Противоположные варианты

В статистике метод антитетических вариаций представляет собой метод уменьшения дисперсии , используемый в методах Монте-Карло . Учитывая, что ошибка в моделируемом сигнале (с использованием методов Монте-Карло на один квадратный корень ) имеет сходимость очень большое количество путей выборки , для получения точного результата требуется . Метод антитетических вариаций уменьшает дисперсию результатов моделирования. ^[1]^[2]

Основной принцип

Метод антитетических вариаций состоит в том, чтобы для каждого полученного пути выборки выбрать его противоположный путь, т. е. заданный путь $\{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}$ также взять $\{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}$ . Преимущество этого метода двоякое: оно уменьшает количество нормальных выборок, которые необходимо взять для создания N путей, и уменьшает дисперсию путей выборки, повышая точность.

Предположим, что мы хотим оценить

\theta =\mathrm {E} (h(X))=\mathrm {E} (Y)\,

Для этого мы создали два образца

Y_{1}{\text{ and }}Y_{2}\,

Непредвзятая оценка ${\theta }$ дается

{\hat {\theta }}={\frac {Y_{1}+Y_{2}}{2}}.

И

{\text{Var}}({\hat {\theta }})={\frac {{\text{Var}}(Y_{1})+{\text{Var}}(Y_{2})+2{\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})}{4}}

поэтому дисперсия уменьшается, если ${\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})$ является отрицательным.

Пример 1

Если закон переменной X подчиняется равномерному распределению вдоль [0, 1], первая выборка будет $u_{1},\ldots ,u_{n}$ , где для любого данного i , $u_{i}$ получается из U (0, 1). Второй образец построен из $u'_{1},\ldots ,u'_{n}$ , где для любого данного i : $u'_{i}=1-u_{i}$ . Если набор $u_{i}$ равномерен вдоль [0, 1], поэтому $u'_{i}$ . Более того, ковариация отрицательна, что позволяет уменьшить начальную дисперсию.

Пример 2: интегральный расчет

Мы хотели бы оценить

I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x.

Точный результат $I=\ln 2\approx 0.69314718$ . Этот интеграл можно рассматривать как ожидаемое значение $f(U)$ , где

f(x)={\frac {1}{1+x}}

и U следует равномерному распределению [0, 1].

В следующей таблице сравнивается классическая оценка Монте-Карло (размер выборки: 2 n , где n = 1500) с оценкой противоположных переменных (размер выборки: n , дополненная преобразованной выборкой 1 - u _i ):

	Оценивать	стандартная ошибка
Классическая оценка	0.69365	0.00255
Противоположные варианты	0.69399	0.00063

Использование метода антитетических вариаций для оценки результата показывает важное снижение дисперсии.

См. также

Варианты управления

Ссылки

^ Ботев З.; Риддер, А. (2017). «Уменьшение дисперсии». Wiley StatsRef: Интернет-справочник по статистике : 1–6. дои : 10.1002/9781118445112.stat07975 . ISBN 9781118445112 .
^ Крозе, ДП ; Таймре, Т.; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Джон Уайли и сыновья. (Глава 9.3)

[varred17-1] Ботев З.; Риддер, А. (2017). «Уменьшение дисперсии». Wiley StatsRef: Интернет-справочник по статистике : 1–6. дои : 10.1002/9781118445112.stat07975 . ISBN 9781118445112 .

[2] Крозе, ДП ; Таймре, Т.; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Джон Уайли и сыновья. (Глава 9.3)

[1]

[2]