Фермионное поле

В квантовой теории поля фермионное поле — это квантовое поле которого , квантами являются фермионы ; то есть они подчиняются статистике Ферми – Дирака . Фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям, а не каноническим коммутационным соотношениям бозонных полей .

Наиболее ярким примером фермионного поля является поле Дирака, которое описывает фермионы со спином -1/2: электроны , протоны , кварки и т. д. Поле Дирака можно описать либо как 4-компонентный спинор , либо как пару 2-компонентных спиноров. -компонентные спиноры Вейля. со спином 1/2 Майорановские фермионы , такие как гипотетическое нейтралино , могут быть описаны либо как зависимый 4-компонентный спинор Майорана , либо как одиночный 2-компонентный спинор Вейля. Неизвестно, является ли нейтрино майорановским фермионом или фермионом Дирака ; экспериментальное наблюдение безнейтринного двойного бета-распада позволило бы решить этот вопрос.

Основные свойства

Свободные (невзаимодействующие) фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям ; т. е. использовать антикоммутаторы { a , b } = ab + ba , а не коммутаторы [ a , b ] = ab − ba бозонной или стандартной квантовой механики. Эти соотношения также справедливы для взаимодействующих фермионных полей в картине взаимодействия , где поля развиваются во времени, как если бы они были свободными, а эффекты взаимодействия закодированы в эволюции состояний.

Именно из этих антикоммутационных соотношений следует статистика Ферми–Дирака для квантов поля. Они также приводят к принципу запрета Паули : две фермионные частицы не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Поля Дирака

Ярким примером фермионного поля со спином 1/2 является поле Дирака (названное в честь Поля Дирака ) и обозначаемое $\psi (x)$. Уравнением движения частицы со свободным спином 1/2 является уравнение Дирака :

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,$

где $\gamma ^{\mu }$ являются гамма-матрицами и $m$ это масса. Самые простые возможные решения $\psi (x)$ этому уравнению являются решениями в виде плоских волн, $u(p)e^{-ip\cdot x}\,$ и $v(p)e^{ip\cdot x}\,$. Эти плоские волновые решения составляют основу для компонент Фурье $\psi (x)$, учитывая общее разложение волновой функции следующим образом:

$\psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,$

u и v — спиноры, обозначенные спином, s и спинорными индексами. $\alpha \in \{0,1,2,3\}$. Для электрона, частицы со спином 1/2, s = +1/2 или s = -1/2. Энергетический фактор является результатом наличия лоренц-инвариантной меры интегрирования. При втором квантовании $\psi (x)$ преобразуется в оператор, поэтому коэффициенты его мод Фурье тоже должны быть операторами. Следовательно, $a_{\mathbf {p} }^{s}$ и $b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ являются операторами. Свойства этих операторов можно узнать из свойств поля. $\psi (x)$ и $\psi (y)^{\dagger }$ подчиняются антикоммутационным соотношениям:

$\left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.$

Мы налагаем антикоммутационное соотношение (в отличие от коммутационного соотношения , как мы это делаем для бозонного поля ), чтобы сделать операторы совместимыми со статистикой Ферми – Дирака . Вставив расширения для $\psi (x)$ и $\psi (y)$, можно вычислить антикоммутационные соотношения для коэффициентов.

$\left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,$

Подобно нерелятивистским операторам уничтожения и рождения и их коммутаторам, эти алгебры приводят к физической интерпретации, которая $a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ создает фермион с импульсом p и спином s, и $b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }$ создает антифермион с импульсом q и спином r . Общее поле $\psi (x)$ теперь рассматривается как взвешенное (по энергетическому фактору) суммирование по всем возможным спинам и импульсам для создания фермионов и антифермионов. Его сопряженное поле, ${\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$, является противоположностью, взвешенным суммированием по всем возможным спинам и импульсам для аннигиляции фермионов и антифермионов.

Поняв моды поля и определив сопряженное поле, можно построить лоренц-инвариантные величины для фермионных полей. Самое простое — это количество ${\overline {\psi }}\psi \,$. Это обуславливает выбор ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$прозрачный. Это связано с тем, что общее преобразование Лоренца $\psi$ не унитарна, поэтому количество $\psi ^{\dagger }\psi$ не будет инвариантным относительно таких преобразований, поэтому включение $\gamma ^{0}\,$ это исправить. Другая возможная ненулевая лоренц-инвариантная величина с точностью до полного сопряжения, которую можно построить из фермионных полей, равна ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$.

Поскольку линейные комбинации этих величин также являются лоренц-инвариантными, это естественным образом приводит к плотности лагранжиана поля Дирака из-за требования, чтобы уравнение Эйлера – Лагранжа системы восстанавливало уравнение Дирака.

${\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,$

В таком выражении индексы подавлены. При повторном введении полного выражения будет

${\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,$

Плотность гамильтониана с ( энергии ) также можно построить, сначала определив импульс, канонически сопряженный $\psi (x)$, называется $\Pi (x):$

$\Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.$

С этим определением $\Pi$, плотность гамильтониана равна:

${\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,$

где ${\vec {\nabla }}$ - стандартный градиент пространственноподобных координат, а ${\vec {\gamma }}$ является вектором пространственного типа $\gamma$ матрицы. Удивительно, что плотность гамильтониана не зависит от производной по времени $\psi$, прямо, но выражение правильное.

Учитывая выражение для $\psi (x)$ Фейнмана мы можем построить пропагатор для фермионного поля:

$D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle$

мы определяем упорядоченное по времени произведение для фермионов со знаком минус из-за их антикоммутирующей природы

$T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).$

Подстановка нашего разложения по плоским волнам для фермионного поля в приведенное выше уравнение дает:

$D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}$

где мы использовали косую черту Фейнмана . Этот результат имеет смысл, поскольку фактор

${\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}$

является обратным оператору, действующему на $\psi (x)$ в уравнении Дирака. Обратите внимание, что таким же свойством обладает пропагатор Фейнмана для поля Клейна–Гордона. Поскольку все разумные наблюдаемые (такие как энергия, заряд, число частиц и т. д.) состоят из четного числа фермионных полей, коммутационное соотношение между любыми двумя наблюдаемыми в точках пространства-времени за пределами светового конуса исчезает. Как мы знаем из элементарной квантовой механики, две одновременно коммутирующие наблюдаемые могут быть измерены одновременно. Таким образом, мы правильно реализовали лоренц-инвариантность для поля Дирака и сохранили причинность .

Более сложные теории поля, включающие взаимодействия (такие как теория Юкавы или квантовая электродинамика ), также можно анализировать с помощью различных пертурбативных и непертурбативных методов.

Поля Дирака являются важным компонентом Стандартной модели .

См. также

• Уравнение Дирака
• Теорема о спин-статистике
• Спинор
• Составное поле
• Вспомогательное поле

Ссылки

• Эдвардс, Д. (1981). «Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, часть I: решеточные теории поля». Межд. Дж. Теория. Физ . 20 (7): 503–517. Бибкод : 1981IJTP...20..503E . дои : 10.1007/BF00669437 . S2CID   120108219 .
• Пескин М. и Шредер Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля , Westview Press. (См. стр. 35–63.)
• Средницкий, Марк (2007). Квантовая теория поля. Архивировано 25 июля 2011 г. в Wayback Machine , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-86449-7 .
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей , (3 тома) Издательство Кембриджского университета.