Уравнение Линдли

В теории вероятностей уравнение Линдли , рекурсия Линдли или процесс Линдли. представляет собой случайный процесс с дискретным временем A _n , где n принимает целые значения и:

А _{n + 1} = max(0, A _n + B _n ).

Процессы этой формы можно использовать для описания времени ожидания клиентов в очереди или изменения длины очереди с течением времени. Идея была впервые предложена в ходе дискуссии, последовавшей за статьей Кендалла 1951 года.

Время ожидания

В Денниса Линдли на эту тему первой статье уравнение используется для описания времени ожидания клиентов в очереди по принципу «первым пришел — первым обслужен» (FIFO).

W _{n + 1} = max(0, W _n + U _n )

где

• T _n — время между n -м и ( n +1)-м прибытиями,
• Sn _– время обслуживания n- го требования, а
• U _п = S _п - Т _п
• W _n — время ожидания n- го клиента.

Первому клиенту не нужно ждать, поэтому W ₁ = 0. Последующим клиентам придется ждать, если они прибудут до того, как будет обслужен предыдущий клиент.

Длина очереди

Эволюцию процесса длины очереди можно также записать в виде уравнения Линдли.

Интегральное уравнение

Интегральное уравнение Линдли — это соотношение, которому удовлетворяет стационарное распределение времени ожидания F( x ) в очереди G/G/1 .

$F(x)=\int _{0^{-}}^{\infty }K(x-y)F({\text{d}}y)\quad x\geq 0$

Где K( x ) — функция распределения случайной величины, обозначающая разницу между прибытием ( k - 1)-го клиента и временем между прибытиями ( k - 1)-го и k -го клиентов. метод Винера – Хопфа . Для решения этого выражения можно использовать