Комонотонность

В вероятностей теории комонотонность в основном относится к идеальной положительной зависимости между компонентами случайного вектора , по сути говоря, что они могут быть представлены как возрастающие функции одной случайной величины. В двух измерениях также можно рассматривать совершенную отрицательную зависимость, называемую контрмонотонностью.

Комонотонность также связана с комонотонной аддитивностью интеграла Шоке .

Концепция комонотонности находит применение в управлении финансовыми рисками и актуарной науке , см., например, Dhaene et al. (2002a) и Dhaene et al. (2002б) . В частности, сумма компонент X ₁ + X ₂ + · · · + X _n является наиболее рискованной, если совместное распределение вероятностей случайного вектора ( X ₁ , X ₂ , . . ., X _n ) комонотонно. При этом α - квантиль суммы равен сумме α -квантилей ее составляющих, следовательно, комонотонные случайные величины являются квантильно-аддитивными. С точки зрения практического управления рисками это означает, что в результате диверсификации существует минимальное (или, в конечном итоге, полное отсутствие) снижение отклонений.

Расширения комонотонности см. в Jouini & Napp (2004) и Puccetti & Scarsini (2010) .

Определения

Комонотонность подмножеств R ^н

Подмножество S из R ^н называется комонотонным (иногда также неубывающая ), если для всех ( x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) и ( y ₁ , y ₂ , . . . , y _n ) в S с x _i < y _i для некоторого i ∈ {1, 2 , . . . , n }, то x _j ≤ y _j для всех j ∈ {1, 2, . . . , н }.

Это означает, что S — полностью упорядоченное множество .

Комонотонность вероятностных мер на R ^н

Пусть µ — вероятностная мера в n -мерном евклидовом пространстве R ^н и пусть F обозначает ее многомерную кумулятивную функцию распределения , то есть

$F(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots ,y_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}\mid y_{1}\leq x_{1},\ldots ,y_{n}\leq x_{n}\}{\bigr )},\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.$

Далее, пусть F ₁ , . . . , F _n обозначают кумулятивные функции распределения одномерных маргинальных распределений µ n , что означает

$F_{i}(x):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots ,y_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}\mid y_{i}\leq x\}{\bigr )},\qquad x\in {\mathbb {R} }$

для каждого i ∈ {1, 2, . . . , н }. Тогда µ называется комонотонным , если

$F(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}F_{i}(x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.$

Заметим, что вероятностная мера µ является комонотонной тогда и только тогда, когда ее носитель S комонотонен согласно приведенному выше определению.

Комонотонность R ^н -значные случайные векторы

Р ​ ^н -значный случайный вектор X = ( X1 _, ..., называется _{комонотонным} Xn) , если его многомерное распределение ( мера прямого действия ) комонотонно, это означает

$\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}\Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.$

Характеристики

Р ​ ^н -значный случайный вектор X = ( X ₁ ,..., X _n ) является комонотонным тогда и только тогда, когда его можно представить в виде

$(X_{1},\ldots ,X_{n})=_{\text{d}}(F_{X_{1}}^{-1}(U),\ldots ,F_{X_{n}}^{-1}(U)),\,$

где = _d означает равенство в распределении, в правой части — непрерывные слева обобщенные обратные кумулятивных функций распределения F _{X 1} , . . . , F _{X n} , а U — равномерно распределенная случайная величина на единичном интервале . В более общем смысле случайный вектор является комонотонным тогда и только тогда, когда он согласуется по распределению со случайным вектором, все компоненты которого являются неубывающими функциями (или все являются невозрастающими функциями) одной и той же случайной величины.

Верхние границы

Верхняя граница Фреше–Хеффдинга для кумулятивных функций распределения

Основная статья: границы копулы Фреше – Хёфдинга

Пусть X = ( X ₁ , . . . , X _n ) — R ^н -значный случайный вектор. Тогда для каждого i ∈ {1, 2, . . . , н },

$\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n},$

следовательно

$\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}\Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n},$

с равенством всюду тогда и только тогда, когда X1 , ₍ ..., ) _{комонотонно} Xn .

Верхняя граница ковариации

Пусть ( X , Y ) будет двумерным случайным вектором, таким что ожидаемые значения , X Y и продукта X Y существуют. Пусть ( Х ^* , И ^* ) будет комонотонным двумерным случайным вектором с теми же одномерными маргинальными распределениями, что и ( X , Y ) . следует Тогда из формулы Хёффдинга для ковариации и верхняя граница Фреше–Хефдинга, которая

${\text{Cov}}(X,Y)\leq {\text{Cov}}(X^{*},Y^{*})$

и, соответственно,

$\operatorname {E} [XY]\leq \operatorname {E} [X^{*}Y^{*}]$

с равенством тогда и только тогда, когда ( X , Y ) комонотонно.

Заметим, что этот результат обобщает неравенство перестановки и неравенство суммы Чебышева .

См. также

• Копула (теория вероятностей)

Ссылки

• Дэн, Ян; Денюи, Мишель; Гувертс, Марк Дж.; Винке, Дэвид (2002a), «Концепция комонотонности в актуарной науке и финансах: теория» (PDF) , Insurance: Mathematics & Economics , 31 (1): 3–33, doi : 10.1016/s0167-6687(02)00134 -8 , MR   1956509 , Zbl   1051.62107 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 декабря 2008 г. , получено 28 августа 2012 г.
• Дэн, Ян; Денюи, Мишель; Гувертс, Марк Дж.; Винке, Дэвид (2002b), «Концепция комонотонности в актуарной науке и финансах: приложения» (PDF) , Insurance: Mathematics & Economics , 31 (2): 133–161, CiteSeerX   10.1.1.10.789 , doi : 10.1016/ s0167-6687(02)00135-x , MR   1932751 , Zbl   1037.62107 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 декабря 2008 г. , получено 28 августа 2012 г.
• Жуини, Эльес; Напп, Клотильда (2004), «Условная комонотонность» (PDF) , «Решения в экономике и финансах» , 27 (2): 153–166, doi : 10.1007/s10203-004-0049-y , ISSN   1593-8883 , MR   2104639 , Збл   1063.60002
• Каас, Роб; Дэн, Ян; Винке, Дэвид; Гувертс, Марк Дж.; Денуи, Мишель (2002), «Простое геометрическое доказательство того, что комонотонные риски имеют наибольшую выпуклую сумму» (PDF) , ASTIN Bulletin , 32 (1): 71–80, doi : 10.2143/ast.32.1.1015 , MR   1928014 , Збл   1061.62511
• Макнил, Александр Дж.; Фрей, Рюдигер; Эмбрехтс, Пол (2005), Количественное управление рисками. Концепции, методы и инструменты , Принстонская серия по финансам, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-12255-7 , МР   2175089 , Збл   1089.91037
• Нельсен, Роджер Б. (2006), Введение в копулы , Серия Спрингера по статистике (второе изд.), Нью-Йорк: Springer , стр. xiv + 269, ISBN  978-0-387-28659-4 , МР   2197664 , Збл   1152.62030
• Пуччетти, Джованни; Скарсини, Марко (2010), «Многомерная комонотонность» (PDF) , Журнал многомерного анализа , 101 (1): 291–304, doi : 10.1016/j.jmva.2009.08.003 , ISSN   0047-259X , MR   2557634 , Zbl   1184.62081
• Шрибунчитта, Сонгсак; Вонг, Винг-Кеунг; Домпонгса, Сомпонг; Нгуен, Хунг Т. (2010), Стохастическое доминирование и приложения к финансам, рискам и экономике , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN  978-1-4200-8266-1 , МР   2590381 , Збл   1180.91010