Кокуртоз

В теории вероятностей и статистике . кокуртозис — это мера того, насколько сильно изменяются две случайные величины вместе Кокуртозис — четвертый стандартизированный перекрестный центральный момент . ^[1] Если две случайные величины демонстрируют высокий уровень кокуртоза, они будут иметь тенденцию подвергаться крайним положительным и отрицательным отклонениям одновременно.

Определение

Для двух случайных величин X и Y существуют три нетривиальные статистики кокуртозиса. ^[1]^[2]

K(X,X,X,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{3}(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}} \over \sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}},

K(X,X,Y,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{2}(Y-\operatorname {E} [Y])^{2}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}},

и

K(X,Y,Y,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])^{3}{\big ]}} \over \sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}},

где E[ X ] — ожидаемое значение X и , также известное как среднее значение X , $\sigma _{X}$ — отклонение X. стандартное

Характеристики

Куртозис - это частный случай кокуртозиса, когда две случайные величины идентичны:

K(X,X,X,X)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{4}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{4}}={\operatorname {kurtosis} {\big [}X{\big ]}},

Для двух случайных X и Y эксцесс равен суммы X + Y величин

{\begin{aligned}K_{X+Y}={1 \over \sigma _{X+Y}^{4}}{\big [}&\sigma _{X}^{4}K_{X}+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}K(X,X,X,Y)+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}K(X,X,Y,Y)\\&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}K(X,Y,Y,Y)+\sigma _{Y}^{4}K_{Y}{\big ]},\end{aligned}}

где

K_{X}

является эксцессом X и

\sigma _{X}

— отклонение X. стандартное

Отсюда следует, что сумма двух случайных величин может иметь эксцесс, отличный от 3 ( $K_{X+Y}\neq 3$ ), даже если обе случайные величины имеют эксцесс 3 по отдельности ( $K_{X}=3$ и $K_{Y}=3$ ).
Кокуртозис между переменными X и Y не зависит от масштаба, в котором выражены переменные. Если мы анализируем связь между X и Y , то кокуртозис между X и Y будет таким же, как и кокуртозис между a + bX и c + dY , где a , b , c и d — константы.

Примеры

Двумерное нормальное распределение

Пусть X и Y имеют нормальное распределение с коэффициентом корреляции ρ. Условия кокуртоза

K(X,X,Y,Y)=1+2\rho ^{2}

K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)=3\rho

Поскольку кокуртозис зависит только от ρ, которое уже полностью определяется ковариационной матрицей низшей степени, кокуртозис двумерного нормального распределения не содержит новой информации о распределении. Однако это удобный справочник для сравнения с другими дистрибутивами.

Нелинейно коррелированные нормальные распределения

Пусть X — стандартное нормальное распределение, а Y — распределение, полученное путем установки X = Y всякий раз, когда X <0, и рисования Y независимо от стандартного полунормального распределения , когда X >0. Другими словами, X и Y имеют стандартное нормальное распределение со свойством, что они полностью коррелированы для отрицательных значений и некоррелированы, за исключением знака, для положительных значений. Совместная функция плотности вероятности равна

f_{X,Y}(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left(H(-x)\delta (x-y)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\right)

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , а δ( x ) — дельта-функция Дирака . Четвертые моменты легко вычисляются путем интегрирования по этой плотности:

K(X,X,Y,Y)=2

K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)={\frac {3}{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.137

Полезно сравнить этот результат с тем, что было бы получено для обычного двумерного нормального распределения с обычной линейной корреляцией. Интегрируя по плотности, мы находим, что коэффициент линейной корреляции X и Y равен

\rho ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\approx 0.818

Двумерное нормальное распределение с этим значением ρ имело бы $K(X,X,Y,Y)\approx 2.455$ и $K(X,X,X,Y)\approx 2.339$ . Следовательно, все члены кокуртозиса этого распределения с этой нелинейной корреляцией меньше, чем можно было бы ожидать от двумерного нормального распределения с ρ = 0,818.

Обратите внимание, что хотя X и Y по отдельности имеют стандартное нормальное распределение, распределение суммы X + Y является платикуртным. Стандартное отклонение суммы равно

\sigma _{X+Y}={\sqrt {3+{\frac {2}{\pi }}}}

Подставив это и отдельные значения кокуртозиса в приведенную выше формулу суммы эксцесса, мы имеем

K_{X+Y}={\frac {2\pi (8+15\pi )}{(2+3\pi )^{2}}}\approx 2.654

Это также можно вычислить непосредственно из функции плотности вероятности суммы:

f_{X+Y}(u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi }}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Миллер, Майкл Б. (2014). Математика и статистика для управления финансовыми рисками (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., стр. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2 .
^ Меуччи, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов . Берлин: Springer-Verlag. стр. 58–59. ISBN 978-3642009648 .

Дальнейшее чтение

Ранальдо, Анджело; Лоран Фавр (2005). «Как оценить хедж-фонды: от двух- до четырехмоментной CAPM». Исследовательский документ UBS . ССНН 474561 .
Кристи-Дэвид, Р.; М. Чаудри (2001). «Совпадение и кокуртозис на фьючерсных рынках». Журнал эмпирических финансов . 8 (1): 55–81. дои : 10.1016/s0927-5398(01)00020-2 .

[miller-1] Jump up to: ^а ^б Миллер, Майкл Б. (2014). Математика и статистика для управления финансовыми рисками (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., стр. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2 .

[2] Меуччи, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов . Берлин: Springer-Verlag. стр. 58–59. ISBN 978-3642009648 .

[1]

[2]