Циклическая монотонность

В математике циклическая монотонность — это обобщение понятия монотонности на случай вектор-функции .

Определение

Позволять $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначают внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта $X$ и пусть $U$ быть непустым подмножеством $X$. Переписка ​ $f:U\rightrightarrows X$ называется циклически монотонным, если для любого множества точек $x_{1},\dots ,x_{m+1}\in U$ с $x_{m+1}=x_{1}$ он утверждает, что $\sum _{k=1}^{m}\langle x_{k+1},f(x_{k+1})-f(x_{k})\rangle \geq 0.$

Характеристики

Для случая скалярных функций одной переменной приведенное выше определение эквивалентно обычной монотонности . Градиенты циклически выпуклых функций монотонны. На самом деле обратное . верно Предполагать $U$ является выпуклым и $f:U\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}$ является соответствием с непустыми значениями. Тогда, если $f$ циклически монотонна, существует полунепрерывная сверху выпуклая функция $F:U\to \mathbb {R}$ такой, что $f(x)\subset \partial F(x)$ для каждого $x\in U$, где $\partial F(x)$ обозначает субградиент ​ $F$ в $x$.

См. также

• Абсолютно и вполне монотонные функции и последовательности.