разорение игрока

В статистике в разорением игрока является тот факт, что игрок, играющий в игру с отрицательным ожидаемым значением, итоге обанкротится конечном , независимо от его системы ставок.

Первоначально была сформулирована концепция: настойчивый игрок, который повышает свою ставку до фиксированной доли банкролла игрока после выигрыша, но не уменьшает ее после проигрыша, в конечном итоге и неизбежно разорится, даже если каждая ставка имеет положительное математическое ожидание. . ^{[ 1 ]}

Другая формулировка концепции заключается в том, что настойчивый игрок с ограниченным богатством, ведущий честную игру (то есть каждая ставка имеет математическое ожидание, равное нулю для обеих сторон), в конечном итоге неизбежно разорится против противника с бесконечным богатством. Такую ситуацию можно смоделировать случайным блужданием по прямой вещественной линии. В этом контексте вполне вероятно, что игрок с виртуальной уверенностью вернется в свою исходную точку, что означает разорение, и разорится бесконечное количество раз, если случайное блуждание будет продолжаться вечно. Это следствие общей теоремы Христиана Гюйгенса , которая также известна как разорение игрока. Эта теорема показывает, как вычислить вероятность того, что каждый игрок выиграет серию ставок, которая продолжается до тех пор, пока вся первоначальная ставка не будет проиграна, учитывая начальные ставки двух игроков и постоянную вероятность выигрыша. Это старейшая математическая идея, получившая название «крушение игрока», но не первая идея, к которой было применено это название. Общее использование этого термина сегодня является еще одним следствием результата Гюйгенса.

Эта концепция имеет особое значение для игроков. Однако это также приводит к математическим теоремам с широким применением и многим связанным с ними результатам в области вероятности и статистики . Результат Гюйгенса, в частности, привел к важным достижениям в математической теории вероятностей.

История

Самое раннее известное упоминание о проблеме разорения игрока — это письмо Блеза Паскаля Пьеру Ферма в 1656 году (через два года после более известной переписки по проблеме очков ). ^{[ 2 ]} Версия Паскаля была резюмирована в письме Пьера де Каркави Гюйгенсу в 1656 году:

Пусть двое игроков играют тремя кубиками: первый игрок получает очко всякий раз, когда выбрасывается 11, а второй — всякий раз, когда выбрасывается 14. Но вместо очков, накапливаемых обычным способом, пусть к счету игрока прибавляется очко только в том случае, если счет его противника равен нулю, а в противном случае пусть оно вычитается из счета его противника. Это как если бы противоположные точки образовывали пары и уничтожали друг друга, так что у идущего за ним игрока всегда было ноль очков. Победителем становится тот, кто первым наберет двенадцать очков; каковы относительные шансы на победу каждого игрока? ^{[ 3 ]}

Гюйгенс переформулировал проблему и опубликовал ее в книге «Deatiociniis in ludo aleae» («О рассуждениях в азартных играх», 1657 г.):

Задача (2-1) Каждый игрок начинает с 12 очками, и успешный бросок трех кубиков для игрока (получение 11 для первого игрока или 14 для второго) добавляет один к счету этого игрока и вычитает один из очков. счет другого игрока; проигравший в игре первым набирает ноль очков. Какова вероятность победы каждого игрока? ^{[ 4 ]}

Это классическая формулировка разорения игрока: два игрока начинают с фиксированных ставок, переводя очки до тех пор, пока один или другой не «разрушится», дойдя до нуля очков. Однако термин «крушение игрока» стал применяться лишь много лет спустя. ^{[ 5 ]}

Проблема разорения игрока часто применяется к игрокам с ограниченным капиталом, играющим против букмекерской конторы или казино, которые, как предполагается, имеют «бесконечный» или гораздо больший объем доступного капитала. Затем можно доказать, что вероятность окончательного разорения игрока стремится к 1 даже в сценарии, где игра честная ( мартингейл ). ^{[ 6 ]}

Причины четырех результатов

Позволять $d$ — это сумма денег, которую игрок имеет в своем распоряжении в любой момент, и пусть $N$ быть любым положительным целым числом. Предположим, что он повышает свою ставку до ${\frac {d}{N}}$ когда он выигрывает, но не уменьшает свою ставку, когда проигрывает (такая общая закономерность нередка среди настоящих игроков). При такой схеме ставок для его банкротства потребуется не более N проигрышных ставок подряд. Если его вероятность выиграть каждую ставку меньше 1 (если она равна 1, то он не игрок), он практически наверняка в конечном итоге проиграет N ставок подряд, каким бы большим N ни было. Ему не обязательно следовать точному правилу, достаточно просто увеличивать свою ставку достаточно быстро по мере того, как он выигрывает. Это верно, даже если ожидаемая стоимость каждой ставки положительна.

Игрок, ведущий честную игру (с вероятностью ${\frac {1}{2}}$ победы) в конечном итоге либо разорится, либо удвоит свое богатство. По симметрии он имеет ${\frac {1}{2}}$ шанс разориться, прежде чем удвоить свои деньги. Если он удвоит свои деньги, он повторит этот процесс и снова получит ${\frac {1}{2}}$ шанс удвоить свои деньги, прежде чем разориться. После второго процесса у него есть $\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}$ есть шанс, что он еще не разорился. Продолжая в том же духе, его шанс не разориться после $n$ процессы $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$ , который приближается $0$ , и его шанс разориться после $n$ последовательные процессы $\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}$ который приближается $1$ .

Результат Гюйгенса проиллюстрирован в следующем разделе.

Окончательная судьба игрока в игре с отрицательным математическим ожиданием не может быть лучше, чем у игрока в честной игре, поэтому он тоже разорится.

Пример результата Гюйгенса

Честный подбрасывание монеты

Рассмотрим игру с подбрасыванием монеты с участием двух игроков, в которой каждый игрок имеет 50% шанс на победу при каждом подбрасывании монеты. После каждого подбрасывания монеты проигравший передает победителю одну копейку. Игра заканчивается, когда у одного игрока есть все монеты.

Если нет других ограничений на количество переворотов, вероятность того, что игра в конечном итоге закончится таким образом, равна 1. (Один из способов убедиться в этом заключается в следующем. Любая заданная конечная цепочка орлов и решек в конечном итоге будет перевернута с уверенностью: вероятность не увидеть эту цепочку, хотя поначалу и высока, затем убывает экспоненциально. В частности, игроки в конечном итоге будут выбрасывать цепочку орлов до тех пор, пока общее количество монет в игре не будет, и к этому времени игра уже должна закончиться.)

Если у первого игрока n ₁ пенни, а у второго игрока n ₂ пенни, вероятности P ₁ и P ₂ того, что первый и второй игроки соответственно останутся без гроша, равны:

${\begin{aligned}P_{1}&={\frac {n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\\[5pt]P_{2}&={\frac {n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}\end{aligned}}$

Два примера: у одного игрока больше монет, чем у другого; и если у обоих игроков одинаковое количество монет. В первом случае скажем, первый игрок $(P_{1})$ у него 8 монет и второй игрок ( $P_{2}$ ) если бы у него было 5 пенсов, то вероятность каждого проигрыша равна:

${\begin{aligned}P_{1}&={\frac {5}{8+5}}={\frac {5}{13}}=0.3846{\text{ or }}38.46\%\\[6pt]P_{2}&={\frac {8}{8+5}}={\frac {8}{13}}=0.6154{\text{ or }}61.54\%\end{aligned}}$

Отсюда следует, что даже при равных шансах на победу игрок, который начинает с меньшим количеством монет, с большей вероятностью потерпит неудачу.

Во втором случае, когда у обоих игроков одинаковое количество монет (в данном случае 6), вероятность проигрыша каждого равна:

${\begin{aligned}P_{1}&={\frac {6}{6+6}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}=0.5\\[5pt]P_{2}&={\frac {6}{6+6}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}=0.5\end{aligned}}$

Нечестный подбрасывание монеты

В случае нечестной монеты, когда первый игрок выигрывает каждый бросок с вероятностью p, а второй игрок выигрывает с вероятностью q = 1 - p , тогда вероятность того, что каждый бросок закончится без гроша, равна:

${\begin{aligned}P_{1}&={\frac {1-({\frac {p}{q}})^{n_{2}}}{1-({\frac {p}{q}})^{n_{1}+n_{2}}}}\\[5pt]P_{2}&={\frac {1-({\frac {q}{p}})^{n_{1}}}{1-({\frac {q}{p}})^{n_{1}+n_{2}}}}\end{aligned}}$

Аргументом является то, что ожидаемое время попадания конечно, и поэтому в случае мартингейла связывается значение $\left({\frac {q}{p}}\right)^{l}$ с каждым состоянием так, чтобы ожидаемое значение состояния было постоянным, это решение системы уравнений:

${\begin{aligned}P_{1}+P_{2}&=1\\[5pt]\left({\frac {q}{p}}\right)^{n_{1}}&=P_{1}+P_{2}\left({\frac {q}{p}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\end{aligned}}$

Альтернативно это можно показать следующим образом: рассмотрим вероятность того, что игрок 1 потерпит крах игрока, начав с $n>1$ сумма денег, $P(R_{n})$ . Тогда, используя закон полной вероятности, имеем

$P(R_{n})=P(R_{n}\mid W)P(W)+P(R_{n}\mid {\bar {W}})P({\bar {W}}),$

где W обозначает событие, когда игрок 1 выиграет первую ставку. Тогда ясно $P(W)=p$ и $P({\bar {W}})=1-p=q$ . Также $P(R_{n}\mid W)$ - вероятность того, что игрок 1 потерпит крах игрока, начав с $n+1$ сумма денег: $P(R_{n+1})$ ; и $P(R_{n}\mid {\bar {W}})$ - вероятность того, что игрок 1 потерпит крах игрока, начав с $n-1$ сумма денег: $P(R_{n-1})$ .

Обозначая $q_{n}=P(R_{n})$ , получаем линейное однородное рекуррентное соотношение

$q_{n}=q_{n+1}p+q_{n-1}q,$

которую мы можем решить, используя тот факт, что $q_{0}=1$ (т.е. вероятность разорения игрока при условии, что игрок 1 начинает игру без денег, равна 1), и $q_{n_{1}+n_{2}}=0$ (т.е. вероятность разорения игрока при условии, что игрок 1 начинает со всеми деньгами, равна 0.) Более подробное описание метода см., например, в Feller (1970), «Введение в теорию вероятностей и ее приложения» , 3-е изд.

N -игроков Проблема с разрушением

Описанная выше задача (2 игрока) является частным случаем так называемой проблемы разорения N-игроков. ^{[ 7 ]} Здесь $N\geq 2$ игроки с начальным капиталом $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ долларов, соответственно, играют в последовательность (произвольных) независимых игр и выигрывают и проигрывают определенные суммы долларов друг от друга в соответствии с установленными правилами. Последовательность игр заканчивается, как только разоряется хотя бы один игрок. Для решения этой более общей проблемы в принципе можно применить стандартные методы цепей Маркова , но вычисления быстро становятся непосильными, как только число игроков или их начальные капиталы увеличиваются. Для $N=2$ и большие начальные капиталы $x_{1},x_{2}$ решение можно хорошо аппроксимировать, используя двумерное броуновское движение . (Для $N\geq 3$ это невозможно.) На практике истинная проблема состоит в том, чтобы найти решение для типичных случаев $N\geq 3$ и ограниченный первоначальный капитал. Свон (2006) предложил алгоритм, основанный на матрично-аналитических методах (алгоритм фолдинга для задач разорения), который значительно снижает порядок вычислительной задачи в таких случаях.

См. также

Примечания

^ Кулидж, Дж. Л. (1909). «Гибель игрока» . Анналы математики . 10 (4): 181–192. дои : 10.2307/1967408 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1967408 .
^ Дэвид, Флоренс Найтингейл (1998). Игры, боги и азартные игры: история вероятности и статистических идей . Публикации Courier Dover. ISBN 978-0486400235 .
^ Эдвардс, JWF (апрель 1983 г.). «Проблема Паскаля: «Крушение игрока» ». Международный статистический журнал . 51 (1): 73–79. дои : 10.2307/1402732 . JSTOR 1402732 .
^ Ян Галлберг , Математика от рождения чисел, WW Norton & Company; ISBN 978-0-393-04002-9
^ Кей, WD (апрель 1979 г.). «Проблема истощения разорения игрока». Журнал «Математика» . 52 : 22–25. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976744 .
^ «12.2: Крах игрока» . Статистика LibreTexts . 25 июня 2018 г. Проверено 28 октября 2023 г.
^ Роча, Эми Л.; Стерн, Фредерик (1 августа 1999 г.). «Проблема разорения игрока при n игроках и асимметричной игре» . Статистика и вероятностные буквы . 44 (1): 87–95. дои : 10.1016/S0167-7152(98)00295-8 . ISSN 0167-7152 .

Ссылки

Р., Эпштейн (1995). Теория азартных игр и статистическая логика (пересмотренная ред.). Академическая пресса.

Фергюсон Т.С. Разорение игроков в трех измерениях . Неопубликованная рукопись: https://www.math.ucla.edu/~tom/
М., Крайчик (1942). «§6.20: Крах игрока». Математический отдых . Нью-Йорк: WW Нортон. п. 140.

Обувьсмит, Э. (1986). «Решение Гюйгенса проблемы разорения игрока». История математики . 13 (2): 157–164. дои : 10.1016/0315-0860(86)90028-5 .

Стиглер, Стивен М. (1990). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года . Белнап Пресс. ISBN 978-0-674-40341-3 .

Лебедь, Ив К.; Брюсс, Ф. Томас (2006). «Матрично-аналитический подход к проблеме разорения N-игроков» . Журнал прикладной вероятности . 4 (3): 755–766. дои : 10.1017/S0021900200002084 .

Внешние ссылки

Иллюстрация разорения игрока
Крах игрока на MathPages
Моделирование разорения игрока в демонстрационном проекте Wolfram

[1] Кулидж, Дж. Л. (1909). «Гибель игрока» . Анналы математики . 10 (4): 181–192. дои : 10.2307/1967408 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1967408 .

[2] Дэвид, Флоренс Найтингейл (1998). Игры, боги и азартные игры: история вероятности и статистических идей . Публикации Courier Dover. ISBN 978-0486400235 .

[3] Эдвардс, JWF (апрель 1983 г.). «Проблема Паскаля: «Крушение игрока» ». Международный статистический журнал . 51 (1): 73–79. дои : 10.2307/1402732 . JSTOR 1402732 .

[4] Ян Галлберг , Математика от рождения чисел, WW Norton & Company; ISBN 978-0-393-04002-9

[5] Кей, WD (апрель 1979 г.). «Проблема истощения разорения игрока». Журнал «Математика» . 52 : 22–25. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976744 .

[6] «12.2: Крах игрока» . Статистика LibreTexts . 25 июня 2018 г. Проверено 28 октября 2023 г.

[7] Роча, Эми Л.; Стерн, Фредерик (1 августа 1999 г.). «Проблема разорения игрока при n игроках и асимметричной игре» . Статистика и вероятностные буквы . 44 (1): 87–95. дои : 10.1016/S0167-7152(98)00295-8 . ISSN 0167-7152 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]