Методы Монте-Карло для определения цены опционов

В математических финансах модель опционов Монте-Карло использует методы Монте-Карло. ^{[Примечания 1]} для расчета стоимости опциона с несколькими источниками неопределенности или со сложными характеристиками. ^[1] Первое применение ценообразования опционов было сделано Фелимом Бойлом в 1977 году (для европейских опционов ). В 1996 году М. Броди и П. Глассерман показали, как оценивать азиатские опционы по методу Монте-Карло. Важным событием стало введение в 1996 году Карьером метода Монте-Карло для опционов с признаками раннего исполнения .

Методология

С точки зрения теории , оценка по методу Монте-Карло основана на оценке, нейтральной к риску. ^[1] Здесь цена опциона равна его дисконтированной ожидаемой стоимости ; см. нейтральность риска и рациональное ценообразование . Применяемый тогда метод заключается в том, чтобы (1) сгенерировать большое количество возможных, но случайных ценовых траекторий для базового актива (или базовых активов) посредством моделирования и (2) затем рассчитать соответствующую исполнения стоимость (т. е. «выплату») вариант для каждого пути. (3) Эти выплаты затем усредняются и (4) дисконтируются до сегодняшнего дня. Этот результат и есть стоимость опциона. ^[2]

Этот подход, хотя и относительно простой, позволяет увеличивать сложность:

Опцион на акции может быть смоделирован с одним источником неопределенности: ценой базовой акции . рассматриваемой ^[2] Здесь цена базового инструмента $\ S_{t}\,$ обычно моделируется так, что оно следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом. $\mu \,$ и волатильность $\sigma \,$ . Так: $dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,$ , где $dW_{t}\,$ находится посредством случайной выборки из нормального распределения ; см . далее в разделе Блэка – Шоулза . Поскольку лежащий в основе случайный процесс один и тот же, для достаточного количества ценовых траекторий стоимость европейского опциона здесь должна быть такой же, как и в случае Блэка-Шоулза . В более общем плане моделирование применяется для , зависящих от траектории движения экзотических деривативов , таких как азиатские опционы .

В других случаях источник неопределенности может находиться далеко. Например, для опционов на облигации ^[3] базисом является облигация , но источником неопределенности является годовая процентная ставка (т.е. короткая ставка ). Здесь для каждой случайно сгенерированной кривой доходности мы наблюдаем разную результирующую цену облигации на дату исполнения опциона; эта цена облигации затем является исходными данными для определения выплаты по опциону. Тот же подход используется при оценке свопов . ^[4] где стоимость базового свопа также является функцией меняющейся процентной ставки. (Хотя эти варианты чаще оцениваются с использованием решетчатых моделей , как указано выше, для производных процентных ставок, зависящих от траектории , таких как CMO , моделирование является основным используемым методом. ^[5]) Модели, используемые для моделирования процентной ставки, см. далее в разделе «Модель с краткосрочной ставкой» ; «для создания реалистичного моделирования процентных ставок» многофакторные модели с краткосрочными ставками . Иногда используются ^[6] Чтобы применить моделирование к IRD, аналитик должен сначала «откалибровать» параметры модели так, чтобы цены облигаций, полученные с помощью модели, лучше всего соответствовали наблюдаемым рыночным ценам.

Методы Монте-Карло допускают усугубление неопределенности . ^[7] Например, если базовый актив выражен в иностранной валюте, дополнительным источником неопределенности будет обменный курс : цена базового актива и обменный курс должны быть смоделированы отдельно, а затем объединены для определения стоимости базового актива в местной валюте. Во все такие модели также включена корреляция между основными источниками риска; см. разложение Холецкого § моделирование Монте-Карло . дополнительные осложнения, такие как влияние цен на сырьевые товары или инфляции Могут также возникнуть на базовый актив. Поскольку моделирование может решать сложные проблемы такого рода, его часто используют при анализе реальных вариантов. ^[1] где решение руководства в любой момент является функцией множества основных переменных.

Аналогичным образом моделирование можно использовать для оценки опционов, где выигрыш зависит от стоимости нескольких базовых активов. ^[8] например, опция «Корзина» или опция «Радуга» . Здесь также учитывается корреляция между доходностью активов. ^{[ по мнению кого? ]}

При необходимости моделирование Монте-Карло может использоваться с любым типом распределения вероятностей , включая меняющиеся распределения: разработчик модели не ограничен нормальными или логарифмически нормальными доходами; ^[9] см., например, метод Датара – Мэтьюза для реальной оценки опционов . Кроме того, стохастический процесс базового актива(ов) может быть определен так, чтобы демонстрировать скачки или возврат к среднему значению , или и то, и другое; эта особенность делает моделирование основным методом оценки, применимым к деривативам энергии . ^[10] Более того, некоторые модели даже допускают (случайное) изменение статистических (и других) параметров источников неопределенности. Например, в моделях, включающих стохастическую волатильность , волатильность базового актива меняется со временем; см. модель Хестона . ^{[ нужна ссылка ]}

Наименьший квадрат Монте-Карло

Метод наименьшего квадрата Монте-Карло — это метод оценки опционов с ранним исполнением (т. е. бермудских или американских опционов ). Впервые он был представлен Жаком Карьером в 1996 году. ^[11]

Он основан на итерации двухэтапной процедуры:

Сначала выполняется процесс обратной индукции , в котором значение рекурсивно присваивается каждому состоянию на каждом временном шаге. Значение определяется как регрессия по методу наименьших квадратов относительно рыночной цены стоимости опциона в этом состоянии и времени (-шаг). Стоимость опциона для этой регрессии определяется как стоимость возможностей исполнения (зависит от рыночной цены) плюс значение временного шага, к которому приведет это исполнение (определенное на предыдущем этапе процесса). ^[12]
Во-вторых, когда все состояния оцениваются для каждого временного шага, стоимость опциона рассчитывается путем перемещения по временным шагам и состояниям путем принятия оптимального решения об исполнении опциона на каждом этапе с учетом ценового пути и стоимости состояния, которое Результатом этого будет. Этот второй шаг можно выполнить с несколькими ценовыми путями, чтобы добавить к процедуре стохастический эффект. ^[11]

Приложение

Как можно видеть, методы Монте-Карло особенно полезны при оценке опционов с множеством источников неопределенности или со сложными характеристиками, из-за которых их стоимость может быть затруднена с помощью простых вычислений в стиле Блэка-Шоулза или вычислений на основе решетки . Таким образом, этот метод широко используется для оценки структур, зависящих от пути, таких как ретроспективный и азиатский опционы. ^[9] и в анализе реальных опционов . ^[1]^[7] Кроме того, как указано выше, разработчик модели не ограничен в отношении предполагаемого распределения вероятностей. ^[9]

И наоборот, если существует аналитический метод оценки опциона или даже числовой метод , такой как (модифицированное) дерево ценообразования. ^[9]— Методы Монте-Карло обычно слишком медленны, чтобы быть конкурентоспособными. В каком-то смысле они являются методом крайней меры; ^[9] см . далее в разделе «Методы Монте-Карло в финансах» . Благодаря более быстрым вычислительным возможностям это вычислительное ограничение не вызывает беспокойства. ^{[ по мнению кого? ]}

См. также

Ссылки

Примечания

↑ Хотя термин «метод Монте-Карло» был придуман Станиславом Уламом в 1940-х годах, некоторые связывают такие методы с французским натуралистом 18-го века Бюффоном и вопросом, который он задал о результатах случайного падения иглы на полосатый пол или стол. См. Игла Бюффона .

Источники

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Марко Диас: Реальные опционы с помощью моделирования Монте-Карло
^ Jump up to: ^а ^б Дон Ченс: Учебное пособие 96-03: Моделирование Монте-Карло
^ Питер Карр и Гуан Ян: Моделирование опционов на американские облигации в рамках HJM
^ Карлос Бланко, Джош Грей и Марк Хаззард: Альтернативные методы оценки свопов: Дьявол кроется в деталях. Архивировано 2 декабря 2007 г. в Wayback Machine.
^ Фрэнк Дж. Фабоцци : Оценка ценных бумаг с фиксированным доходом и деривативов , стр. 138
^ Дональд Р. ван Девентер (Корпорация Камакура): Ловушки в управлении активами и пассивами: однофакторные модели временной структуры. Архивировано 3 апреля 2012 г. в Wayback Machine.
^ Jump up to: ^а ^б Гонсало Кортасар, Мигель Гравет и Хорхе Урсуа: Оценка многомерных американских реальных опционов с использованием метода моделирования LSM
^ global-derivatives.com: Параметры корзины – Моделирование
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Рич Таненбаум: Битва моделей ценообразования: деревья против Монте-Карло
^ Лес Клевлоу, Крис Стрикленд и Винс Камински: Расширение диффузии прыжка с возвратом к среднему
^ Jump up to: ^а ^б Карьер, Жак (1996). «Оценка цены раннего исполнения опционов с использованием моделирования и непараметрической регрессии». Страхование: Математика и Экономика . 19 :19–30. дои : 10.1016/S0167-6687(96)00004-2 .
^ Лонгстафф, Фрэнсис. «Оценка американских опционов с помощью моделирования: простой метод наименьших квадратов» (PDF) . Проверено 18 декабря 2019 г.

Основные ссылки

Бойл, Фелим П. (1977). «Варианты: подход Монте-Карло» . Журнал финансовой экономики . 4 (3): 323–338. дои : 10.1016/0304-405x(77)90005-8 . Проверено 28 июня 2012 г.
Броуди, М.; Глассерман, П. (1996). «Оценка производных от цены ценных бумаг с использованием моделирования» (PDF) . Наука управления . 42 (2): 269–285. CiteSeerX 10.1.1.196.1128 . дои : 10.1287/mnsc.42.2.269 . Проверено 28 июня 2012 г.
Лонгстафф, ФА; Шварц, ЕС (2001). «Оценка американских опционов с помощью моделирования: простой метод наименьших квадратов» . Обзор финансовых исследований . 14 : 113–148. CiteSeerX 10.1.1.155.3462 . дои : 10.1093/rfs/14.1.113 . Проверено 28 июня 2012 г.

Библиография

Бруно Дюпире (1998). Монте-Карло:методологии и приложения для ценообразования и управления рисками . Риск.
Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовой инженерии . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-00451-8 .
Питер Джекель (2002). Методы Монте-Карло в финансах . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-49741-7 .
Дон Л. Маклиш (2005). Монте-Карло: Моделирование и финансы . ISBN 978-0-471-67778-9 .
Кристиан П. Роберт, Джордж Казелла (2004). Статистические методы Монте-Карло . ISBN 978-0-387-21239-5 .

Внешние ссылки

Онлайн-инструменты

Временные ряды цен на акции, смоделированные в Монте-Карло, и генератор случайных чисел (позволяет выбрать распределение), Стивен Уитни

Дискуссионные доклады и документы

Моделирование Монте-Карло , профессор Дон М. Ченс, Университет штата Луизиана
Оценка сложных опционов с использованием простого моделирования Монте-Карло , Питер Финк (перепечатка на quantnotes.com)
Моделирование Монте-Карло в финансах , global-derivatives.com
Производная оценка Монте-Карло , продолжение. , Тимоти Л. Кребил, Университет штата Оклахома – Стиллуотер
Применение методов Монте-Карло в финансах: ценообразование опционов , Ю. Лай и Дж. Спанье, Клермонтский аспирантский университет
Оценка опционов с помощью моделирования , Бернт Арне Эдегор, Норвежская школа менеджмента
Ценообразование и хеджирование экзотических опционов с помощью моделирования Монте-Карло , Аугусто Перилла, Диана Оанча, профессор Майкл Рокинджер, HEC Lausanne
Метод Монте-Карло , Riskglossary.com

[1] Хотя термин «метод Монте-Карло» был придуман Станиславом Уламом в 1940-х годах, некоторые связывают такие методы с французским натуралистом 18-го века Бюффоном и вопросом, который он задал о результатах случайного падения иглы на полосатый пол или стол. См. Игла Бюффона .

[Marco_Dias-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Марко Диас: Реальные опционы с помощью моделирования Монте-Карло

[Don_Chance-3] Jump up to: ^а ^б Дон Ченс: Учебное пособие 96-03: Моделирование Монте-Карло

[4] Питер Карр и Гуан Ян: Моделирование опционов на американские облигации в рамках HJM

[5] Карлос Бланко, Джош Грей и Марк Хаззард: Альтернативные методы оценки свопов: Дьявол кроется в деталях. Архивировано 2 декабря 2007 г. в Wayback Machine.

[6] Фрэнк Дж. Фабоцци : Оценка ценных бумаг с фиксированным доходом и деривативов , стр. 138

[7] Дональд Р. ван Девентер (Корпорация Камакура): Ловушки в управлении активами и пассивами: однофакторные модели временной структуры. Архивировано 3 апреля 2012 г. в Wayback Machine.

[Cortazar_et_al-8] Jump up to: ^а ^б Гонсало Кортасар, Мигель Гравет и Хорхе Урсуа: Оценка многомерных американских реальных опционов с использованием метода моделирования LSM

[9] -derivatives.com: Параметры корзины – Моделирование

[Tanenbaum-10] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Рич Таненбаум: Битва моделей ценообразования: деревья против Монте-Карло

[11] Лес Клевлоу, Крис Стрикленд и Винс Камински: Расширение диффузии прыжка с возвратом к среднему

[carriere-12] Jump up to: ^а ^б Карьер, Жак (1996). «Оценка цены раннего исполнения опционов с использованием моделирования и непараметрической регрессии». Страхование: Математика и Экономика . 19 :19–30. дои : 10.1016/S0167-6687(96)00004-2 .

[:0-13] Лонгстафф, Фрэнсис. «Оценка американских опционов с помощью моделирования: простой метод наименьших квадратов» (PDF) . Проверено 18 декабря 2019 г.

[Примечания 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]