Тренд-стационарный процесс

В статистическом анализе временных рядов процесс , стационарный по тренду, представляет собой стохастический процесс основную тенденцию (функцию исключительно времени) , из которого можно удалить , оставив стационарный процесс . Тенденция не обязательно должна быть линейной.

И наоборот, если процесс требует, чтобы разность стала стационарной, то он называется разностью стационарной и имеет один или несколько единичных корней . Эти два понятия иногда можно путать, но, хотя они имеют много общих свойств, во многих аспектах они различаются. Временной ряд может быть нестационарным, но не иметь единичного корня и быть стационарным по тренду. Как в процессах с единичным корнем, так и в процессах, стационарных по тренду, среднее значение может расти или уменьшаться с течением времени; однако при наличии шока стационарные по тренду процессы возвращают среднее значение (т.е. временные ряды снова сходятся к растущему среднему значению, на которое шок не повлиял), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное влияние на среднее значение (т.е. отсутствие сходимости во времени).

Формальное определение

Процесс { Y } называется стационарным по тренду, если

$Y_{t}=f(t)+e_{t},$

где t — время, f — любая функция, отображающая действительные числа в действительные числа, а { e } — стационарный процесс. Значение $f(t)$ Говорят, что это трендовое значение процесса в момент времени t .

Самый простой пример: стационарность вокруг линейного тренда.

Предположим, что переменная Y развивается согласно

$Y_{t}=a\cdot t+b+e_{t}$

где t — время, а e _t — член ошибки, который предположительно представляет собой белый шум или, в более общем смысле, генерируется любым стационарным процессом. Тогда можно использовать линейная регрессия для получения оценки ${\hat {a}}$ истинного наклона основного тренда $a$ и оценка ${\hat {b}}$ базового члена перехвата b ; если оценка ${\hat {a}}$ существенно отличается от нуля, этого достаточно, чтобы с высокой уверенностью показать, что переменная Y нестационарна. Остатки вид этой регрессии имеют

${\hat {e}}_{t}=Y_{t}-{\hat {a}}\cdot t-{\hat {b}}.$

Если можно статистически показать, что эти оцененные остатки являются стационарными (точнее, если можно отвергнуть гипотезу о том, что истинные основные ошибки нестационарны), тогда остатки называются данными без тренда . и исходный ряд { Y _t } называется стационарным по тренду, даже если он не является стационарным.

Стационарность вокруг других типов тренда

Тенденция экспоненциального роста

Многие экономические временные ряды характеризуются экспоненциальным ростом . Например, предположим, что кто-то выдвигает гипотезу о том, что валовой внутренний продукт характеризуется стационарными отклонениями от тенденции, предполагающей постоянный темп роста. Тогда это можно было бы смоделировать как

${\text{GDP}}_{t}=Be^{at}U_{t}$

при этом предполагается, что U _t представляет собой стационарный ошибочный процесс. Для оценки параметров $a$ и B , сначала берут натуральный логарифм (ln) обеих частей этого уравнения:

$\ln({\text{GDP}}_{t})=\ln B+at+\ln(U_{t}).$

Это лог-линейное уравнение имеет ту же форму, что и предыдущее уравнение линейного тренда, и из него можно исключить тренд таким же образом, что дает оценку $(\ln U)_{t}$ как значение без тренда $(\ln {\text{GDP}})_{t}$, и, следовательно, подразумеваемый $U_{t}$ как значение без тренда ${\text{GDP}}_{t}$, предполагая, что можно отвергнуть гипотезу о том, что $(\ln U)_{t}$ является нестационарным.

Квадратичный тренд

Тенденции не обязательно должны быть линейными или лог-линейными. Например, переменная может иметь квадратичный тренд:

$Y_{t}=a\cdot t+c\cdot t^{2}+b+e_{t}.$

Это можно линейно регрессировать по коэффициентам, используя t и t ² как регрессоры; Опять же, если показано, что остатки стационарны, то это значения без тренда $Y_{t}$.

См. также

• Оценка тренда
• Разложение временного ряда
• КПСС тест