Проблема моментов Хаусдорфа

В математике Хаусдорфа , проблема моментов , названная в честь Феликса Хаусдорфа требует необходимых и достаточных условий, чтобы данная последовательность ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...) была последовательностью моментов.

$m_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\,d\mu (x)$

некоторой борелевской меры µ, хранящейся на единичном интервале [0, 1] . В случае m ₀ = 1 это эквивалентно существованию случайной величины X с носителем на [0, 1] такой, что E[ X ^н ] знак равно м _п .

Существенное отличие этой и других известных проблем моментов состоит в том, что она находится на ограниченном интервале , тогда как в проблеме моментов Стилтьеса рассматривается полупрямая [0, ∞) , а в проблеме моментов Гамбургера рассматривается вся прямая. (−∞, ∞) . Проблемы моментов Стилтьеса и проблемы моментов Гамбургера, если они разрешимы, могут иметь бесконечное множество решений (неопределенная проблема моментов), тогда как проблема моментов Хаусдорфа всегда имеет единственное решение, если она разрешима (определенная проблема моментов). В случае неопределенной проблемы моментов существуют бесконечные меры, соответствующие одним и тем же предписанным моментам, и они состоят из выпуклого множества. Набор полиномов может быть или не быть плотным в ассоциированных гильбертовых пространствах, если проблема моментов неопределенна, и это зависит от того, является ли мера экстремальной или нет. Но в случае определенной проблемы моментов набор полиномов плотен в соответствующем гильбертовом пространстве.

Полностью монотонные последовательности

В 1921 году Хаусдорф показал, что ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...) является такой моментной последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность полностью монотонна, то есть ее разностные последовательности удовлетворяют уравнению

$(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0$

для всех n , k ≥ 0 . Здесь ∆ — разностный оператор , определяемый формулой

$(\Delta m)_{n}=m_{n+1}-m_{n}.$

Необходимость этого условия легко увидеть из тождества

$(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{k}d\mu (x),$

который неотрицательен, поскольку является интегралом неотрицательной функции . Например, необходимо иметь

$(\Delta ^{4}m)_{6}=m_{6}-4m_{7}+6m_{8}-4m_{9}+m_{10}=\int x^{6}(1-x)^{4}d\mu (x)\geq 0.$

См. также

• Абсолютно и вполне монотонные функции и последовательности.
• Полная монотонность

Ссылки

• Хаусдорф, Ф. «Методы суммирования и последовательности моментов. I». Математический журнал 9: 74–109, 1921.
• Хаусдорф, Ф. «Методы суммирования и последовательности моментов. II». Математический журнал 9, 280–299, 1921.
• Феллер, В. «Введение в теорию вероятностей и ее приложения», том II, John Wiley & Sons, 1971.
• Шохат, Ж.А .; Тамаркин, Дж. Д. Проблема моментов , Американское математическое общество, Нью-Йорк, 1943.