Стационарные приращения

В теории вероятностей говорят , что случайный процесс имеет стационарные приращения , если его изменение зависит только от промежутка времени наблюдения, но не от времени начала наблюдения. Многие большие семейства случайных процессов имеют стационарные приращения либо по определению (например, процессы Леви ), либо по конструкции (например, случайные блуждания ).

Определение

Случайный процесс $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ имеет стационарные приращения, если для всех $t\geq 0$ и $h>0$ , распределение случайных величин

Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}

зависит только от $h$ и не на $t$ . ^[1]^[2]

Примеры

Наличие стационарных приращений является определяющим свойством для многих больших семейств случайных процессов, таких как процессы Леви . являясь специальными процессами Леви, Как винеровский процесс , так и процесс Пуассона, имеют стационарные приращения. Другие семейства случайных процессов, такие как случайные блуждания, по своей конструкции имеют стационарные приращения.

Пример стохастического процесса со стационарными приращениями, не являющегося процессом Леви, дается следующим образом: $X=(X_{t})$ , где $X_{t}$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , имеющими нормальное распределение с нулевым средним значением и единицей дисперсии. Тогда приращения $Y_{t,h}$ независимы от $t$ поскольку они имеют нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией два. В этом частном случае приращения даже не зависят от продолжительности наблюдения. $h$ сам.

Обобщенное определение сложных наборов индексов

Понятие стационарных приращений можно обобщить на случайные процессы с более сложными наборами индексов. $T$ .Позволять $X=(X_{t})_{t\in T}$ быть случайным процессом, набор индексов которого $T\subset \mathbb {R}$ замкнуто относительно сложения. Тогда оно имеет стационарные приращения, если для любого $p,q,r\in T$ , случайные величины

Y_{1}=X_{p+q+r}-X_{q+r}

и

Y_{2}=X_{p+r}-X_{r}

имеют одинаковое распределение.Если $0\in T$ достаточно рассмотреть $r=0$ . ^[1]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 190. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
^ Калленберг, Олав (2002). Основы современной вероятности (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 290.

[Klenke190-1] Jump up to: ^а ^б Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 190. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[Kallenberg290-2] Калленберг, Олав (2002). Основы современной вероятности (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 290.

[1]

[2]