Ито изометрия

В математике изометрия Ито , названная в честь Киёси Ито , является важнейшим фактом о стохастических интегралах Ито . Одним из его основных приложений является возможность вычисления дисперсий случайных величин, которые задаются как интегралы Ито.

Позволять $W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ обозначают канонический действительный винеровский процесс, определенный с точностью до времени $T>0$, и пусть $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ быть случайным процессом , адаптированным к естественной фильтрации ${\mathcal {F}}_{*}^{W}$ Винеровского процесса. Затем

$\operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right],$

где $\operatorname {E}$ обозначает математическое ожидание относительно классической меры Винера .

Другими словами, интеграл Ито как функция из пространства $L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )$ квадратично интегрируемых процессов адаптированных к пространству $L^{2}(\Omega )$ случайных величин, интегрируемых с квадратом, представляет собой изометрию нормированных векторных пространств относительно норм, индуцированных скалярными произведениями

${\begin{aligned}(X,Y)_{L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}&:=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{T}X_{t}\,Y_{t}\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}$

и

$(A,B)_{L^{2}(\Omega )}:=\operatorname {E} (AB).$

Как следствие, интеграл Ито учитывает и эти внутренние продукты, т. е. мы можем написать

$\operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\left(\int _{0}^{T}Y_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}Y_{t}\,\mathrm {d} t\right]$

для $X,Y\in L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )$ .

Ссылки

• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Шпрингер, Берлин. ISBN  3-540-04758-1 .