Теорема Бернштейна о монотонных функциях

В вещественном анализе , разделе математики , теорема Бернштейна утверждает, что каждая вещественная представляет функция на полупрямой $[0, \infty)$ , которая является полностью монотонной, собой смесь показательных функций . В одном важном частном случае смесь представляет собой средневзвешенное или ожидаемое значение .

(иногда также полная монотонность ) функции $f$ означает, что $f$ непрерывна Полная монотонность на $[0, \infty)$ , бесконечно дифференцируема на $(0, \infty)$ и удовлетворяет условиям $(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)\geq 0$ для всех неотрицательных целых чисел $n$ и для всех $t > 0$ . противоположное неравенство Другое соглашение ставит в приведенное выше определение .

Утверждение о «взвешенном среднем» можно охарактеризовать следующим образом: существует неотрицательная конечная борелевская мера на $[0, \infty)$ с кумулятивной функцией распределения $g$ такая, что $f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dg(x),$ интеграл . является Стилтьеса интегралом Римана –

Говоря более абстрактным языком, теорема характеризует преобразования Лапласа положительных борелевских мер на $[0, \infty)$ . В этой форме она известна как теорема Бернштейна-Виддера или теорема Хаусдорфа-Бернштейна-Виддера . Феликс Хаусдорф ранее охарактеризовал полностью монотонные последовательности . Это последовательности, возникающие в проблеме моментов Хаусдорфа .

Функции Бернштейна

Неотрицательные функции, производная которых вполне монотонна, называются функциями Бернштейна . Каждая функция Бернштейна имеет представление Леви – Хинчина : $f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),$ где $a,b\geq 0$ и $\mu$ является мерой на положительной действительной полуоси такой, что $\int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .$

См. также

Абсолютно и вполне монотонные функции и последовательности.

Ссылки

С. Н. Бернштейн (1928). «Об абсолютно монотонных функциях» . Акта Математика . 52 :1–66. дои : 10.1007/BF02592679 .
Д. Виддер (1941). Преобразование Лапласа . Издательство Принстонского университета.
Рене Шиллинг, Ренминг Сонг и Зоран Вондрачек (2010). Функции Бернштейна . Де Грюйтер.