Проблема моментов Стилтьеса

В математике Стилтьеса последовательность проблема моментов , названная в честь Томаса Джоаннеса Стилтьеса , ищет необходимые и достаточные условия для того, чтобы ( m 0 _, m 1 _, m 2 _, ...) имела вид

$m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$

для некоторой меры µ . Если такая функция µ существует, возникает вопрос, единственна ли она.

Существенное отличие этой и других известных проблем моментов состоит в том, что она находится на полупрямой [0, ∞), тогда как в проблеме моментов Хаусдорфа рассматривается ограниченный интервал [0, 1], а в проблеме моментов Гамбургера рассматривается вся линия (−∞, ∞).

Существование

Позволять

$\Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right]$

быть матрицей Ганкеля и

$\Delta _{n}^{(1)}=\left[{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{matrix}}\right].$

Тогда { m _n : n = 1, 2, 3, ... } — последовательность моментов некоторой меры на $[0,\infty )$ с бесконечной поддержкой тогда и только тогда, когда для всех n оба

$\det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0.$

{ m _n : n = 1, 2, 3, ... } — последовательность моментов некоторой меры на $[0,\infty )$ с конечным носителем размера m тогда и только тогда, когда для всех $n\leq m$, оба

$\det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0$

и для всех больших $n$

$\det(\Delta _{n})=0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)=0.$

Уникальность

Существует несколько достаточных условий единственности, например, условие Карлемана , которое утверждает, что решение единственно, если

$\sum _{n\geq 1}m_{n}^{-1/(2n)}=\infty ~.$

Ссылки

• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Анализ Фурье, Самосопряженность , Методы современной математической физики, том. 2, Академик Пресс, с. 341 (упражнение 25), ISBN  0-12-585002-6