Модель первого попадания

Говоря более разговорно, время первого прохождения в стохастической системе — это время, необходимое переменной состояния для достижения определенного значения. Понимание этой метрики позволяет лучше понять наблюдаемую физическую систему, и поэтому она является темой исследований в самых разных областях, от экономики до экологии .

Идея о том, что время первого возникновения случайного процесса может описывать время до возникновения события, имеет долгую историю, начиная с интереса к времени первого прохождения винеровских диффузионных процессов в экономике, а затем и в физике в начале 1900-х годов. Моделирование вероятности финансового краха в качестве первого прохода было одним из первых применений в области страхования. Интерес к математическим свойствам времени первого попадания, статистическим моделям и методам анализа данных о выживании устойчиво возникал в период с середины до конца 20-го века.

Примеры

Типичным примером модели первого попадания является проблема разорения , такая как разорение игрока . В этом примере организация (часто описываемая как игрок или страховая компания) имеет сумму денег, которая случайным образом меняется со временем, возможно, с некоторым отклонением . Модель рассматривает событие, когда сумма денег достигает 0, что представляет собой банкротство. Модель может отвечать на такие вопросы, как вероятность того, что это произойдет в течение конечного времени, или среднее время, до которого это произойдет.

Модели первого попадания могут быть применены к ожидаемому сроку жизни пациентов или механических устройств. Когда процесс впервые достигает неблагоприятного порогового состояния, пациент умирает или устройство выходит из строя.

Финансовое применение вероятности первого попадания было разработано Марчелло Миненной для расчета минимального временного горизонта инвестиций.

Время первого прохождения одномерной броуновской частицы

Одной из простейших и вездесущих стохастических систем является система броуновской частицы в одном измерении. Эта система описывает движение частицы, которая движется стохастически в одномерном пространстве с равной вероятностью перемещения влево или вправо. Учитывая, что броуновское движение часто используется как инструмент для понимания более сложных явлений, важно понимать вероятность того, что во время первого прохождения броуновская частица достигнет некоторого положения, удаленного от ее начального местоположения. Это делается с помощью следующих средств.

Функция плотности вероятности (PDF) для частицы в одном измерении находится путем решения одномерного уравнения диффузии . (Это уравнение утверждает, что плотность вероятности положения со временем распространяется наружу. Это аналогично ситуации со сливками в чашке кофе, если изначально все сливки содержались в каком-то небольшом месте. Через долгое время сливки распространились по всему напитку. равномерно.) А именно,

${\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},$

учитывая начальное состояние $p(x,t={0}\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})$; где $x(t)$ - положение частицы в определенный момент времени, $x_{0}$ - начальное положение меченой частицы, а $D$ - константа диффузии в единицах СИ $m^{2}s^{-1}$ (косвенная мера скорости частицы). Черта в аргументе мгновенной вероятности относится к условной вероятности. Уравнение диффузии гласит, что скорость изменения во времени вероятности обнаружения частицы в точке $x(t)$ положение зависит от замедления на расстоянии такой вероятности в этом положении.

Можно показать, что одномерный PDF-файл

$p(x,t;x_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).$

Это означает, что вероятность найти частицу в $x(t)$ является гауссовским, а ширина гауссова зависит от времени. Точнее, полная ширина на половине максимума (FWHM) — технически это на самом деле полная длительность на половине максимума, поскольку независимой переменной является время — масштабируется как

${\rm {FWHM}}\sim {\sqrt {t}}.$

Используя PDF, можно получить среднее значение заданной функции, $L$, во время $t$:

$\langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)p(x,t)\,dx,$

где среднее значение берется по всему пространству (или любой применимой переменной).

Плотность времени первого прохождения (FPTD) — это вероятность того, что частица впервые достигла точки. $x_{c}$ в точное время $t$ (не в какой-то момент в течение интервала до $t$). Эта плотность вероятности рассчитывается на основе вероятности выживания (более распространенная вероятностная мера в статистике). Рассмотрим поглощающее граничное условие $p(x_{c},t)=0$ (Индекс c обозначает точку поглощения $x_{c}$ — это сокращение от слова «утёс», используемое во многих текстах как аналогия точке поглощения). PDF-файл, удовлетворяющий этому граничному условию, имеет вид

$p(x,t;x_{0},x_{c})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x-(2x_{c}-x_{0}))^{2}}{4Dt}}\right)\right),$

для $x<x_{c}$.Вероятность выживания, вероятность того, что частица осталась на определенном месте. $x<x_{c}$ на все времена до $t$, определяется

$S(t)\equiv \int _{-\infty }^{x_{c}}p(x,t;x_{0},x_{c})\,dx=\operatorname {erf} \left({\frac {x_{c}-x_{0}}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),$

где $\operatorname {erf}$ это функция ошибки . Связь между вероятностью выживания и FPTD следующая: вероятность того, что частица достигла точки поглощения между моментами $t$ и $t+dt$ является $f(t)\,dt=S(t)-S(t+dt)$. Если использовать приближение Тейлора первого порядка, определение FPTD будет следующим:

$f(t)=-{\frac {\partial S(t)}{\partial t}}.$

Используя уравнение диффузии и интегрирование, явный FPTD имеет вид

$f(t)\equiv {\frac {|x_{c}-x_{0}|}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).$

Таким образом, время первого прохождения броуновской частицы подчиняется распределению Леви .

Для $t\gg {\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4D}}$, из вышесказанного следует, что

$f(t)={\frac {\Delta x}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\sim t^{-3/2},$

где $\Delta x\equiv |x_{c}-x_{0}|$. Это уравнение утверждает, что вероятность того, что броуновская частица достигнет первого прохождения через некоторое время(определенное в абзаце выше) становится все более малым, но всегда конечным .

Первый момент FPTD расходится (поскольку это так называемое распределение с тяжелым хвостом ), поэтому невозможно вычислить среднее значение FPT, поэтому вместо этого можно рассчитать типичное время, время, когда FPTD находится на максимуме ( $\partial f/\partial t=0$), то есть,

$\tau _{\rm {ty}}={\frac {\Delta x^{2}}{6D}}.$

Первые приложения во многих семействах случайных процессов

Время первого попадания является центральной особенностью многих семейств случайных процессов, включая процессы Пуассона , процессы Винера , гамма-процессы и цепи Маркова , и это лишь некоторые из них. Состояние случайного процесса может отражать, например, прочность физической системы, здоровье человека или финансовое состояние коммерческой фирмы. Система, индивидуальная или фирма, терпит неудачу или сталкивается с какой-либо другой критической конечной точкой, когда процесс впервые достигает порогового состояния. Критическим событием может быть неблагоприятное событие (например, отказ оборудования, застойная сердечная недостаточность или рак легких) или положительное событие (например, выздоровление от болезни, выписка из больницы, рождение ребенка или возвращение на работу после травматического повреждения). Прошедшее время до того, как произойдет это критическое событие, обычно интерпретируется в общих чертах как «время выживания». В некоторых приложениях порог представляет собой набор нескольких состояний, поэтому учитывается конкурирующее время первого попадания для достижения первого порога в наборе, как в случае с рассмотрением конкурирующих причин отказа оборудования или смерти пациента.

Пороговая регрессия: регрессия времени первого попадания

Практическое применение теоретических моделей для определения времени первого попадания часто включает в себя структуры регрессии . Когда модели времени первого попадания оснащены структурами регрессии, включающими ковариатные данные, мы называем такую ​​структуру регрессии пороговой регрессией . Пороговое состояние, параметры процесса и даже масштаб времени могут зависеть от соответствующих ковариат. Пороговая регрессия применительно к данным о времени до события появилась с начала этого столетия и быстро росла, как описано в обзорной статье 2006 года. и его ссылки. Связи между моделями пороговой регрессии, полученными на основе времени первого попадания, и повсеместной моделью регрессии пропорциональных рисков Кокса. было расследовано в. Приложения пороговой регрессии варьируются во многих областях, включая физические и естественные науки, инженерное дело, социальные науки, экономику и бизнес, сельское хозяйство, здравоохранение и медицину.

Скрытый против наблюдаемого

Во многих реальных приложениях модель первого попадания (FHT) имеет три основных компонента: (1) родительский стохастический процесс $\{X(t)\}\,\,$, который может быть скрытым, (2) порогом (или барьером) и (3) шкалой времени . Время первого попадания определяется как время, когда случайный процесс впервые достигает порога. Очень важно различать, является ли путь выборки родительского процесса скрытым (т. е. ненаблюдаемым) или наблюдаемым, и такое различие является характеристикой модели FHT. Безусловно, наиболее распространены скрытые процессы. В качестве примера мы можем использовать процесс Винера. $\{X(t),t\geq 0\,\}\,$ как родительский случайный процесс. Такой винеровский процесс можно определить с помощью среднего параметра ${\mu }\,\,$, параметр дисперсии ${\sigma ^{2}}\,\,$, и начальное значение $X(0)=x_{0}>0\,$.

Оперативная или аналитическая шкала времени

Временной шкалой стохастического процесса может быть календарное или часовое время, или какая-то более оперативная мера хода времени, такая как пробег автомобиля, накопленный износ компонентов машины или совокупное воздействие токсичных паров. Во многих приложениях стохастический процесс, описывающий состояние системы, является скрытым или ненаблюдаемым, и его свойства должны быть выведены косвенно из подвергнутых цензуре данных о времени до события и/или показаний, снятых с течением времени в коррелирующих процессах, таких как процессы-маркеры. Слово «регрессия» в пороговой регрессии относится к моделям первого попадания, в которых в модель вставляются одна или несколько структур регрессии, чтобы связать параметры модели с объясняющими переменными или ковариатами. Параметры структур регрессии могут быть параметрами стохастического процесса, порогового состояния и/или самой шкалы времени.

См. также

• Анализ выживания
• Модели пропорциональных рисков

Ссылки

• Уитмор, Джорджия (1986). «Модели времени первого прохождения для структур регрессии данных о продолжительности и конкурирующих рисков». Статистик . 35 (2): 207–219. дои : 10.2307/2987525 . JSTOR   2987525 .
• Уитмор, Джорджия (1995). «Оценка деградации в результате процесса диффузии Винера с учетом ошибки измерения». Анализ данных за весь срок службы . 1 (3): 307–319. дои : 10.1007/BF00985762 . ПМИД   9385107 . S2CID   28077957 .
• Уитмор, Джорджия; Краудер, MJ; Лоулесс, Дж. Ф. (1998). «Вывод об отказе на основе маркерного процесса на основе двумерной модели Винера». Анализ данных за весь срок службы . 4 (3): 229–251. дои : 10.1023/А:1009617814586 . ПМИД   9787604 . S2CID   43301120 .
• Реднер, С. (2001). Руководство по процессам первого прохождения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-65248-0 .
• Ли, M.-LT; Уитмор, Джорджия (2006). «Пороговая регрессия для анализа выживания: моделирование времени событий с помощью стохастического процесса». Статистическая наука . 21 (4): 501–513. arXiv : 0708.0346 . дои : 10.1214/088342306000000330 . S2CID   88518120 .
• Башелье, Л. (1900). «Теория спекуляции» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 3 (17): 21–86. дои : 10.24033/asens.476 .
• Шредингер, Э. (1915). «К теории падения и подъема частиц с броуновским движением». Физический журнал . 16 :289-295.
• Смолуховский, М.В. (1915). «Заметка о расчете броуновского движения в экспериментальной установке Эренхафта-Милликана». Физический журнал . 16 :318-321.
• Лундберг, Ф. (1903). Приближенное представление функции правдоподобия, перестрахование коллективных рисков . Альмквист и Викселл, Уппсала.
• Твиди, MCK (1945). «Обратные статистические переменные» . Природа . 155 (3937): 453. Бибкод : 1945Natur.155..453T . дои : 10.1038/155453a0 .
• Твиди, MCK (1957). «Статистические свойства обратных распределений Гаусса – I» . Анналы математической статистики . 28 (2): 362–377. дои : 10.1214/aoms/1177706964 .
• Твиди, MCK (1957). «Статистические свойства обратных распределений Гаусса – II» . Анналы математической статистики . 28 (3): 696–705. дои : 10.1214/aoms/1177706881 .
• Уитмор, Джорджия; Нойфельдт, AH (1970). «Применение статистических моделей в исследованиях психического здоровья». Бык. Математика. Биофиз . 32 (4): 563–579. дои : 10.1007/BF02476771 . ПМИД   5513393 .
• Ланкастер, Т. (1972). «Стохастическая модель продолжительности забастовки». Дж. Рой. Статист. Соц. Сер. А. ​ 135 (2): 257–271. дои : 10.2307/2344321 . JSTOR   2344321 .
• Кокс, доктор медицинских наук (1972). «Регрессионные модели и таблицы смертности (с обсуждением)». JR Stat Soc Ser B. 187 : 187–230.
• Ли, M.-LT; Уитмор, Джорджия (2010). «Пороговые пропорциональные риски и пороговая регрессия: их теоретическая и практическая связь» . Анализ данных за весь срок службы . 16 (2): 196–214. дои : 10.1007/s10985-009-9138-0 . ПМК   6447409 . ПМИД   19960249 .
• Аарон, SD; Рамзи, Т.; Вандемхин, К.; Уитмор, Джорджия (2010). «Модель пороговой регрессии для рецидивирующих обострений хронической обструктивной болезни легких». Журнал клинической эпидемиологии . 63 (12): 1324–1331. дои : 10.1016/j.jclinepi.2010.05.007 . ПМИД   20800447 .
• Чамбаз, А.; Шудат, Д.; Хубер, К.; Пайрон, Дж.; Ван дер Ланн, MJ (2014). «Анализ профессионального воздействия асбеста на основе порогового регрессионного моделирования данных случай-контроль» . Биостатистика . 15 (2): 327–340. doi : 10.1093/biostatistics/kxt042 . ПМИД   24115271 .
• Аарон, SD; Стивенсон, Алабама; Кэмерон, Д.В.; Уитмор, Джорджия (2015). «Статистическая модель для прогнозирования годового риска смерти у пациентов с муковисцидозом». Журнал клинической эпидемиологии . 68 (11): 1336–1345. дои : 10.1016/j.jclinepi.2014.12.010 . ПМИД   25655532 .
• Он, Х.; Уитмор, Джорджия; Лоо, ГЯ; Хохберг, MC; Ли, М.-LT (2015). «Модель времени до перелома с наложением ударной струи на прогрессирующую деградацию: исследование остеопоротических переломов» . Статистика в медицине . 34 (4): 652–663. дои : 10.1002/сим.6356 . ПМЦ   4314426 . ПМИД   25376757 .
• Хоу, В.-Х.; Чуанг, Х.-Ю.; Ли, М.-LT (2016). «Модель пороговой регрессии для прогнозирования возвращения на работу после травмы конечности». Рана . 47 (2): 483–489. doi : 10.1016/j.injury.2015.11.032 . ПМИД   26746983 .