Абсолютно и вполне монотонные функции и последовательности.

В математике понятия абсолютно монотонной функции и вполне монотонной функции — это два очень тесно связанных понятия. Оба подразумевают очень сильные свойства монотонности. Оба типа функций имеют производные всех порядков. В случае абсолютно монотонной функции функция, а также ее производные всех порядков должны быть неотрицательными в области определения, что означало бы, что функция, а также ее производные всех порядков являются монотонно возрастающими функциями в области определения. определения. В случае полностью монотонной функции функция и ее производные должны быть попеременно неотрицательными и неположительными в своей области определения, что означало бы, что функция и ее производные являются поочередно монотонно возрастающими и монотонно убывающими функциями.

Такие функции впервые были изучены С. Бернштейном в 1914 г., и терминология также принадлежит ему. Есть несколько других родственных понятий, таких как понятия почти полностью монотонной функции, логарифмически полностью монотонной функции, сильно логарифмически полностью монотонной функции, сильно полностью монотонной функции и почти полностью полностью монотонной функции. Другая родственная концепция — это концепция полностью/абсолютно монотонной последовательности . Это понятие было введено Хаусдорфом в 1921 году.

Понятия полностью и абсолютно монотонной функции/последовательности играют важную роль в ряде областей математики. Например, в классическом анализе они встречаются при доказательстве положительности интегралов, включающих функции Бесселя, или положительности средних Чезаро некоторыхСерия Якоби. Такие функции встречаются и в других областях математики, таких как теория вероятностей, численный анализ и эластичность.

Определения

Функции

Действительно ценная функция $f(x)$ определяется на интервале $I$ в вещественной прямой называется абсолютно монотонной функцией, если она имеет производные $f^{(n)}(x)$ из всех заказов $n=0,1,2,\ldots$ и $f^{(n)}(x)\geq 0$ для всех $x$ в $I$. Функция $f(x)$ называется вполне монотонной функцией, если $(-1)^{n}f^{(n)}(x)\geq 0$ для всех $x$ в $I$.

Эти два понятия взаимосвязаны. Функция $f(x)$ является полностью монотонным тогда и только тогда, когда $f(-x)$ абсолютно монотонна на $-I$ где $-I$ интервал, полученный путем отражения $I$ относительно происхождения. (Таким образом, если $I$ это интервал $(a,b)$ затем $-I$ это интервал $(-b,-a)$.)

В приложениях интервалом на реальной линии обычно считают закрыто-открытую правую половину реальной линии, то есть интервал $[0,\infty )$.

Примеры

Следующие функции абсолютно монотонны в указанных областях.

1. $f(x)=c$, где $c$ неотрицательная константа в области $-\infty <x<\infty$
2. $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$, где $a_{k}\geq 0$ для всех $k$, в регионе $0\leq x<\infty$
3. $f(x)=-\log(-x)$ в регионе $-1\leq x<0$
4. $f(x)=\sin ^{-1}x$ в регионе $0\leq x\leq 1$

Последовательности

Последовательность $\{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }$ называется абсолютно монотонной последовательностью, если ее элементы неотрицательны и все последовательные разности неотрицательны, т. е. если

$\Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots$

где $\Delta ^{k}\mu _{n}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{k \choose m}\mu _{n+k-m}$.

Последовательность $\{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }$ называется вполне монотонной последовательностью, если ее элементы неотрицательны, а ее последовательные разности попеременно неположительны и неотрицательны, то есть, если

$(-1)^{k}\Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots$

Примеры

Последовательности $\left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}_{0}^{\infty }$ и $\{c^{n}\}_{0}^{\infty }$ для $0\leq c\leq 1$ являются полностью монотонными последовательностями.

Некоторые важные свойства

Как расширения, так и приложения теории абсолютно монотонных функций вытекают из теорем.

• Маленькая теорема Бернштейна: функция, абсолютно монотонная на отрезке $[a,b]$ может быть расширено до аналитической функции на интервале, определяемом формулой $|x-a|<b-a$.
• Функция, абсолютно монотонная на $[0,\infty )$ может быть расширено до функции, которая не только аналитична на действительной прямой, но даже является ограничением целой функции на действительной прямой.
• Большая теорема Бернштейна : функция $f(x)$ это абсолютно монотонно на $(-\infty ,0]$ можно представить там в виде интеграла Лапласа в виде

$f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{xt}\,d\mu (t)$

где $\mu (t)$ не убывает и ограничен $[0,\infty )$.

• Последовательность $\{\mu _{n}\}_{0}^{\infty }$ вполне монотонна тогда и только тогда, когда существует возрастающая функция $\alpha (t)$ на $[0,1]$ такой, что

$\mu _{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\,d\alpha (t),\quad n=0,1,2,\ldots$

Определение этой функции из последовательности называется проблемой моментов Хаусдорфа .

Дальнейшее чтение

Ниже приводится случайная выборка из большого объема литературы по абсолютно/полностью монотонным функциям/последовательностям.

• Рене Л. Шиллинг, Ренминг Сонг и Зоран Вондрачек (2010). Теория и приложения функций Бернштейна . Грютер. стр. 1–10. ISBN  978-3-11-021530-4 . (Глава 1. Преобразования Лапласа и полностью монотонные функции)
• Д.В. Виддер (1946). Преобразование Лапласа . Издательство Принстонского университета. См. главу III «Проблема моментов» (стр. 100–143) и главу IV «Абсолютно и вполне монотонные функции» (стр. 144–179).
• Милан Меркле (2014). Аналитическая теория чисел, теория приближений и специальные функции . Спрингер. стр. 347–364. arXiv : 1211.0900 . (Глава: «Полностью монотонные функции: дайджест»)
• Арвинд Махаджан и Дитер К. Росс (1982). «Заметка о вполне и абсолютно монотонных функциях» (PDF) . Канадский математический бюллетень . 25 (2): 143–148. дои : 10.4153/CMB-1982-020-x . Проверено 28 декабря 2023 г.
• Сенлин Го, Хари М Шривастава и Недждет Батир (2013). «Определенный класс полностью монотонных последовательностей» (PDF) . Достижения в области дифференциальных уравнений . 294 : 1–9. дои : 10.1186/1687-1847-2013-294 . Проверено 29 декабря 2023 г.
• Ядзима, С.; Ибараки, Т. (март 1968 г.). «Теория вполне монотонных функций и ее приложения к пороговой логике». Транзакции IEEE на компьютерах . C-17 (3): 214–229. дои : 10.1109/tc.1968.229094 .

См. также

• Теорема Бернштейна о монотонных функциях
• Проблема моментов Хаусдорфа
• Монотонная функция
• Циклическая монотонность