Проблема момента гамбургера

В математике проблема Гамбургера моментов , названная в честь Ганса Людвига Гамбургера , формулируется следующим образом: для заданной последовательности ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...) существует ли положительная борелевская мера µ (например, мера, определяемая кумулятивной функцией распределения ) случайной величины на действительной прямой такая, что

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x){\text{ ?}}$

Другими словами, утвердительный ответ на задачу означает, что ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...) есть последовательность моментов некоторой положительной борелевской меры µ .

, Проблема моментов Стилтьеса проблема моментов Воробьева и проблема моментов Хаусдорфа аналогичны, но действительная линия заменяется на $[0,+\infty )$ (Стилтьес и Воробьев; но Воробьев формулирует задачу в терминах теории матриц) или ограниченного интервала (Хаусдорф).

Характеристика

Проблема моментов Гамбургера разрешима (т. е. ( m _n ) является последовательностью моментов ) тогда и только тогда, когда соответствующее ядро ​​Ганкеля на неотрицательных целых числах

$A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)$

положительно определен , т. е.

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0$

для каждой произвольной последовательности ( c _j ) _{j ≥ 0} комплексных чисел , которые являются финитными (т. е. c _j = 0, за исключением конечного числа значений j ).

Что касается части утверждений «только если», просто отметим, что

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)$

что неотрицательно, если $\mu$ является неотрицательным.

Мы наметим аргумент в пользу обратного. Пусть Z ⁺ — целые неотрицательные числа, а F ₀ ( Z ⁺ ) обозначают семейство комплекснозначных последовательностей с финитным носителем. Положительное ядро ​​Ганкеля A индуцирует (возможно, вырожденное) полуторалинейное произведение на семействе комплекснозначных последовательностей с конечным носителем. Это, в свою очередь, дает гильбертово пространство

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

типичным элементом которого является класс эквивалентности , обозначаемый [ f ].

Пусть — _en элемент из F ₀ ( Z ⁺ ) определяется как е _п ( м ) знак равно δ _нм . Можно заметить, что

$\langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}],[e_{m+1}]\rangle .$

Следовательно, оператор сдвига T на ${\mathcal {H}}$, при этом T [ e _n ] = [ e _{n + 1} ], является симметричным .

С другой стороны, искомое выражение

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$

предполагает, что µ является спектральной мерой оператора самосопряженного . (Точнее говоря, µ — спектральная мера оператора ${\overline {T}}$ определенный ниже, и вектор [1], ( Reed & Simon 1975 , стр. 145)). мы сможем найти «функциональную модель», такую, что симметричный оператор T является умножением на x , то спектральное разрешение самосопряженного расширения T Если докажет это утверждение.

Функциональная модель задается естественным изоморфизмом из F ₀ ( Z ⁺ ) к семейству полиномов от одной действительной переменной и комплексных коэффициентов: для ≥ 0 отождествить en _n с x ^н . В модели оператор T представляет собой умножение на x и плотно определенный симметричный оператор. Можно показать, что T всегда имеет самосопряженные расширения. Позволять ${\overline {T}}$ — один из них, а µ — его спектральная мера. Так

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x).$

С другой стороны,

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_{n}.$

Альтернативное доказательство существования, использующее только интегралы Стилтьеса, см. Также: в частности теорема 3.2.

Уникальность решений

Решения образуют выпуклое множество, поэтому задача имеет либо бесконечное множество решений, либо единственное решение.

Рассмотрим ( n + 1) × ( n + 1) матрицу Ганкеля

$\Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].$

Положительность A означает, что для каждого n det(∆n ₎ ≥ 0. Если det(∆n ₎ = 0 для некоторого n , то

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

конечномерна и T самосопряжена. Таким образом, в этом случае решение проблемы моментов Гамбургера является единственным, и µ , будучи спектральной мерой T , имеет конечный носитель.

В более общем смысле решение является единственным, если существуют константы C и D такие, что для всех n | м _н | ≤ компакт-диск ^н н ! ( Рид и Саймон 1975 , стр. 205). Это следует из более общего условия Карлемана .

Есть примеры, когда решение не является единственным; см., например

Дальнейшие результаты

Можно видеть, что проблема моментов Гамбургера тесно связана с ортогональными многочленами на действительной прямой. Процедура Грама – Шмидта дает основу ортогональных полиномов, в которых оператор: ${\overline {T}}$ имеет трехдиагональное матричное представление Якоби . Это, в свою очередь, приводит к трехдиагональной модели положительных ядер Ганкеля.

Явное вычисление преобразования Кэли для T показывает связь с так называемым классом Неванлинны аналитических функций в левой полуплоскости. Переходя к некоммутативной ситуации, это мотивирует формулу Крейна , которая параметризует расширения частичных изометрий.

Кумулятивную функцию распределения и функцию плотности вероятности часто можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к производящей функции момента.

$m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}},$

при условии, что эта функция сходится.

Ссылки

• Чихара, Т.С. (1978), Введение в ортогональные полиномы , Гордон и Брич, Science Publishers, ISBN  0-677-04150-0
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Анализ Фурье, Самосопряженность , Методы современной математической физики, том. 2, Academic Press, стр. 145, 205, ISBN.  0-12-585002-6
• Шохат, Дж.А.; Тамаркин, JD (1943), Проблема моментов , Нью-Йорк: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1501-6 .