Состояние Карлемана

В математике, в частности в анализе , условие Карлемана дает достаточное условие определенности проблемы моментов . То есть, если мера $\mu$ удовлетворяет условию Карлемана, другой меры нет $\nu$ иметь те же моменты, что и $\mu .$ Заболевание было обнаружено Торстеном Карлеманом в 1922 году.

Проблема момента гамбургера

Для проблемы моментов Гамбургера (проблемы моментов на всей прямой) теорема гласит следующее:

Позволять $\mu$ быть мерой ​ $\mathbb {R}$ такое, что все моменты $$m_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{n}\,d\mu (x)~,\quad n=0,1,2,\cdots$$ конечны. Если $$\sum _{n=1}^{\infty }m_{2n}^{-{\frac {1}{2n}}}=+\infty ,$$ тогда проблема момента для $(m_{n})$ является детерминированным ; то есть, $\mu$ является единственной мерой по $\mathbb {R}$ с $(m_{n})$ как последовательность моментов.

Проблема моментов Стилтьеса

Для проблемы моментов Стилтьеса достаточным условием определенности является $$\sum _{n=1}^{\infty }m_{n}^{-{\frac {1}{2n}}}=+\infty .$$

Ссылки

• Ахиезер, Н.И. (1965). Классическая проблема моментов и некоторые связанные с ней вопросы анализа . Оливер и Бойд.
• Глава 3.3, Дарретт, Ричард. Вероятность: теория и примеры . 5-е изд. Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике 49. Кембридж; Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 2019.