однокосность

В вероятностей и статистике теории совместная асимметрия — это мера того, насколько три случайные величины изменяются вместе. Совместная асимметрия – это третий стандартизированный перекрестный центральный момент , связанный с асимметрией , поскольку ковариация связана с дисперсией . В 1976 году Краусс и Литценбергер использовали его для изучения риска инвестиций на фондовом рынке. ^[1] Применение риска было расширено Харви и Сиддиком в 2000 году. ^[2]

Если три случайные величины демонстрируют положительную одновременную асимметрию, они будут иметь тенденцию претерпевать крайние отклонения одновременно, нечетное число которых находится в положительном направлении (поэтому все три случайные величины претерпевают крайние положительные отклонения, или одна претерпевает крайнее положительное отклонение, а другая два претерпевают крайние отрицательные отклонения). Аналогично, если три случайные величины демонстрируют отрицательную совмещенную асимметрию, они будут иметь тенденцию одновременно подвергаться крайним отклонениям, четное число которых находится в положительном направлении (поэтому все три случайные величины претерпевают крайние отрицательные отклонения или одна испытывает крайнее отрицательное отклонение, в то время как два других претерпевают крайние положительные отклонения).

Типы

Существует два разных показателя степени асимметрии данных.

однокосность

Для трех случайных величин X , Y и Z нетривиальная статистика кососимметрии определяется как: ^[3]

S(X,Y,Z)={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])(Z-\operatorname {E} [Z])\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}\sigma _{Z}}}

где E[ X ] — ожидаемое значение X и , также известное как среднее значение X , $\sigma _{X}$ — отклонение X. стандартное

Стандартизированная кососимметричность рангов

Бернар, Чен, Рюшендорф и Вандюфель определили стандартизированную кососимметричность рангов трех случайных величин X , Y и Z как: ^[4]

RS(X,Y,Z)=32\operatorname {E} \left[\left(F_{X}(X)-{\frac {1}{2}}\right)\left(F_{Y}(Y)-{\frac {1}{2}}\right)\left(F_{Z}(Z)-{\frac {1}{2}}\right)\right]

где F _X ( X ), F _Y ( Y и F _Z ( Z ) — кумулятивные функции распределения X ) , Y и Z соответственно.

Характеристики

Асимметрия — это частный случай совместной асимметрии, когда три случайные величины идентичны:

S(X,X,X)={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{3}\right]}{\sigma _{X}^{3}}}={\operatorname {skewness} [X]},

Для двух случайных X и Y асимметрия равна суммы X + Y величин

S_{X+Y}={1 \over \sigma _{X+Y}^{3}}{\left[\sigma _{X}^{3}S_{X}+3\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}S(X,X,Y)+3\sigma _{X}\sigma _{Y}^{2}S(X,Y,Y)+\sigma _{Y}^{3}S_{Y}\right]},

где S _X — асимметрия X и $\sigma _{X}$ — отклонение X. стандартное Отсюда следует, что сумма двух случайных величин может быть асимметричной ( S _{X + Y} ≠ 0), даже если обе случайные величины по отдельности имеют нулевой асимметрию ( S _X = 0 и S _Y = 0).

Совместная асимметрия между переменными X и Y не зависит от масштаба, в котором выражены переменные. Если мы анализируем взаимосвязь между X и Y , совместная асимметрия между X и Y будет такой же, как совместная асимметрия между a + bX и c + dY , где a , b , c и d — константы.

Стандартизированная кососимметричность ранга RS ( X , Y , Z ) удовлетворяет следующим свойствам: ^[4]

(1) −1 ≤ RS ( Икс , Y , Z ) ≤ 1.

(2) Верхняя оценка 1 получается с помощью копулы, приведенной в (3.3) в работе Бернарда, Чена, Рюшендорфа и Вандуффеля (2023). Нижняя оценка −1 получается с помощью копулы (3.5) из той же статьи.

(3) Она инвариантна относительно строго возрастающих преобразований, т. е. когда fi, i = 1, 2, 3, — произвольные строго возрастающие функции, RS ( X , Y , Z ) = RS ( f ₁ ( X ), f ₂ ( Й ), ж ₃ ( Z )).

(4) RS ( X , Y , Z ) = 0, если X , Y и Z независимы.

Пример

Пусть X — стандартное нормальное распределение, а Y — распределение, полученное путем установки X = Y всякий раз, когда X <0, и рисования Y независимо от стандартного полунормального распределения , когда X >0. Другими словами, X и Y имеют стандартное нормальное распределение со свойством, что они полностью коррелированы для отрицательных значений и некоррелированы, за исключением знака, для положительных значений. Совместная функция плотности вероятности равна

f_{X,Y}(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left(H(-x)\delta (x-y)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\right)

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , а δ( x ) — дельта-функция Дирака . Третьи моменты легко вычисляются интегрированием по этой плотности:

S(X,X,Y)=S(X,Y,Y)=-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\approx -0.399

Обратите внимание, что хотя X и Y по отдельности имеют стандартное нормальное распределение, распределение суммы X + Y значительно искажено. Интегрируя по плотности, мы находим, что ковариация X и Y равна

\operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}

откуда следует, что стандартное отклонение их суммы равно

\sigma _{X+Y}={\sqrt {3+{\frac {2}{\pi }}}}

Используя приведенную выше формулу суммы асимметрии, мы имеем

S_{X+Y}=-{\frac {3{\sqrt {2}}\pi }{(2+3\pi )^{3/2}}}\approx -0.345

Это также можно вычислить непосредственно из функции плотности вероятности суммы:

f_{X+Y}(u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi }}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)

Бернард, Чен, Рюшендорф и Вандюфель (2023) нашли границы риска совместной асимметрии для некоторых популярных предельных распределений, как показано в следующей таблице. ^[4]

Маржинальные распределения	Минимальная совмещенность	Максимальная совмещенность
Н( $\mu _{i}$ , $\sigma _{i}^{2}$ )	$-{\frac {2{\sqrt {2\pi }}}{\pi }}$	${\frac {2{\sqrt {2\pi }}}{\pi }}$
Студент( $\nu$ ), $\nu >3$	$-{\frac {4(\nu -2){\sqrt {(\nu -2}})\pi \Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{(3-4\nu +\nu ^{2})\pi \Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}$	${\frac {4(\nu -2){\sqrt {(\nu -2}})\pi \Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{(3-4\nu +\nu ^{2})\pi \Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}$
Лаплас( $\mu _{i}$ , $b_{i}$ )	$-{\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}$
В( $a_{i}$ , $b_{i}$ )	$-{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}$	${\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}$

где $\Gamma (x)$ это гамма-функция .

См. также

Ссылки

^ Друг, Ирвин; Рэндольф Вестерфилд (1980). «Совместная асимметрия и оценка капитальных активов». Журнал финансов . 35 (4): 897–913. дои : 10.1111/j.1540-6261.1980.tb03508.x .
^ Жондо, Эрик; Сер-Хуан Пун; Майкл Рокинджер (2007). Финансовое моделирование при негауссовских распределениях . Спрингер. стр. 31–32. ISBN 978-1-84628-696-4 .
^ Миллер, Майкл Б. (2014). «Глава 3. Основная статистика» . Математика и статистика для управления финансовыми рисками (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., стр. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бернард, Кэрол; Цзинхуэй, Чен; Рюшендорф, Людгер; Вандюфель, Стивен (5 мая 2023 г.). «Совмещенность в условиях неопределенности зависимости» . Статистика и вероятностные буквы . 199 (8).

Дальнейшее чтение

Харви, Кэмпбелл Р.; Ахтар Сиддик (2000). «Условная асимметрия в тестах ценообразования активов» (PDF) . Журнал финансов . 55 (3): 1263–1295. CiteSeerX 10.1.1.46.5155 . дои : 10.1111/0022-1082.00247 .
Краус, Алан; Роберт Х. Литценбергер (1976). «Предпочтение асимметрии и оценка рисковых активов». Журнал финансов . 31 (4): 1085–1100. дои : 10.1111/j.1540-6261.1976.tb01961.x .

[1] Друг, Ирвин; Рэндольф Вестерфилд (1980). «Совместная асимметрия и оценка капитальных активов». Журнал финансов . 35 (4): 897–913. дои : 10.1111/j.1540-6261.1980.tb03508.x .

[2] Жондо, Эрик; Сер-Хуан Пун; Майкл Рокинджер (2007). Финансовое моделирование при негауссовских распределениях . Спрингер. стр. 31–32. ISBN 978-1-84628-696-4 .

[3] Миллер, Майкл Б. (2014). «Глава 3. Основная статистика» . Математика и статистика для управления финансовыми рисками (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., стр. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2 .

[bernard2023-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бернард, Кэрол; Цзинхуэй, Чен; Рюшендорф, Людгер; Вандюфель, Стивен (5 мая 2023 г.). «Совмещенность в условиях неопределенности зависимости» . Статистика и вероятностные буквы . 199 (8).

[1]

[2]

[3]

[4]