Символ Леви-Чивита

В математике , особенно в линейной алгебре , тензорном анализе и дифференциальной геометрии , символ Леви-Чивита или эпсилон Леви-Чивита представляет собой набор чисел; определяется знаком перестановки натуральных чисел $1, 2, ..., n$ для некоторого положительного целого числа $n$ . Назван в честь итальянского математика и физика Туллио Леви-Чивита . Другие названия включают перестановки символ , антисимметричный символ или альтернативный символ , которые относятся к его антисимметричному свойству и определению в терминах перестановок.

Стандартными буквами для обозначения символа Леви-Чивита являются греческие строчные буквы эпсилон $ε$ или $ϵ$ или, реже, латинские строчные буквы $e$ . Обозначение индекса позволяет отображать перестановки способом, совместимым с тензорным анализом: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ где каждый индекс $i 1, i 2, ..., принимает in$ значения $1, 2, ..., n$ . Есть $н н$ индексированные значения $ε i 1 i 2 ... i n$ , которые можно упорядочить в $n$ -мерный массив. Ключевое определяющее свойство символа — полная антисимметрия индексов. Когда любые два индекса меняются местами, равны они или нет, символ инвертируется: $\varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }.$

Если любые два индекса равны, символ равен нулю. Когда все индексы неравны, мы имеем: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\dots n},$ где $p$ (называемая четностью перестановки) — количество попарных перестановок индексов, необходимых для расшифровки $i 1, i 2, ..., in n$ в порядок $1, 2, ..., n$ , и множитель $( -1) п$ называется знаком или сигнатурой перестановки. Значение $ε 1 2 ... n$ должно быть определено, иначе конкретные значения символа для всех перестановок будут неопределенными. Большинство авторов выбирают $ε 1 2 ... n = +1$ , что означает, что символ Леви-Чивита равен знаку перестановки, когда все индексы неравны. Этот выбор используется на протяжении всей статьи.

Термин « $n$ -мерный символ Леви-Чивита» относится к тому факту, что количество индексов символа $n$ соответствует размерности евклидовым или рассматриваемого векторного пространства, которое может быть неевклидовым , например , $\mathbb {R} ^{3}$ или пространство Минковского . Значения символа Леви-Чивита не зависят от какого-либо метрического тензора и системы координат . Кроме того, специальный термин «символ» подчеркивает, что это не тензор из-за того, как он преобразуется между системами координат; однако ее можно интерпретировать как тензорную плотность .

Символ Леви-Чивита позволяет выразить определитель квадратной матрицы и векторное произведение двух векторов в трехмерном евклидовом пространстве в обозначениях индекса Эйнштейна .

Определение

Символ Леви-Чивита чаще всего используется в трёх и четырёх измерениях и в некоторой степени в двух измерениях, поэтому они приводятся здесь перед определением общего случая.

Два измерения

В двух измерениях символ Леви-Чивита определяется: $\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{if }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j\end{cases}}$ Значения можно сгруппировать в антисимметричную матрицу 2 × 2 : ${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Использование двумерного символа распространено в конденсированной среде, а также в некоторых специализированных темах, связанных с высокими энергиями, таких как суперсимметрия. ^[1] и твисторная теория , ^[2] где оно появляется в контексте 2- спиноров .

Три измерения

В трех измерениях символ Леви-Чивита определяется: ^[3] $\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ or }}(3,1,2),\\-1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ or }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j,{\text{ or }}j=k,{\text{ or }}k=i\end{cases}}$

То есть $ε ijk$ равен $1,$ если $(i, j, k)$ является перестановкой четной $(1, 2, 3)$ , $-1$ , если это нечетная перестановка , и 0, если какой-либо индекс повторяется. Только в трех измерениях все циклические перестановки ( $1, 2, 3)$ являются четными перестановками, аналогично все антициклические перестановки являются нечетными перестановками. Это означает, что в 3d достаточно взять циклические или антициклические перестановки $(1, 2, 3)$ и легко получить все четные или нечетные перестановки.

Аналогично двумерным матрицам значения трехмерного символа Леви-Чивита можно упорядочить в массив 3×3×3 :

где $я$ - глубина ( синий : $я = 1$ ; красный : $я = 2$ ; зеленый : $i = 3$ ), $j$ — строка, $k$ — столбец.

Несколько примеров: ${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}$

Четыре измерения

В четырех измерениях символ Леви-Чивита определяется: $\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Эти значения можно упорядочить в массив 4×4×4×4 , хотя в 4 измерениях и выше это сложно нарисовать.

Несколько примеров: ${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}$

Обобщение до n измерений

В более общем смысле, в $n$ измерениях символ Леви-Чивита определяется следующим образом: ^[4] $\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Таким образом, это знак перестановки в случае перестановки и ноль в противном случае.

Используя обозначение пи с заглавной буквы $Π$ для обычного умножения чисел, явное выражение для символа будет следующим: ^{[ нужна ссылка ]} ${\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}$ где функция Signum (обозначенная $sgn$ ) возвращает знак своего аргумента, отбрасывая при этом абсолютное значение, если оно не равно нулю. Формула действительна для всех значений индекса и для любого $n$ (когда $n = 0$ или $n = 1$ , это пустое произведение ). Однако простое вычисление приведенной выше формулы имеет временную сложность O $(n 2)$ , тогда как знак можно вычислить по четности перестановки из ее непересекающихся циклов всего за $O(n log(n))$ стоимость.

Характеристики

Тензор, компоненты которого в ортонормированном базисе задаются символом Леви-Чивита (тензор ковариантного ранга $n$ ), иногда называют тензором перестановок .

Согласно обычным правилам преобразования тензоров, символ Леви-Чивита не изменяется при чистом вращении, что согласуется с тем, что он (по определению) один и тот же во всех системах координат, связанных ортогональными преобразованиями. Однако символ Леви-Чивита является псевдотензором , поскольку при ортогональном преобразовании −1 определителя Якобиана , например, при отражении в нечетном числе измерений, он должен был бы приобрести знак минус, если бы был тензором. Поскольку он вообще не меняется, символ Леви-Чивита по определению является псевдотензором.

Поскольку символ Леви-Чивита является псевдотензором, результатом векторного произведения является псевдовектор , а не вектор. ^[5]

При общем изменении координат компоненты тензора перестановки умножаются на якобиан преобразования матрицы . Это означает, что в системах координат, отличных от той, в которой был определен тензор, его компоненты могут отличаться от компонентов символа Леви-Чивита в общий коэффициент. Если кадр ортонормирован, коэффициент будет составлять ±1 в зависимости от того, одинакова ли ориентация кадра или нет. ^[5]

В безиндексной тензорной записи символ Леви-Чивита заменяется понятием двойственности Ходжа . ^{[ нужна ссылка ]}

Символы суммирования можно исключить, используя нотацию Эйнштейна , где индекс, повторяющийся между двумя или более членами, указывает на суммирование по этому индексу. Например,

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}

.

В следующих примерах используются обозначения Эйнштейна.

Два измерения

В двух измерениях, когда все $i, j, m, n$ принимают значения 1 и 2: ^[3]

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}

( 1 )

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}

( 2 )

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.

( 3 )

Три измерения

Значения индексов и символов

В трех измерениях, когда все $i, j, k, m, n$ принимают значения 1, 2 и 3: ^[3]

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{pqk}=\delta _{i}{}^{p}\delta _{j}{}^{q}-\delta _{i}{}^{q}\delta _{j}{}^{p}

( 4 )

\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}

( 5 )

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.

( 6 )

Продукт

Символ Леви-Чивита связан с дельтой Кронекера . В трех измерениях связь задается следующими уравнениями (вертикальные линии обозначают определитель): ^[4]

{\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}

Особый случай этого результата возникает, когда один из индексов повторяется и суммируется:

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

В обозначениях Эйнштейна дублирование индекса $i$ подразумевает сумму по $i$ . Предыдущее тогда обозначается $ε ijk ε imn = δ jm δ kn - δ jn δ km$ .

Если два индекса повторяются (и суммируются), это дополнительно сводится к:

\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}

n измерений

Значения индексов и символов

В $n$ измерениях, когда все $i 1, ..., in, ..., j 1, j n$ принимают значения $1, 2, ..., n$ : ^{[ нужна ссылка ]}

\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}

( 7 )

\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\ldots i_{k}~i_{k+1}\ldots i_{n}}^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\ldots j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}

( 8 )

\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!

( 9 )

где восклицательный знак ( $!$ ) обозначает факториал , а $δ а ... β ...$ — обобщенная дельта Кронекера . Для любого $n$ свойство

\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!

следует из фактов, что

каждая перестановка либо четная, либо нечетная,
$(+1) 2 = (-1) 2 = 1$ и
количество перестановок любого $из n$ набора $элементов равно ровно n!$ .

Частный случай ( 8 ) с ${\textstyle k=n-2}$ является $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-2}jk}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n-2}lm}=(n-2)!(\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{j}^{m}\delta _{l}^{k})\,.$

Продукт

В общем, для $n$ измерений произведение двух символов Леви-Чивита можно записать как: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.$ Доказательство: обе стороны меняют знаки при переключении двух индексов, поэтому без ограничения общности предположим, что $i_{1}\leq \cdots \leq i_{n},j_{1}\leq \cdots \leq j_{n}$ . Если некоторые $i_{c}=i_{c+1}$ тогда левая часть равна нулю, и правая сторона также равна нулю, поскольку две его строки равны. Аналогично для $j_{c}=j_{c+1}$ . Наконец, если $i_{1}<\cdots <i_{n},j_{1}<\cdots <j_{n}$ , то обе стороны равны 1.

Доказательства

Для ( 1 ) обе части антисимметричны относительно $ij$ и $mn$ . Поэтому нам нужно рассмотреть только случай $i \neq j$ и $m \neq n$ . Подстановкой видим, что уравнение справедливо для $ε 12 ε 12$ , то есть для $i = m = 1$ и $j = n = 2$ . (Обе стороны тогда едины). Поскольку уравнение антисимметрично относительно $ij$ и $mn$ , любой набор их значений можно свести к описанному выше случаю (который справедлив). Таким образом, уравнение справедливо для всех значений $ij$ и $mn$ .

Используя ( 1 ), мы имеем для ( 2 )

\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.

Здесь мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании , где $i$ переходит от 1 к 2. Далее, ( 3 ) аналогично следует из ( 2 ).

Чтобы установить ( 5 ), обратите внимание, что обе части обращаются в нуль, когда $i \neq j$ . Действительно, если $i \neq j$ , то нельзя выбрать $m$ и $n$ так, чтобы оба символа перестановки слева были ненулевыми. Тогда при $фиксированном i = j$ есть только два способа выбрать $m$ и $n$ из оставшихся двух индексов. Для любых таких индексов имеем

\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1

(без суммирования), и результат следует.

Тогда ( 6 ) следует, поскольку 3! = 6 и для любых различных индексов $i, j, k,$ принимающих значения 1, 2, 3 , имеем

\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1

(без суммирования, разные

i, j, k

)

Приложения и примеры

Детерминанты

В линейной алгебре определитель 3 × 3 квадратной матрицы $A = [a ij]$ можно записать ^[6]

\det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}

Аналогично определитель $размера n \times n$ матрицы $A = [a ij]$ можно записать как ^[5]

\det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},

где каждый $i r$ должен быть суммирован по $1,..., n$ или эквивалентно:

\det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},

где теперь каждый $i r$ и каждый $j r$ должны быть суммированы по $1,..., n$ . В более общем смысле мы имеем тождество ^[5]

\sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}

Векторное векторное произведение

Перекрестное произведение (два вектора)

Позволять $(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )$ положительно ориентированный ортонормированный базис векторного пространства. Если $(а 1, а 2, а 3)$ и $(б 1, б 2, б 3)$ — координаты векторов a $и$ b $в$ этом базисе, то их векторное произведение можно записать как определитель: ^[5]

\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}

следовательно, также используется символ Леви-Чивита, и проще:

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

В обозначениях Эйнштейна символы суммирования могут быть опущены, а $i$ -я компонента их векторного произведения равна ^[4]

(\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.

Первый компонент – это

(\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,

тогда циклическими перестановками 1, 2, 3 остальные можно получить сразу, без явного вычисления их по приведенным выше формулам:

{\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}

Тройное скалярное произведение (три вектора)

Из приведенного выше выражения для векторного произведения имеем:

\mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a}

.

Если $с = (с 1, с 2, с 3)$ — третий вектор, то тройное скалярное произведение равно

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.

Из этого выражения видно, что тройное скалярное произведение антисимметрично при обмене любой пары аргументов. Например,

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )

.

Curl (одно векторное поле)

Если $F = (F 1, Ф 2, Ф 3)$ — векторное поле, определенное на некотором открытом множестве $\mathbb {R} ^{3}$ как функция положения x $(= x 1, х 2, х 3)$ (с использованием декартовых координат ). Тогда $i$ компонента ротора F $- я$ равна ^[4]

(\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),

что следует из приведенного выше выражения векторного произведения, заменяющего компоненты градиента вектора оператора (набла).

Тензорная плотность

В любой произвольной криволинейной системе координат и даже при отсутствии метрики на многообразии символ Леви-Чивита, определенный выше, можно рассматривать как тензорное поле плотности двумя разными способами. Его можно рассматривать как контравариантную тензорную плотность веса +1 или как ковариантную тензорную плотность веса -1. В n измерениях с использованием обобщенной дельты Кронекера, ^[7]^[8]

{\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}

Обратите внимание, что они численно идентичны. В частности, знак тот же.

Тензоры Леви-Чивита

На псевдоримановом многообразии можно определить координатно-инвариантное ковариантное тензорное поле, координатное представление которого согласуется с символом Леви-Чивита везде, где система координат такова, что базис касательного пространства ортонормирован относительно метрики и соответствует выбранная ориентация. Этот тензор не следует путать с упомянутым выше тензором поля плотности. Презентация в этом разделе во многом повторяет Carroll 2004 .

Ковариантный тензор Леви-Чивита (также известный как риманова форма объема ) в любой системе координат, соответствующей выбранной ориентации, равен

E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,

где $g ab$ — представление метрики в этой системе координат. Мы можем аналогичным образом рассмотреть контравариантный тензор Леви-Чивита, подняв индексы с помощью метрики, как обычно:

E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}}\,,

но заметьте, что если метрическая сигнатура содержит нечетное число отрицательных собственных значений $q$ , то знаки компонентов этого тензора отличаются от стандартного символа Леви-Чивита: ^[9]

E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}},

где $sn(det[g ab]) = (-1) д$ , $\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}$ мы использовали определение метрического определителя — это обычный символ Леви-Чивита, обсуждаемый в оставшейся части этой статьи, и при выводе . Более явно, когда ориентация тензора и базиса выбрана так, что ${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ , у нас это есть $E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$ .

Из этого мы можем сделать вывод о тождестве,

E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,

где

\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }

– обобщенная дельта Кронекера.

Пример: пространство Минковского.

В пространстве Минковского (четырехмерное пространство-время специальной теории относительности ) ковариантный тензор Леви-Чивиты равен

E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,

где знак зависит от ориентации базиса. Контравариантный тензор Леви-Чивита есть

E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.

Ниже приведены примеры общего тождества, приведенного выше, специализированного для пространства Минковского (с отрицательным знаком, возникающим из-за нечетного числа отрицаний в сигнатуре метрического тензора в любом соглашении о знаках):

{\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-2\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}

См. также

Примечания

^ Лабелль, П. (2010). Суперсимметрия . Демистифицировано. МакГроу-Хилл. стр. 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4 .
^ Хадрович, Ф. «Твисторный грунт» . Проверено 3 сентября 2013 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Тилдесли, младший (1973). Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников . Лонгман. ISBN 0-582-44355-5 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. МакГроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3 .
^ Липшуц, С.; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра . Очерки Шаума (4-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1 .
^ Мурнаган, Ф.Д. (1925), «Обобщенный символ Кронекера и его применение к теории определителей», Amer. Математика. Ежемесячно , 32 (5): 233–241, номер номера : 10.2307/2299191 , JSTOR 2299191.
^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Публикации Courier Dover. п. 113. ИСБН 0-486-65840-6 .
^ Накахара, Микио (31 января 2017 г.). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. дои : 10.1201/9781315275826 . ISBN 978-1-315-27582-6 .

Ссылки

Миснер, К.; Торн, К.С.; Уилер, Дж. А. (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0 .
Нойеншвандер, Д.Э. (2015). Тензорное исчисление по физике . Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 11, 29, 95. ISBN. 978-1-4214-1565-9 .
Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия , Аддисон-Уэсли, ISBN 0-8053-8732-3

Внешние ссылки

В эту статью включен материал из символа перестановки Леви-Чивита на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Вайсштейн, Эрик В. «Тензор перестановок» . Математический мир .

[1] Лабелль, П. (2010). Суперсимметрия . Демистифицировано. МакГроу-Хилл. стр. 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4 .

[2] Хадрович, Ф. «Твисторный грунт» . Проверено 3 сентября 2013 г.

[Tyldesley-3] Jump up to: ^а ^б ^с Тилдесли, младший (1973). Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников . Лонгман. ISBN 0-582-44355-5 .

[Kay-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. МакГроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6 .

[Riley_et_al-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3 .

[6] Липшуц, С.; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра . Очерки Шаума (4-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1 .

[7] Мурнаган, Ф.Д. (1925), «Обобщенный символ Кронекера и его применение к теории определителей», Amer. Математика. Ежемесячно , 32 (5): 233–241, номер номера : 10.2307/2299191 , JSTOR 2299191.

[8] Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Публикации Courier Dover. п. 113. ИСБН 0-486-65840-6 .

[9] Накахара, Микио (31 января 2017 г.). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. дои : 10.1201/9781315275826 . ISBN 978-1-315-27582-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]