Электромагнитный тензор

Объяснение и значения индексных обозначений в этой статье см. в разделе « Обозначение Эйнштейна и антисимметричный тензор» .

«Напряженность электромагнитного поля» перенаправляется сюда. Не путать с напряженностью электрического поля или напряженностью магнитного поля .

В электромагнетизме электромагнитный тензор или тензор электромагнитного поля (иногда называемый тензором напряженности поля , тензором Фарадея или бивектором Максвелла ) — математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени. четырёхмерную тензорную формулировку специальной теории относительности представил Тензор поля был впервые использован после того, как Герман Минковский . Тензор позволяет кратко записывать соответствующие физические законы и позволяет квантовать электромагнитное поле с помощью лагранжевой формулировки, описанной ниже .

Определение

Электромагнитный тензор, условно обозначаемый , определяется как внешняя производная электромагнитного четырехпотенциала A F , дифференциальной 1-формы:

$F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$

Следовательно, F является дифференциальной 2-формой — антисимметричным тензорным полем ранга 2 — в пространстве Минковского. В компонентной форме

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.$

где $\partial$ четырехградиентный ​ и $A$ есть четырехпотенциал .

единицы СИ для уравнений Максвелла и соглашение физиков элементарных частиц для сигнатуры пространства Минковского (+ - - -) В этой статье будут использоваться .

Связь с классическими полями

Фарадея Дифференциальная 2-форма имеет вид

$F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,$

где $dt$ элемент времени, умноженный на скорость света $c$.

Это внешняя производная от его первообразной 1-формы.

$A=A_{x}\ dx+A_{y}\ dy+A_{z}\ dz-(\phi /c)\ dt$,

где $\phi ({\vec {x}},t)$ имеет $-{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}$ ( $\phi$ представляет собой скалярный потенциал для безвихревого/консервативного векторного поля. ${\vec {E}}$) и ${\vec {A}}({\vec {x}},t)$ имеет ${\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}$ ( ${\vec {A}}$ представляет собой векторный потенциал для соленоидального векторного поля ${\vec {B}}$).

Обратите внимание, что

${\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}$

где $d$ — внешняя производная, ${\star }$ это звезда Ходжа , $J=-J_{x}\ dx-J_{y}\ dy-J_{z}\ dz+\rho \ dt$ (где ${\vec {J}}$ – плотность электрического тока , а $\rho$ — плотность электрического заряда ) — 4-плотность тока 1-форма — версия уравнений Максвелла в дифференциальных формах.

Электрическое магнитное и поля можно получить из компонент электромагнитного тензора. Простейшая связь в декартовых координатах :

$E_{i}=cF_{0i},$

где c — скорость света, а

$B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},$

где $\epsilon _{ijk}$ – тензор Леви-Чивита . Это дает поля в определенной системе отсчета; если система отсчета изменится, компоненты электромагнитного тензора преобразуются ковариантно , и поля в новой системе отсчета будут заданы новыми компонентами.

В контравариантной матричной форме с метрической сигнатурой (+,-,-,-),

$F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.$

Ковариантная форма задается понижением индекса ,

$F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.$

тензора Фарадея Двойник Ходжа равен

${G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}$

С этого момента в этой статье, когда упоминаются электрические или магнитные поля, предполагается декартова система координат, а электрические и магнитные поля относятся к системе координат системы координат, как в приведенных выше уравнениях.

Характеристики

Матричная форма тензора поля обладает следующими свойствами:

1. Антисимметрия : $$F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$$
2. Шесть независимых компонентов: компонента электрического поля ( Ex _, Ey _Bz , _Ez ) и магнитного поля ( Bx _, By _, в декартовых координатах это просто три _{пространственных} ).
3. Внутренний продукт: если сформировать внутренний продукт тензора напряженности поля, инвариант Лоренца. образуется $$F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-2\left({\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}\right)$$ это означает, что это число не меняется от одной системы отсчета к другой.
4. Псевдоскалярный инвариант: произведение тензора $F^{\mu \nu }$ с его двойником Ходжа $G^{\mu \nu }$ дает инвариант Лоренца : $$G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,$$ где $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }$ 4-го ранга — символ Леви-Чивита . Знак вышеизложенного зависит от условного обозначения, используемого для символа Леви-Чивита. Здесь используется соглашение $\epsilon _{0123}=-1$.
5. Определитель : $$\det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}$$ что пропорционально квадрату указанного выше инварианта.
6. След : $$F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0$$ который равен нулю.

Значение

Этот тензор упрощает и сводит уравнения Максвелла как четыре уравнения векторного исчисления к двум уравнениям тензорного поля. В электростатике и электродинамике и закон Гаусса закон цепи Ампера соответственно:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J}$

и сведем к неоднородному уравнению Максвелла:

$\partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }$, где $J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )$ является четырехтоковым .

В магнитостатике и магнитодинамике закон Гаусса для магнетизма и уравнение Максвелла – Фарадея соответственно:

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}$

которые сводятся к тождеству Бьянки :

$\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0$

или используя индексное обозначение с квадратными скобками ^{[примечание 1]} для антисимметричной части тензора:

$\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0$

Используя выражение, связывающее тензор Фарадея с четырехпотенциалом, можно доказать, что указанная выше антисимметричная величина тождественно обращается в ноль ( $\equiv 0$). Значение этого тождества имеет далеко идущие последствия: это означает, что теория электромагнитного поля не оставляет места магнитным монополям и таковым токам.

относительность

Основная статья: Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Тензор поля получил свое название от того факта, что электромагнитное поле подчиняется закону тензорного преобразования ; это общее свойство физических законов было признано после появления специальной теории относительности . Эта теория предусматривала, что все законы физики должны принимать одинаковую форму во всех системах координат — это привело к введению тензоров . Тензорный формализм также приводит к математически более простому представлению физических законов.

Неоднородное уравнение Максвелла приводит к уравнению неразрывности :

$\partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0$

подразумевающее сохранение заряда .

Приведенные выше законы Максвелла можно обобщить на искривленное пространство-время , просто заменив частные производные производными ковариантными :

$F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0$ и $F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }$

где точка с запятой представляет собой ковариантную производную, а не частную производную. Эти уравнения иногда называют уравнениями Максвелла искривленного пространства . Опять же, второе уравнение подразумевает сохранение заряда (в искривленном пространстве-времени):

$J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0$

Лагранжева формулировка классического электромагнетизма

Смотрите также: Классическая теория поля

Классический электромагнетизм и уравнения Максвелла можно вывести из действия : $${\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,$$где $\mathrm {d} ^{4}x$ находится над пространством и временем.

Это означает, что лагранжева плотность равна

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}$

Два средних члена в скобках одинаковы, как и два внешних члена, поэтому плотность Лагранжа равна

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.$

Подставив это в уравнение движения Эйлера – Лагранжа для поля:

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0$

Таким образом, уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид:

$-\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,$

Величина в скобках выше — это всего лишь тензор поля, поэтому в конечном итоге это упрощается до

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }$

Это уравнение представляет собой еще один способ записи двух неоднородных уравнений Максвелла (а именно, закона Гаусса и закона цепи Ампера ) с использованием замен:

${\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}$

где i, j, k принимают значения 1, 2 и 3.

гамильтонова форма

Плотность гамильтониана можно получить по обычному соотношению:

${\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}$.

Квантовая электродинамика и теория поля

Основные статьи: Квантовая электродинамика и квантовая теория поля

Лагранжиан выходит за рамки классического лагранжиана, установленного в теории относительности , квантовой электродинамики и включает в себя рождение и уничтожение фотонов (и электронов):

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },$

где первая часть в правой части, содержащая спинор Дирака $\psi$, представляет поле Дирака . В квантовой теории поля он используется в качестве шаблона для тензора напряженности калибровочного поля. Будучи использованным в дополнение к лагранжиану локального взаимодействия, он повторяет свою обычную роль в КЭД.

См. также

• Классификация электромагнитных полей
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Тензор электромагнитного напряжения-энергии
• Тензор напряженности глюонного поля
• Фигурное исчисление
• Вектор Римана – Зильберштейна

Примечания

1. ^ По определению,

   $T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})$

   Итак, если

   $\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0$

   затем

   ${\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}$

Ссылки

• Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-514665-4 .
• Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика . Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN  0-471-30932-Х .
• Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Издательство Персей. ISBN  0-201-50397-2 .