Методы квазимонте-карло в финансах

Многомерные интегралы от сотен или тысяч переменных часто встречаются в финансах. Эти интегралы необходимо вычислять численно с точностью до порога. $\epsilon$. Если интеграл имеет размерность $d$ тогда в худшем случае, когда есть гарантия ошибки максимум $\epsilon$, вычислительная сложность обычно порядка $\epsilon ^{-d}$. То есть проблема страдает от проклятия размерности . В 1977 году П. Бойл из Университета Ватерлоо предложил использовать метод Монте-Карло (MC) для оценки вариантов. Начиная с начала 1992 года Дж. Ф. Трауб из Колумбийского университета и тогдашний аспирант С. Пасков использовали квази-Монте-Карло (QMC) для определения цены обеспеченных ипотечных обязательств с параметрами, указанными Goldman Sachs. Несмотря на то, что ведущие мировые эксперты считали, что QMC не следует использовать для многомерной интеграции, Пасков и Трауб обнаружили, что QMC превосходит MC на один-три порядка, а также обладает другими желательными качествами. Их результаты были впервые опубликованы в 1995 году. Сегодня QMC широко используется в финансовом секторе для оценки производных финансовых инструментов; см. список книг ниже .

QMC не является панацеей для всех многомерных интегралов. Был предложен ряд объяснений того, почему QMC так хорош для производных финансовых инструментов. Это продолжает оставаться очень плодотворной областью исследований.

Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло.

Интегралы от сотен или тысяч переменных широко распространены в вычислительных финансах . Их необходимо аппроксимировать численно с точностью до порога погрешности. $\epsilon$. Хорошо известно, что в худшем случае гарантия ошибки не более $\epsilon$ требуется, то вычислительная сложность интегрирования может быть экспоненциальной по $d$, размерность подынтегральной функции; Видеть Ч. 3 для получения подробной информации. Чтобы разрушить это проклятие размерности, можно использовать метод Монте-Карло (MC), определяемый формулой

$\varphi ^{\mathop {\rm {MC}} }(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),$

где оценочные точки $x_{i}$ выбираются случайным образом. Хорошо известно, что ожидаемая ошибка Монте-Карло имеет порядок $n^{-1/2}$. Таким образом, стоимость алгоритма, имеющего ошибку $\epsilon$ в порядке $\epsilon ^{-2}$ снять проклятие размерности.

Конечно, в вычислительной практике используются псевдослучайные точки. На рисунке 1 показано распределение 500 псевдослучайных точек на единичном квадрате.

Рисунок 1. 500 псевдослучайных точек

Обратите внимание, что есть регионы, где нет точек, и другие регионы, где есть кластеры точек. Было бы желательно отбирать подынтегральную функцию в равномерно распределенных точках. Прямоугольная сетка была бы однородной, но даже если бы в каждом декартовом направлении было только две точки сетки, было бы $2^{d}$ точки. Таким образом, желательно, чтобы было как можно меньше точек, выбранных как можно более единообразными.

Оказывается, существует хорошо разработанная часть теории чисел, которая занимается именно этим требованием. Расхождение — это мера отклонения от единообразия, поэтому нам нужны последовательности с низким расхождением (LDS). Было создано множество LDS, названных в честь их изобретателей, например

• Хэлтон
• Хаммерсли
• Sobol
• Форе
• Нидеррейтер

На рисунке 2 показано распределение 500 баллов LDS.

Рисунок 2. 500 точек с низким расхождением

Метод квази-Монте-Карло (QMC) определяется следующим образом:

$\varphi ^{\mathop {\rm {QMC}} }(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),$

где $x_{i}$ принадлежат к ЛДС. Стандартная терминология квази-Монте-Карло несколько неудачна, поскольку MC является рандомизированным методом, тогда как QMC является чисто детерминированным.

Желательно равномерное распределение ЛДС. Но в худшем случае ошибка QMC имеет порядок.

${\frac {(\log n)^{d}}{n}},$

где $n$ количество точек выборки. Видеть за теорию ЛДС и ссылки на литературу. Скорость конвергенции LDS можно сравнить с ожидаемой скоростью конвергенции MC, которая равна $n^{-1/2}$. Для $d$ мала, скорость сходимости QMC выше, чем MC, но для $d$ большой фактор $(\log n)^{d}$ разрушительно. Например, если $d=360$, то даже с $\log n=2$ ошибка QMC пропорциональна $2^{360}$. Таким образом, ведущие мировые эксперты считали, что QMC не следует использовать для многомерной интеграции. Например, в 1992 году Брэтли, Фокс и Нидеррайтер провел обширное тестирование некоторых математических задач. Они заключают, что «в задачах большой размерности (скажем, $d>12$), QMC, похоже, не дает практического преимущества перед MC». В 1993 году Ренсбург и Торри сравнил QMC с MC для численной оценки многомерных интегралов, которые возникают при вычислении вириальных коэффициентов для жидкости твердых сфер. Они приходят к выводу, что QMC более эффективен, чем MC, только если $d<10$. Как мы увидим, тесты на 360-мерных интегралах, возникающих из обеспеченных ипотечных обязательств (CMO), приводят к совершенно другим выводам.

Статья Возняковского 1991 года демонстрация связи между средней сложностью интеграции и QMC привела к новому интересу к QMC.Результат Возняковского получил широкое освещение в научной прессе. . В начале 1992 года IT-специалист Вандерхоф из Нью-Йоркского университета узнал о результате Возняковского и предоставил коллеге Возняковского Дж. Ф. Траубу из Колумбийского университета директора по маркетингу с параметрами, установленными Goldman Sachs. У этого CMO было 10 траншей, каждый из которых требовал вычисления 360-мерного интеграла. Трауб спросил доктора философии. Студент Спасимир Пасков сравнил QMC с MC для CMO. В 1992 году Пасков создал программную систему под названием FinDer и провел обширные испытания. К удивлению и первоначальному недоверию исследовательской группы Колумбийского университета Пасков сообщил, что QMC всегда превосходил MC по ряду показателей. Подробности приведены ниже. Предварительные результаты были представлены Пасковым и Траубом ряду фирм с Уолл-стрит осенью 1993 и весной 1994 года. Фирмы первоначально скептически отнеслись к утверждению о том, что QMC превосходит MC в ценообразовании производных финансовых инструментов. Статья Трауба и Возняковски в журнале Scientific American за январь 1994 года. обсудил теоретические вопросы и сообщил, что «предварительные результаты, полученные при тестировании определенных финансовых задач, предполагают превосходство детерминистических методов на практике».Осенью 1994 года Пасков написал отчет Колумбийского университета по компьютерным наукам, который в несколько измененной форме появился в 1997 году.

Осенью 1995 годаПасков и Трауб опубликовали статью в «Журнале портфельного управления». Они сравнили MC и два метода QMC. В двух детерминированных методах использовались точки Соболя и Холтона. Поскольку позже были созданы более совершенные LDS, сравнение последовательностей Соболя и Холтона проводиться не будет. В результате экспериментов были сделаны следующие выводы относительно эффективности MC и QMC на CMO с 10 траншами:

• Методы QMC сходятся значительно быстрее, чем MC.
• MC чувствителен к начальному семени
• Сходимость QMC более плавная, чем сходимость MC. Это упрощает автоматическое прекращение действия QMC.

Подводя итог, можно сказать, что QMC превосходит MC для директора по маркетингу по точности, уровню уверенности и скорости.

За этой статьей последовали отчеты об испытаниях ряда исследователей, которые также привели к выводу, что QMC превосходит MC в решении множества сложных финансовых задач. Сюда входят статьи Кафлиша и Морокоффа (1996), Джой, Бойл, Тан (1996), Ниномия и Тэдзука (1996), Папагеоргиу и Трауб (1996), Экворт, Броуди и Глассерман (1997).

Дальнейшее тестирование CMO был проведен Анаргиросом Папагеоргиу, который разработал улучшенную версию программной системы FinDer. Новые результаты включают следующее:

• Небольшое количество точек выборки: для самого сложного транша CMO QMC с использованием обобщенного LDS Фора, предложенного С. Тэдзукой. достигает точности $10^{-2}$ всего 170 баллов. MC требует 2700 точек для такой же точности. Значение этого состоит в том, что, поскольку будущие процентные ставки и ставки предоплаты неизвестны, финансовые фирмы довольствуются точностью $10^{-2}$.
• Большое количество точек выборки. Преимущество QMC перед MC еще больше усиливается по мере роста размера выборки и требований к точности. В частности, QMC в 20–50 раз быстрее, чем MC, при умеренных размерах выборки и может быть до 1000 раз быстрее, чем MC. когда требуется высокая точность QMC.

В настоящее время самый высокий зарегистрированный размер, по которому QMC превосходит MC, составляет 65536. Программное обеспечение представляет собой генератор последовательностей Соболя SobolSeq65536, который генерирует последовательности Соболя, удовлетворяющие свойству A для всех измерений и свойству A' для соседних измерений.

Теоретические объяснения

Результаты, представленные в этой статье, являются эмпирическими. Был выдвинут ряд возможных теоретических объяснений. Это была очень богатая исследовательская область, ведущая к появлению новых мощных концепций, но однозначного ответа получено не было.

Возможное объяснение того, почему QMC хорош для финансов, заключается в следующем. Рассмотрим транш CMO, упомянутый ранее. Интеграл дает ожидаемые будущие денежные потоки от корзины 30-летних ипотечных кредитов с интервалом в 360 месяцев. Из-за дисконтированной стоимости денег переменные, представляющие будущие времена, становятся все менее важными. В основополагающей статье И. Слоана и Х. Возняковски. ввел идею весовых пространств. В этих пространствах зависимость от последовательных переменных можно регулировать с помощью весов. Если веса уменьшаются достаточно быстро, проклятие размерности разрушается даже при гарантии наихудшего случая. Эта статья привела к большому объему работы по вопросам управляемости интеграции и другим проблемам. Проблема решаема, когда ее сложность имеет порядок. $\epsilon ^{-p}$ и $p$ не зависит от размерности.

С другой стороны, эффективное измерение было предложено Кафлишом, Морокоффом и Оуэном. как индикаторсложности многомерной интеграции. Целью было объяснитьзамечательный успех квази-Монте-Карло (QMC) в аппроксимации интегралов очень большой размерности в финансах. Они утверждали, чтоподынтегральные выражения имеют низкую эффективную размерность, поэтому QMC гораздобыстрее, чем Монте-Карло (MC).Влияние аргументов Caflisch et al. было здорово.В ряде работ рассматривается связь погрешности КМК с эффективной размерностью. .

Известно, что QMC не работает для некоторых функций, имеющих высокую эффективную размерность. Однако низкая эффективная размерность не является необходимым условием для того, чтобы QMC превзошла MC, а длямногомерная интеграциябыть сговорчивым. В 2005 году Тэдзука представил класс функций $d$ переменные, все с максимальной эффективной размерностью, равной $d$. Для этих функций QMC работает очень быстро, поскольку его скорость сходимости имеет порядок $n^{-1}$, где $n$ количество оценок функции.

Изотропные интегралы

QMC также может превосходить MC и другие методы для решения изотропных задач, то есть задач, в которых все переменные одинаково важны. Например, Папагеоргиу и Трауб. сообщили о результатах испытаний по проблемам интеграции моделей, предложенным физиком Б. Д. Кейстером.

$\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{d/2}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\cos(\|x\|)e^{-\|x\|^{2}}\,dx,$

где $\|\cdot \|$ обозначает евклидову норму и $d=25$. Кейстер сообщает, что при использовании стандартного численного метода потребовалось около 220 000 точек, чтобы получить относительную погрешность порядка $10^{-2}$. Расчет QMC с использованием обобщенной последовательности Фора с низким расхождением. (QMC-GF) использовал только 500 точек для получения такой же относительной ошибки. Тот же интеграл был протестирован для диапазона значений $d$ до $d=100$. Его ошибка была

$c\cdot n^{-1},$

$c<110$, где $n$ это количество оценок $f$. Это можно сравнить с методом МК, ошибка которого была пропорциональна $n^{-1/2}$.

Это эмпирические результаты. В теоретическом исследовании Папагеоргиу доказал, что скорость сходимости QMC для класса $d$-мерные изотропные интегралы, включающие определенный выше интеграл, имеют порядок

${\sqrt {\log n}}/n.$

Это с гарантией наихудшего случая по сравнению с ожидаемой скоростью сходимости $n^{-1/2}$ Монте-Карло и показывает превосходство QMC для этого типа интеграла.

В другом теоретическом исследовании Папагеоргиу представил достаточные условия для быстрой сходимости QMC. Условия применимы к изотропным и неизотропным задачам и, в частности, к ряду задач вычислительных финансов. Он представил классы функций, в которых даже в худшем случае скорость сходимости QMC имеет порядок

$n^{-1+p(\log n)^{-1/2}},$

где $p\geq 0$ — константа, зависящая от класса функций.

Но это лишь достаточное условие и оставляет открытым главный вопрос, который мы поставим в следующем разделе.

Открытые вопросы

1. Охарактеризуйте, в каких задачах многомерной интеграции QMC превосходит MC.
2. Охарактеризуйте виды финансовых инструментов, по которым QMC превосходит MC.

См. также

• Методы Монте-Карло в финансах
• Историческое моделирование (финансы)

Ресурсы

Книги

• Бруно Дюпире (1998). Монте-Карло: методологии и приложения для ценообразования и управления рисками . Риск. ISBN  1-899332-91-Х .
• Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовой инженерии . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-00451-3 .
• Питер Джекель (2002). Методы Монте-Карло в финансах . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-49741-Х .
• Дон Л. Маклиш (2005). Монте-Карло: Моделирование и финансы . ISBN  0-471-67778-7 .
• Кристиан П. Роберт, Джордж Казелла (2004). Статистические методы Монте-Карло . ISBN  0-387-21239-6 .

Модели

• Таблицы доступны для скачивания , проф. Марко Диас, PUC-Рио