Квантование электромагнитного поля

Квантование электромагнитного поля Максвелла — это процедура в физике, превращающая классические электромагнитные волны в частицы, называемые фотонами . Фотоны — это безмассовые частицы определенной энергии , определенного импульса и определенного спина .

Чтобы объяснить фотоэлектрический эффект , Альберт Эйнштейн в 1905 году эвристически предположил, что электромагнитное поле состоит из частиц с энергией hν , где h — постоянная Планка , а ν волны — частота . В 1927 году Полю А.М. Дираку удалось вплести концепцию фотона в ткань новой квантовой механики и описать взаимодействие фотонов с материей. Он применил технику, которую сейчас обычно называют вторым квантованием . хотя этот термин в некоторой степени неправильно употребляется для обозначения электромагнитных полей, поскольку они являются решениями классических уравнений Максвелла. В теории Дирака поля впервые квантованы, а также впервые в выражения входит постоянная Планка. В своей оригинальной работе Дирак взял фазы различных электромагнитных мод ( фурье-компоненты поля) и энергии мод как динамические переменные для квантования (т.е. он переосмыслил их как операторы и постулировал коммутационные отношения между ними). В настоящее время более распространено квантование фурье-компонент векторного потенциала . Это то, что сделано ниже.

Квантово-механическое состояние фотона $|\mathbf {k} ,\mu \rangle$ принадлежность к режиму $(\mathbf {k} ,\mu )$ представлен ниже и показано, что он обладает следующими свойствами:

${\begin{aligned}m_{\textrm {photon}}&=0\\H|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=h\nu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&{\hbox{with}}\quad \nu =c|\mathbf {k} |\\P_{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle \\S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\mu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&\mu =\pm 1.\end{aligned}}$

Эти уравнения говорят соответственно: фотон имеет нулевую массу покоя; энергия фотона равна hν = hc | к | ( k — волновой вектор , c — скорость света); его электромагнитный момент равен ħ k [ ħ = h /(2 π )]; поляризация µ = ±1 является собственным значением z -компоненты спина фотона.

Второе квантование

Второе квантование начинается с разложения скалярного или векторного поля (или волновых функций) в базисе, состоящем из полного набора функций. Эти функции расширения зависят от координат отдельной частицы. Коэффициенты при базисных функциях интерпретируются как операторы и между этими новыми операторами накладываются (анти)коммутационные соотношения, коммутационные соотношения для бозонов и антикоммутационные соотношения для фермионов (с самими базисными функциями ничего не происходит). При этом расширенное поле преобразуется в фермионное или бозонное операторное поле. Коэффициенты разложения были повышены из обычных чисел до операторов, операторов создания и уничтожения . Оператор создания создает частицу в соответствующей базисной функции, а оператор уничтожения уничтожает частицу в этой функции.

В случае ЭМ полей требуемым разложением поля является разложение Фурье.

Электромагнитное поле и векторный потенциал

Как следует из этого термина, ЭМ поле состоит из двух векторных полей: электрического поля $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ и магнитное поле $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)$. зависящими от времени Оба являются векторными полями, , которые в вакууме зависят от третьего векторного поля. $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$ (векторный потенциал), а также скалярное поле $\phi (\mathbf {r} ,t)$

${\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}},\\\end{aligned}}$

где ∇ × A — ротор A ​ .

Выбор кулоновской калибровки , для которой ∇ ⋅ A = 0, превращает A в поперечное поле . Разложение Фурье векторного потенциала, заключенного в конечный кубический ящик объемом V = L ³ тогда

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left(\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right),$

где ${\overline {a}}$ обозначает комплексно-сопряженное число $a$. Волновой вектор k задает направление распространения соответствующей компоненты Фурье (поляризованной монохроматической волны) A ( r , t ); длина волнового вектора равна

$|\mathbf {k} |={\frac {2\pi \nu }{c}}={\frac {\omega }{c}},$

где ν - частота моды. В этом суммировании k пробегает все целые числа, как положительные, так и отрицательные. (Компонента базиса Фурье $e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$ является комплексно-сопряженным компонентом $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$ как $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$ веществен.) Компоненты вектора k имеют дискретные значения (следствие граничного условия, согласно которому A имеет одинаковое значение на противоположных стенках ящика):

$k_{x}={\frac {2\pi n_{x}}{L}},\quad k_{y}={\frac {2\pi n_{y}}{L}},\quad k_{z}={\frac {2\pi n_{z}}{L}},\qquad n_{x},n_{y},n_{z}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .$

Два е ^{( м )} («векторы поляризации») — это обычные единичные векторы для электромагнитных волн с левой и правой круговой поляризацией (LCP и RCP) (см. исчисление Джонса или вектор Джонса, исчисление Джонса ) и перпендикулярные k . Они связаны с ортонормированными декартовыми векторами y _{унитарного} посредством ex и e _{преобразования} :

$\mathbf {e} ^{(\pm 1)}\equiv {\frac {\mp 1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y})\qquad {\hbox{with}}\quad \mathbf {e} _{x}\cdot \mathbf {k} =\mathbf {e} _{y}\cdot \mathbf {k} =0.$

k - я компонента Фурье A является вектором, перпендикулярным k и, следовательно, представляет собой линейную комбинацию e ⁽¹⁾ и е ⁽⁻¹⁾ . Верхний индекс μ указывает на компонент вдоль e ^{( м )} .

Очевидно, (дискретное бесконечное) множество коэффициентов Фурье $a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)$ и ${\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)$ являются переменными, определяющими векторный потенциал. В дальнейшем они будут повышены до операторов.

Используя уравнения поля $\mathbf {B}$ и $\mathbf {E}$ с точки зрения $\mathbf {A}$ выше, электрические и магнитные поля

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }{\sum _{\mu =\pm 1}\omega {\left({\mathbf {e} ^{(\mu )}}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}-{{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right)}}\\[6pt]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left\{\left(\mathbf {k} \times {{\mathbf {e} }^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right\}\end{aligned}}$

Используя личность $\nabla \times e^{A\cdot r}=A\times e^{A\cdot r}$ ( $A$ и $r$ являются векторами) и $a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)=a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}{{e}^{-iwt}}$ поскольку каждая мода имеет одну частотную зависимость.

Квантование ЭМ поля

Самый известный пример квантования — замена зависящего от времени линейного импульса частицы по правилу

$\mathbf {p} (t)\to -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.$

Обратите внимание, что здесь вводится постоянная Планка и что зависимость классического выражения от времени не учитывается в квантово-механическом операторе (это верно в так называемой картине Шредингера ).

Для ЭМ поля мы делаем нечто подобное. Количество $\epsilon _{0}$ — электрическая постоянная , которая появляется здесь из-за использования электромагнитных единиц СИ . Правила квантования :

${\begin{aligned}a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\\end{aligned}}$

подчиняется коммутационным соотношениям бозонов

${\begin{aligned}\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),a^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}\delta _{\mu ,\mu '}\end{aligned}}$

Квадратные скобки обозначают коммутатор, определяемый формулой $[A,B]\equiv AB-BA$ для любых двух квантовомеханических A и B. операторов Введение постоянной Планка необходимо при переходе от классической теории к квантовой. Фактор

${\sqrt {\frac {1}{2\omega V\epsilon _{0}}}}$

вводится для придания гамильтониану (оператору энергии) простой формы, см. ниже.

Квантованные поля (поля оператора) следующие:

${\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\left(\mathbf {k} \times \mathbf {e} ^{(\mu )}\right)a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}\right){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\end{aligned}}$

где ω знак равно с | к | = ск .

Гамильтониан поля

Классический гамильтониан имеет вид

$H={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\iiint _{V}{\left({{\left|E(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}+{{c}^{2}}{{\left|B(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}\right)}{{\text{d}}^{3}}\mathbf {r} =V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\omega ^{2}\left({\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).$

Правую часть легко получить, если сначала использовать

$\int _{V}e^{ik\cdot r}e^{-ik'\cdot r}dr=V\delta _{k,k'}$

(может быть получено из уравнения Эйлера и тригонометрической ортогональности), где k — волновое число для волны, заключенной в пределах поля V = L × L × L, как описано выше, и, во-вторых, с использованием ω = kc .

Подстановка операторов поля в классический гамильтониан дает оператор Гамильтона ЭМ поля:

$H={\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {k} ,\mu =\pm 1}\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)$

Второе равенство следует из третьего из приведенных выше коммутационных соотношений бозонов с k ′ = k и µ ′ = µ . Еще раз отметим, что ħω = hν = ħc | к | и помните, что ω зависит от k , хотя в обозначениях это не указано явно. Обозначение ω ( k ) могло быть введено, но оно не является общепринятым, поскольку оно загромождает уравнения.

Отступление: гармонический осциллятор

Второе квантование одномерного квантового гармонического осциллятора — хорошо известная тема в курсах квантовой механики. Отвлекемся и скажем несколько слов об этом. Гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид

$H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\tfrac {1}{2}}\right)$

где ω ≡ 2 πν — основная частота генератора. Основное состояние генератора обозначается $|0\rangle$; и называется «состоянием вакуума». Можно показать, что $a^{\dagger }$ является оператором возбуждения, он переводит из n- кратного возбужденного состояния в n +1-кратное возбужденное состояние:

$a^{\dagger }|n\rangle =|n+1\rangle {\sqrt {n+1}}.$

В частности: $a^{\dagger }|0\rangle =|1\rangle$ и $(a^{\dagger })^{n}|0\rangle \propto |n\rangle .$

Поскольку энергии гармонических осцилляторов эквидистантны, n -кратное возбужденное состояние $|n\rangle$; можно рассматривать как единое состояние, содержащее n частиц (иногда называемых вибронами) с энергией hν . Эти частицы являются бозонами. По понятной причине оператор возбуждения $a^{\dagger }$ называется оператором создания .

Из коммутационного соотношения следует, что эрмитово сопряженное $a$ снимает возбуждение: $a|n\rangle =|n-1\rangle {\sqrt {n}}$ в частности $a|0\rangle \propto 0,$ так что $a|0\rangle =0.$ По понятной причине оператор девозбуждения $a$ называется оператором уничтожения .

Методом математической индукции легко доказывается следующее «правило дифференцирования», которое понадобится позже:

$\left[a,(a^{\dagger })^{n}\right]=n(a^{\dagger })^{n-1}\qquad {\hbox{with}}\quad \left(a^{\dagger }\right)^{0}=1.$

Предположим теперь, что у нас есть несколько невзаимодействующих (независимых) одномерных гармонических осцилляторов, каждый со своей основной частотой ω _i . Поскольку осцилляторы независимы, гамильтониан представляет собой простую сумму:

$H=\sum _{i}\hbar \omega _{i}\left(a^{\dagger }(i)a(i)+{\tfrac {1}{2}}\right).$

Подставив $(\mathbf {k} ,\mu )$ для $i$ мы видим, что гамильтониан ЭМ поля можно рассматривать как гамильтониан независимых осцилляторов с энергией ω = | к | c, колеблющийся в направлении e ^{( м )} с ц = ±1.

Состояния числа фотонов (состояния Фока)

Квантованное ЭМ поле имеет вакуумное (без фотонов) состояние. $|0\rangle$. Применение его, скажем,

$\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)^{m}\left({a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right)^{n}|0\rangle \propto \left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,$

дает квантовое состояние m фотонов в режиме ( k , µ ) и n фотонов в режиме ( k ′, µ ′). Символ пропорциональности используется потому, что состояние слева не нормализовано к единице, тогда как состояние справа может быть нормализовано.

Оператор

$N^{(\mu )}(\mathbf {k} )\equiv {a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )$

является числовым оператором . Воздействуя на квантовомеханическое состояние числа фотонов, оно возвращает количество фотонов в режиме ( k , μ ). Это также справедливо, когда количество фотонов в этом режиме равно нулю, тогда числовой оператор возвращает ноль. Чтобы показать действие числового оператора на однофотонный кет, рассмотрим

${\begin{aligned}N^{(\mu )}(\mathbf {k} )|\mathbf {k} ',\mu '\rangle &={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )|0\rangle \\&={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left(\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}+{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)|0\rangle \\&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}|\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\end{aligned}}$

т. е. числовой оператор режима ( k , μ ) возвращает ноль, если режим незанят, и возвращает единицу, если режим занят один. Чтобы рассмотреть действие числового оператора моды ( k , µ ) на n -фотонный кет той же моды, опустим индексы k и µ и рассмотрим

$N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =a^{\dagger }\left([a,(a^{\dagger })^{n}]+(a^{\dagger })^{n}a\right)|0\rangle =a^{\dagger }[a,(a^{\dagger })^{n}]|0\rangle .$

Используйте введенное ранее «правило дифференциации», и из него следует, что

$N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =n(a^{\dagger })^{n}|0\rangle .$

Состояние числа фотонов (или состояние Фока) является собственным состоянием числового оператора. Вот почему описанный здесь формализм часто называют представлением числа заполнения .

Фотонная энергия

Ранее гамильтониан,

$H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)$

был представлен. Ноль энергии можно сместить, что приводит к выражению через числовой оператор:

$H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega N^{(\mu )}(\mathbf {k} )$

Влияние H на однофотонное состояние равно

$H|\mathbf {k} ,\mu \rangle \equiv H\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\sum _{\mathbf {k'} ,\mu '}\hbar \omega 'N^{(\mu ')}(\mathbf {k} '){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle =\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \omega |\mathbf {k} ,\mu \rangle .$

Таким образом, однофотонное состояние является состоянием собственным H , а ħω = hν — соответствующая энергия. Таким же образом

$H\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle =\left[m(\hbar \omega )+n(\hbar \omega ')\right]\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,\qquad {\text{with}}\quad \omega =c|\mathbf {k} |\quad {\hbox{and}}\quad \omega '=c|\mathbf {k} '|.$

Импульс фотона

Приведя разложение Фурье электромагнитного поля к классическому виду

$\mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\epsilon _{0}\iiint _{V}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t){\textrm {d}}^{3}\mathbf {r} ,$

урожайность

$\mathbf {P} _{\textrm {EM}}=V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =1,-1}\omega \mathbf {k} \left(a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).$

Квантование дает

$\mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} N^{(\mu )}(\mathbf {k} ).$

что при суммировании по разрешенному k k Член 1/2 можно было бы опустить, потому сокращается с помощью − k . Влияние P _EM на однофотонное состояние равно

$\mathbf {P} _{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mathbf {P} _{\textrm {EM}}\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle .$

По-видимому, однофотонное состояние является собственным состоянием оператора импульса, а ħ k — собственное значение (импульс одиночного фотона).

Масса фотона

Фотон, имеющий ненулевой линейный импульс, можно представить, что он имеет ненулевую массу покоя m ₀ , которая является его массой при нулевой скорости. Однако сейчас мы покажем, что это не так: m ₀ = 0.

Поскольку фотон распространяется со скоростью света , специальная теория относительности необходима . Релятивистские выражения для квадратов энергии и импульса:

$E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad p^{2}={\frac {m_{0}^{2}v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}.$

Из п ² / Э ² ,

${\frac {v^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}p^{2}}{E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-c^{2}p^{2}/E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}.$

Использовать

$E^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}\qquad {\text{and}}\qquad p^{2}=\hbar ^{2}k^{2}={\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}$

и отсюда следует, что

$m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}-c^{2}{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}=0,$

так что m ₀ = 0.

Спин фотона

Фотону можно приписать триплетный спин со спиновым квантовым числом S = 1. Это похоже, скажем, на спин ядерный ¹⁴ N изотоп , но с той важной разницей, что состояние с MS _только с MS _{состояния} = 0 равно нулю, ненулевыми являются = ±1.

Определите операторы вращения:

$S_{z}\equiv -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.$

Два оператора $\otimes$ между двумя ортогональными единичными векторами являются двоичные произведения . Орты перпендикулярны направлению распространения k (направлению оси z , которая является осью спинового квантования).

Операторы спина удовлетворяют обычным углового момента коммутационным соотношениям

$[S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.$

Действительно, используйте свойство диадического произведения

$\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)=\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {e} _{z}\right)=\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}$

потому что e _z имеет единичную длину. Таким образом,

${\begin{aligned}\left[S_{x},S_{y}\right]&=-\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\\&=\hbar ^{2}\left[-\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\right]\\&=i\hbar \left[-i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\right]\\&=i\hbar S_{z}\end{aligned}}$

При осмотре следует, что

$-i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\cdot \mathbf {e} ^{(\mu )}=\mu \hbar \mathbf {e} ^{(\mu )},\qquad \mu =\pm 1,$

и, следовательно, µ обозначает спин фотона,

$S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mu \hbar |\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\quad \mu =\pm 1.$

Поскольку векторный потенциал A представляет собой поперечное поле, фотон не имеет прямой (μ = 0) спиновой компоненты.

Классическое приближение

Классическое приближение ЭМ-излучения хорошо, когда число фотонов в объёме много больше единицы. ${\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}},$ где λ — длина радиоволн. В этом случае квантовые флуктуации пренебрежимо малы.

Например, фотоны, излучаемые радиостанцией, вещающей на частоте ν = 100 МГц, имеют энергосодержание νh = (1 × 10 ⁸ ) × (6.6 × 10 ⁻³⁴ ) = 6.6 × 10 ⁻²⁶ J, где h — постоянная Планка . Длина волны станции λ = c / ν = 3 м, так что λ /(2 π ) = 48 см и объём 0,109 м. ³ . Энергосодержание этого элемента объема на расстоянии 5 км от станции составляет 2,1 × 10 ⁻¹⁰ × 0.109 = 2.3 × 10 ⁻¹¹ Дж, что составляет 3,4 × 10 ¹⁴ фотонов на ${\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}}.$ Поскольку 3,4 × 10 ¹⁴ > 1 квантовые эффекты не играют роли. Волны, излучаемые этой станцией, хорошо описываются классическим пределом и квантовая механика не нужна.

См. также

• Это пылесосит
• Обобщенный вектор поляризации произвольных спиновых полей .

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium « Квантование электромагнитного поля », которая доступна под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не под лицензией GFDL .