретном случае (из-за возможности последующего алгебраического упрощения). Между этими формами можно переключаться, преобразуя к .
Список неопределенных форм
[ редактировать ]В следующей таблице перечислены наиболее распространенные неопределенные формы и преобразования для применения правила Лопиталя.
Неопределенная форма | Условия | Преобразование в | Преобразование в |
---|---|---|---|
/ | — | ||
/ | — | ||
См. также
[ редактировать ]- Определенный и неопределенный
- Деление на ноль
- Расширенная строка действительных чисел
- Неопределенное уравнение
- Неопределенная система
- Неопределенный (переменный)
- Правило больницы
Ссылки
[ редактировать ]Цитаты
[ редактировать ]- ^ Варберг, Перселл и Ригдон (2007) , с. 423, 429, 430, 431, 432.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Неопределенный» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 декабря 2019 г.
- ^ Луи М. Ротандо; Генри Корн (январь 1977 г.). «Неопределенная форма 0 0 . Журнал Mathematics 50 ( 1): 41–42. doi : 10.2307/2689754 . JSTOR 2689754 .
- ^ «Неопределенное и неопределенное в математике» . www.cut-the-knot.org . Проверено 2 декабря 2019 г.
- ^ «Таблица эквивалентных бесконечно малых» (PDF) . Программное обеспечение Vaxa .
Библиографии
[ редактировать ]- Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007). Исчисление (9-е изд.). Пирсон Прентис Холл . ISBN 978-0131469686 .