Варианты управления

Метод контрольных переменных — это метод уменьшения дисперсии , используемый в методах Монте-Карло . Он использует информацию об ошибках в оценках известных величин, чтобы уменьшить ошибку оценки неизвестной величины.

Основной принцип

Пусть неизвестный параметр будет интересующий $\mu$и предположим, что у нас есть статистика $m$ такое, что ожидаемое значение m : равно μ $\mathbb {E} \left[m\right]=\mu$, т. е. m является несмещенной оценкой для µ. Предположим, мы вычисляем другую статистику $t$ такой, что $\mathbb {E} \left[t\right]=\tau$ это известная величина. Затем

$m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,$

также является несмещенной оценкой $\mu$ при любом выборе коэффициента $c$. Дисперсия оценки полученной $m^{\star }$ является

${\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right).$

Дифференцируя приведенное выше выражение по $c$, можно показать, что выбор оптимального коэффициента

$c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}$

минимизирует дисперсию $m^{\star }$. (Обратите внимание, что этот коэффициент аналогичен коэффициенту, полученному из линейной регрессии .) При таком выборе

${\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right)\end{aligned}}$

где

$\rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,$

коэффициент корреляции ​ $m$ и $t$. Чем больше значение $\vert \rho _{m,t}\vert$, тем больше достигается снижение дисперсии .

В случае, если ${\textrm {Cov}}\left(m,t\right)$, ${\textrm {Var}}\left(t\right)$и/или $\rho _{m,t}\;$ неизвестны, их можно оценить по репликам Монте-Карло. Это эквивалентно решению определенной системы наименьших квадратов ; поэтому этот метод также известен как регрессионная выборка .

Когда ожидание управляющей переменной $\mathbb {E} \left[t\right]=\tau$, аналитически неизвестно, однако точность оценки еще можно повысить $\mu$ (для заданного фиксированного бюджета моделирования), при условии соблюдения двух условий: 1) оценка $t$ значительно дешевле, чем компьютерные $m$; 2) величина коэффициента корреляции $|\rho _{m,t}|$ близко к единице.

Пример

Мы хотели бы оценить

$I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x$

с использованием интеграции Монте-Карло . Этот интеграл представляет собой ожидаемое значение $f(U)$, где

$f(U)={\frac {1}{1+U}}$

и U следует равномерному распределению [0, 1].Используя выборку размера n, обозначим точки в выборке как $u_{1},\cdots ,u_{n}$. Тогда оценка дается выражением

$I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i}).$

Теперь мы представляем $g(U)=1+U$ как контрольная переменная с известным ожидаемым значением $\mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}$ и объединить их в новую оценку

$I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).$

С использованием $n=1500$ реализации и оцененный оптимальный коэффициент $c^{\star }\approx 0.4773$ мы получаем следующие результаты

	Оценивать	Дисперсия
Классическая оценка	0.69475	0.01947
Варианты управления	0.69295	0.00060

Дисперсия была значительно уменьшена после использования метода контрольных вариаций. (Точный результат $I=\ln 2\approx 0.69314718$.)

См. также

• Противоположные варианты
• Выборка по важности

Ссылки

• Росс, Шелдон М. (2002) Моделирование, 3-е издание ISBN   978-0-12-598053-1
• Аверилл М. Лоу и В. Дэвид Келтон (2000), Имитационное моделирование и анализ , 3-е издание. ISBN   0-07-116537-1
• С. П. Мейн (2007) Методы управления сложными сетями , Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-88441-9 . Загружаемый черновой вариант (Раздел 11.4: Управление переменными и теневые функции)