Методы Монте-Карло в финансах

Методы Монте-Карло используются в корпоративных финансах и математических финансах для оценки и анализа (сложных) инструментов , портфелей и инвестиций путем моделирования различных источников неопределенности, влияющих на их стоимость, а затем определения распределения их стоимости по диапазону результирующих результатов. Обычно это делается с помощью стохастических моделей активов . Преимущество методов Монте-Карло перед другими методами возрастает по мере увеличения размеров (источников неопределенности) задачи.

Методы Монте-Карло были впервые представлены в сфере финансов в 1964 году Дэвидом Б. Герцем в его статье в Harvard Business Review : обсуждая их применение в корпоративных финансах . В 1977 году Фелим Бойл впервые применил моделирование для оценки производных финансовых инструментов в своей основополагающей статье в журнале «Финансовая экономика» .

В данной статье рассматриваются типичные финансовые проблемы, в решении которых используются методы Монте-Карло. Также затрагивается использование так называемых «квазислучайных» методов, таких как использование последовательностей Соболя .

Обзор

Метод Монте-Карло охватывает любой метод статистической выборки, используемый для аппроксимации решений количественных задач. По сути, метод Монте-Карло решает проблему путем непосредственного моделирования основного (физического) процесса и последующего расчета (среднего) результата процесса. Этот очень общий подход действителен в таких областях, как физика , химия , информатика и т. д.

В финансах метод Монте-Карло используется для моделирования различных источников неопределенности, которые влияют на стоимость рассматриваемого инструмента , портфеля или инвестиции , а затем для расчета репрезентативной стоимости с учетом этих возможных значений базовых исходных данных. («Охват всех мыслимых непредвиденных обстоятельств реального мира пропорционально их вероятности». ) С точки зрения финансовой теории , это, по сути, применение нейтральной к риску оценки ; см. также нейтральность к риску .

Приложения:

• В области корпоративных финансов , проектное финансирование и анализ реальных опционов , Методы Монте-Карло используются финансовыми аналитиками, которые хотят построить « стохастические » или вероятностные финансовые модели в отличие от традиционных статических и детерминистических моделей. Здесь, чтобы проанализировать характеристики чистой приведенной стоимости проекта (NPV), компоненты денежного потока, которые (в значительной степени ), на которые влияет неопределенность , моделируются с учетом любой корреляции между ними, математически отражая их «случайные характеристики». Затем эти результаты объединяются в гистограмму проекта NPV (т.е. распределения вероятностей средняя NPV потенциальной инвестиции, а также ее волатильность ), и наблюдается и другие факторы чувствительности. Это распределение позволяет, например, оценить вероятность того, что чистая приведенная стоимость проекта будет больше нуля (или любого другого значения). См . далее в разделе «Корпоративные финансы».

• При оценке опциона на акции моделирование генерирует несколько тысяч возможных (но случайных) ценовых путей для базовой акции с соответствующей исполнения стоимостью (т. е. «выплатой») опциона для каждого пути. Эти выплаты затем усредняются и дисконтируются до сегодняшнего дня, и этот результат представляет собой сегодняшнюю стоимость опциона. Обратите внимание, что в то время как опционы на акции чаще оцениваются с использованием других моделей ценообразования , таких как модели на основе решетки , для зависящих от траектории экзотических производных инструментов, , таких как азиатские опционы , наиболее часто используемым методом оценки является моделирование; см. методы Монте-Карло для ценообразования опционов , где обсуждается дальнейшее – и более сложное – моделирование опционов.

• Для оценки инструментов с фиксированным доходом и процентных деривативов основным источником неопределенности, который моделируется, является короткая ставка – годовая процентная ставка , по которой предприятие может занимать деньги на определенный период времени; см. Модель краткосрочной ставки . Например, для облигаций и опционов на облигации : при каждой возможной эволюции процентных ставок мы наблюдаем разные кривые доходности и разные результирующие цены облигаций . Чтобы определить стоимость облигации, эти цены облигаций затем усредняются; для оценки опциона на облигации, как и для опционов на акции, соответствующие стоимости исполнения усредняются и оцениваются по приведенной стоимости. Аналогичный подход используется при оценке свопов , свопционов , и конвертируемые облигации . Что касается капитала, то для производных процентных ставок, зависящих от траектории , таких как CMO , моделирование является основным используемым методом; (Обратите внимание, что «для создания реалистичного моделирования процентных ставок» многофакторные модели с краткосрочными ставками . иногда используются )

• Методы Монте-Карло используются для оценки портфеля . Здесь для каждой выборки моделируется коррелированное поведение факторов, влияющих на составляющие инструменты, с течением времени, рассчитывается результирующая стоимость каждого инструмента, а затем наблюдается стоимость портфеля. Что касается корпоративных финансов, о которых говорилось выше, различные значения портфеля затем объединяются в гистограмму , наблюдаются статистические характеристики портфеля и портфель оценивается по мере необходимости. Здесь аналитики могут применить анализ главных компонентов , где посредством уменьшения размерности можно моделировать ограниченный набор факторов вместо каждого из отдельных источников неопределенности.

• Аналогичный подход используется при расчете стоимости риска . или «VaR», оценка того, сколько позиция, «стол» или другая область может потерять с заданной вероятностью (или уровнем достоверности ) и за установленный период времени. Типичным применением VaR является инвестиционно-банковская деятельность , где банк владеет экономическим «рисковым капиталом», соответствующим расчетному количеству; см. Управление финансовыми рисками § Банковское дело . VaR также используется в управлении рисками портфеля , где, как указано выше, моделирование позволяет управляющему фондом оценить убытки на заданном горизонте и уровне достоверности. и затем подстраховаться, если/если это возможно.

• Структурировщики используют моделирование для оценки вероятных выплат (и возможности убытков) по сделанным на заказ структурированным векселям или другим структурированным продуктам , обычно состоящим из нескольких компонентов ценных бумаг.

• Методы Монте-Карло используются для личного финансового планирования . Например, моделируя рынок в целом, шансы на то, что 401(k) позволит выйти на пенсию можно рассчитать при целевом доходе. При необходимости рассматриваемый работник может затем пойти на больший риск с пенсионным портфелем или начать откладывать больше денег.

• Дискретное моделирование событий можно использовать для оценки влияния предлагаемых капитальных вложений на существующие операции. Здесь строится модель «текущего состояния». После правильной работы, проверки и проверки на основе исторических данных моделирование изменяется, чтобы отразить предлагаемые капитальные вложения. Эта модель «будущего состояния» затем используется для оценки инвестиций путем оценки улучшения производительности (т.е. доходности) относительно затрат (с помощью гистограммы, как указано выше); его также можно использовать при стресс-тестировании конструкции. См. раздел «Моделирование дискретных событий» § Оценка решений о капиталовложениях .

Хотя методы Монте-Карло обеспечивают гибкость и могут учитывать множество источников неопределенности, использование этих методов, тем не менее, не всегда целесообразно. В целом методы моделирования предпочтительнее других методов оценки только при наличии нескольких переменных состояния (т. е. нескольких источников неопределенности). Эти методы также имеют ограниченное применение при оценке деривативов американского типа. См. ниже.

Применимость

Уровень сложности

Многие проблемы математических финансов влекут за собой вычисление определенного интеграла (например, проблема нахождения безарбитражного значения определенной производной ). Во многих случаях эти интегралы можно оценить аналитически , а в еще большем числе случаев их можно оценить с помощью численного интегрирования или вычислить с помощью уравнения в частных производных (УЧП). Однако, когда число измерений (или степеней свободы) в задаче велико, УЧП и числовые интегралы становятся трудноразрешимыми, и в этих случаях методы Монте-Карло часто дают лучшие результаты.

Для более чем трех или четырех переменных состояния такие формулы, как Блэк-Шоулз (т.е. аналитические решения ), не существуют, в то время как другие численные методы, такие как модель ценообразования биномиальных опционов и методы конечных разностей, сталкиваются с рядом трудностей и непрактичны. В этих случаях методы Монте-Карло сходятся к решению быстрее, чем численные методы, требуют меньше памяти и их легче программировать. Однако для более простых ситуаций моделирование не является лучшим решением, поскольку оно требует очень много времени и вычислительных ресурсов.

Методы Монте-Карло позволяют довольно просто работать с производными инструментами, выигрыши которых зависят от пути. С другой стороны, решатели конечных разностей (PDE) борются с зависимостью от пути.

Американские опционы

Методы Монте-Карло сложнее использовать с американскими опционами . Это связано с тем, что, в отличие от уравнения в частных производных , метод Монте-Карло на самом деле оценивает только стоимость опциона, предполагая заданную начальную точку и время.

Однако для раннего исполнения нам также необходимо знать стоимость опциона в промежуточные моменты времени между временем начала моделирования и временем истечения срока действия опциона. В подходе Блэка-Шоулза эти цены легко получить, поскольку моделирование выполняется в обратном направлении от даты истечения срока действия. В Монте-Карло эту информацию получить труднее, но это можно сделать, например, используя алгоритм наименьших квадратов Карьера (см. ссылку на оригинальную статью). который стал популярным несколько лет спустя благодаря Лонгстаффу и Шварцу (см. ссылку на оригинальную статью) .

Методы Монте-Карло

Математически

Фундаментальная теорема безарбитражного ценообразования гласит, что стоимость дериватива равна дисконтированной ожидаемой стоимости выигрыша по деривативу, если ожидание принимается с учетом нейтрального к риску показателя. ^[1] . На языке чистой математики математическое ожидание — это просто интеграл по мере. Методы Монте-Карло идеально подходят для вычисления сложных интегралов (см. также метод Монте-Карло ).

Таким образом, если мы предположим, что наше вероятностное пространство, нейтральное к риску, $\mathbb {P}$ и что у нас есть производный инструмент H, который зависит от набора базовых инструментов $S_{1},...,S_{n}$. Затем дали образец $\omega$ из вероятностного пространства значение производной равно $H(S_{1}(\omega ),S_{2}(\omega ),\dots ,S_{n}(\omega ))=:H(\omega )$. Сегодняшняя стоимость дериватива определяется путем принятия математического ожидания по всем возможным образцам и дисконтирования по безрисковой ставке. Т.е. производная имеет значение:

$H_{0}={DF}_{T}\int _{\omega }H(\omega )\,d\mathbb {P} (\omega )$

где ${DF}_{T}$ – коэффициент дисконтирования , соответствующий безрисковой ставке на окончательную дату погашения через T лет в будущем.

Теперь предположим, что интеграл трудно вычислить. Мы можем аппроксимировать интеграл, создав пути выборки и затем взяв среднее значение. Предположим, мы генерируем N выборок, тогда

$H_{0}\approx {DF}_{T}{\frac {1}{N}}\sum _{\omega \in {\text{sample set}}}H(\omega )$

что гораздо проще вычислить.

Примеры путей для стандартных моделей

В финансах обычно предполагается, что базовые случайные переменные (например, цена базовой акции) следуют по траектории, которая является функцией броуновского движения. ² . Например, в стандартной модели Блэка-Шоулза цена акции меняется по закону:

$dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW_{t}.$

Чтобы выбрать путь, следующий за этим распределением от времени 0 до T, мы разрезаем временной интервал на M единиц длины. $\delta t$и аппроксимируем броуновское движение на интервале $dt$ одной нормальной переменной со средним значением 0 и дисперсией $\delta t$. Это приводит к примерному пути

$S(k\delta t)=S(0)\exp \left(\sum _{i=1}^{k}\left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\delta t+\sigma \varepsilon _{i}{\sqrt {\delta t}}\right]\right)$

для каждого k между 1 и M . Здесь каждый $\varepsilon _{i}$ представляет собой результат стандартного нормального распределения.

Предположим, что производная H выплачивает среднее значение S между 0 и T, тогда путь выборки $\omega$ соответствует набору $\{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}$ и

$H(\omega )={\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{M}S(k\delta t).$

Мы получаем значение этой производной по методу Монте-Карло, генерируя N партий M нормальных переменных, создавая N путей выборки и, следовательно, N значений H , а затем взяв среднее значение.Обычно дериватив будет зависеть от двух или более (возможно, коррелирующих) базовых активов. Приведенный здесь метод можно расширить для создания путей выборки нескольких переменных, при этом обычные переменные, составляющие пути выборки, соответствующим образом коррелируют.

следует Из центральной предельной теоремы , что увеличение числа путей выборки в четыре раза примерно вдвое уменьшает ошибку моделируемой цены (т. е. ошибка имеет порядок $\epsilon ={\mathcal {O}}\left(N^{-1/2}\right)$ сходимость в смысле стандартного отклонения решения).

На практике методы Монте-Карло используются для деривативов европейского типа, включающих как минимум три переменные (более прямые методы, включающие численное интегрирование, обычно могут использоваться для задач только с одним или двумя базовыми активами. См. Модель опциона Монте-Карло .

Греки

Оценки « греков » опциона, т.е. (математических) производных стоимости опциона по входным параметрам, могут быть получены путем численного дифференцирования. Это может занять много времени (для каждого «удара» или небольшого изменения входных параметров необходимо выполнить весь прогон Монте-Карло). Кроме того, получение численных производных имеет тенденцию подчеркивать ошибку (или шум) в значении Монте-Карло, что приводит к необходимости моделирования с большим количеством путей выборки. Практики считают эти моменты ключевой проблемой при использовании методов Монте-Карло.

Уменьшение дисперсии

Сходимость квадратного корня происходит медленно, поэтому использование описанного выше наивного подхода требует использования очень большого количества путей выборки (скажем, 1 миллион для типичной задачи) для получения точного результата. Помните, что оценка цены дериватива является случайной величиной, и в рамках деятельности по управлению рисками неопределенность цены портфеля деривативов и/или его рисков может привести к неоптимальным решениям по управлению рисками.

Эту ситуацию можно смягчить с помощью методов уменьшения дисперсии .

Противоположные пути

Простой метод состоит в том, чтобы для каждого полученного выборочного пути выбрать противоположный путь, т. е. заданный путь $\{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}$ также взять $\{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}$. Поскольку переменные $\varepsilon _{i}$ и $-\varepsilon _{i}$ образуют антитетическую пару, большое значение одного сопровождается малым значением другого. Это говорит о том, что необычно большой или маленький результат, вычисленный по первому пути, может быть сбалансирован значением, вычисленным по противоположному пути, что приведет к уменьшению дисперсии. Это не только уменьшает количество нормальных выборок, которые необходимо взять для создания N путей, но также, при тех же условиях, например, при отрицательной корреляции между двумя оценками, уменьшает дисперсию путей выборки, повышая точность.

Метод управляющей переменной

Также естественно использовать управляющую переменную . Предположим, что мы хотим получить значение Монте-Карло производной H , но знаем аналитическое значение аналогичной производной I. Тогда H * = (Значение H по Монте-Карло) + B*[(Значение I аналитически ) − (Значение I согласно тем же путям Монте-Карло)] — лучшая оценка, где B — covar(H,I)/var(H).

Интуиция, лежащая в основе этого метода применительно к деривативам, заключается в следующем: обратите внимание, что источник отклонения дериватива будет напрямую зависеть от рисков (например, дельта, вега) этого дериватива. Это связано с тем, что любая ошибка, скажем, в оценке прямого значения базового актива приведет к возникновению соответствующей ошибки в зависимости от дельты производной по отношению к этому прямому значению. Самый простой пример, демонстрирующий это, состоит в сравнении ошибки при оценке цены колла «на деньгах» и стрэддла «на деньгах» (т.е. «колл+пут»), который имеет гораздо меньшую дельту.

Поэтому стандартный способ выбора производной I состоит в выборе повторяющегося портфеля опционов H. для На практике можно оценить H без уменьшения дисперсии, рассчитать дельты и веги, а затем использовать комбинацию коллов и путов, которые имеют те же дельты и вегасы, что и контрольная вариация.

Выборка по важности

Выборка по важности состоит из моделирования путей Монте-Карло с использованием другого распределения вероятностей (также известного как изменение меры), которое дает большую вероятность того, что моделируемый базовый фактор будет расположен в области, где выигрыш производной имеет наибольшую выпуклость (например, близко к страйку в случае простого опциона). Затем моделируемые выигрыши не просто усредняются, как в случае простого Монте-Карло, а сначала умножаются на отношение правдоподобия между модифицированным распределением вероятностей и исходным (которое получается с помощью аналитических формул, специфичных для распределения вероятностей). Это гарантирует, что пути, вероятность которых была произвольно увеличена за счет изменения распределения вероятностей, будут иметь низкий вес (именно так дисперсия уменьшается).

Этот метод может быть особенно полезен при расчете рисков по деривативам. При расчете дельты с использованием метода Монте-Карло наиболее простым способом является метод черного ящика, заключающийся в выполнении метода Монте-Карло для исходных рыночных данных и еще одного метода для измененных рыночных данных и расчета риска путем вычисления разницы. Вместо этого метод выборки по важности заключается в проведении метода Монте-Карло на произвольных эталонных рыночных данных (в идеале таких, в которых дисперсия как можно ниже) и расчете цен с использованием метода изменения веса, описанного выше. В результате возникает риск, который будет гораздо более стабильным, чем риск, полученный при использовании подхода «черного ящика» .

Квазислучайные методы (с низким расхождением)

Основная статья: Методы квази-Монте-Карло в финансах

Вместо случайного создания выборочных путей можно систематически (и фактически полностью детерминировано, несмотря на «квазислучайность» в названии) выбирать точки в вероятностном пространстве так, чтобы оптимально «заполнить» пространство. Выбор точек представляет собой последовательность с малым расхождением, такую ​​как последовательность Соболя . Получение средних значений выигрышей по производным в точках последовательности с малым расхождением часто оказывается более эффективным, чем определение средних значений выигрышей в случайных точках.

Примечания

1. Часто более практично принимать ожидания при различных показателях, однако они по-прежнему являются по своей сути интегралами, и поэтому можно применять тот же подход.
2. более общие процессы, такие как процессы Леви Иногда также используются . Они также могут быть смоделированы.

См. также

• Методы квазимонте-карло в финансах
• Метод Монте-Карло
• Историческое моделирование (финансы)
• Симулятор фондового рынка
• Реальная оценка опционов

Ссылки

Статьи

• Бойл П., Броди М. и Глассерман П. Методы Монте-Карло для ценообразования ценных бумаг. Журнал экономической динамики и контроля, том 21, выпуски 8–9, страницы 1267–1321.
• Рубинштейн, Самородницкий, Шакед. Антитетические переменные, многомерная зависимость и моделирование стохастических систем. Наука управления, Vol. 31, № 1, январь 1985 г., страницы 66–67.

Книги

• Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд. 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN  978-3-540-22149-4 .
• Дэниел Дж. Даффи и Йорг Киниц (2009). Платформы Монте-Карло: создание настраиваемых высокопроизводительных приложений на C++ . Уайли. ISBN  978-0470060698 .
• Бруно Дюпире (1998). Монте-Карло:методологии и приложения для ценообразования и управления рисками . Риск.
• Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовой инженерии . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-00451-3 .
• Джон К. Халл (2000). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (4-е изд.) . Прентис Холл. ISBN  0-13-015822-4 .
• Питер Джекель (2002). Методы Монте-Карло в финансах . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-49741-Х .
• Питер Э. Клоден и Экхард Платен (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Издательство Спрингер.
• Дессислава Пачаманова и Фрэнк Дж. Фабоцци (2010). Моделирование и оптимизация в финансах: моделирование с помощью MATLAB, @Risk или VBA . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-470-37189-3 .

Внешние ссылки

Общий

• Моделирование Монте-Карло (Энциклопедия количественных финансов), Питер Джекель и Экхард Платени
• Метод Монте-Карло , Riskglossary.com
• Схема Монте-Карло, примеры из финансов , Мартин Хо, Колумбийский университет
• Методы Монте-Карло в применении к финансам , Симон Леже

Производная оценка

• Моделирование Монте-Карло , профессор Дон М. Ченс, Университет штата Луизиана
• Оценка опционов с помощью моделирования , Бернт Арне Эдегор, Норвежская школа менеджмента
• Применение методов Монте-Карло в финансах: ценообразование опционов , Ю. Лай и Дж. Спанье, Клермонтский аспирантский университет
• Производная оценка Монте-Карло , продолжение. , Тимоти Л. Кребил, Университет штата Оклахома – Стиллуотер
• Оценка сложных опционов с использованием простого моделирования Монте-Карло , Питер Финк - перепечатка на quantnotes.com
• Метод наименьших квадратов Монте-Карло для американских опционов, Carriere, 1996 , idea.repec.org
• Метод наименьших квадратов Монте-Карло для американских опционов, Лонгстафф и Шварц, 2001 , repositories.cdlib.org
• Использование моделирования для ценообразования опционов , Джон Чарнс

Корпоративные финансы

• Реальные опционы с моделированием Монте-Карло , Марко Диас, Папский католический университет Рио-де-Жанейро
• Использование моделирования для расчета чистой приведенной стоимости проекта , Investmentscience.com
• Моделирование, деревья решений и сценарный анализ в оценке Профессор Асват Дамодаран , Школа бизнеса Стерна
• Метод Монте-Карло в Excel Профессор Андре Фарбер Solvay Business School
• Прогноз продаж , vertex42.com
• Ценообразование с использованием моделирования Монте-Карло , практический пример, профессор Джанкарло Верчеллино

Личные финансы

• Лучший способ оценить свои заначки , Businessweek Online: 22 января 2001 г.
• Онлайн-планировщик выхода на пенсию в Монте-Карло с исходным кодом , Джим Ричмонд, 2006 г.
• Бесплатный пенсионный калькулятор на основе электронных таблиц и симулятор Монте-Карло , Эрик К., 2008 г.
• Моделирование выхода на пенсию
• Финансовое планирование с использованием случайных блужданий , Джон Норстад, 2005 г.
• Калькулятор яиц Vanguard Nest , Vanguard