Искривленное пространство

Искривленное пространство часто относится к пространственной геометрии , которая не является «плоской», где плоское пространство имеет нулевую кривизну , как описано в евклидовой геометрии . Искривленные пространства обычно можно описать с помощью римановой геометрии , хотя некоторые простые случаи можно описать и другими способами. Искривленные пространства играют важную роль в общей теории относительности , где гравитацию часто представляют как искривленное пространство. Метрика Фридмана -Леметра-Робертсона-Уокера представляет собой изогнутую метрику, которая в настоящее время формирует основу для описания расширения пространства и формы Вселенной . Тот факт, что у фотонов нет массы, но они искажаются гравитацией, означает, что объяснение должно быть чем-то помимо фотонной массы. Следовательно, существует убеждение, что большие тела искривляют пространство, и поэтому свет, путешествуя по искривленному пространству, будет казаться подверженным гравитации. Это не так, но оно подвержено искривлению пространства.

Простой двумерный пример

Очень знакомый пример искривленного пространства — поверхность сферы. Хотя с нашей привычной точки зрения сфера выглядит трехмерной, если объект вынужден лежать на поверхности, он имеет только два измерения , в которых он может двигаться. Поверхность сферы можно полностью описать двумя измерениями, поскольку независимо от того, какой бы грубой ни казалась поверхность, это все равно всего лишь поверхность, которая является двумерной внешней границей объема. Даже поверхность Земли, которая по своей сложности является фрактальной, по-прежнему представляет собой всего лишь двумерную границу снаружи объема.

Встраивание

В плоском пространстве сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Это соотношение не справедливо для искривленных пространств.

Одной из определяющих характеристик искривленного пространства является его отклонение от теоремы Пифагора . В искривленном пространстве

$dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}$.

Пифагорейские отношения часто можно восстановить, описав пространство дополнительным измерением. Предположим, у нас есть трехмерное неевклидово пространство с координатами $\left(x',y',z'\right)$. Потому что он не плоский

$dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,$.

Но если мы теперь опишем трехмерное пространство с четырьмя измерениями ( $x,y,z,w$) мы можем выбрать координаты такие, что

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,$.

Обратите внимание, что координата $x$ совпадает не с координатой $x'$.

Чтобы выбор 4D-координат был действительным дескриптором исходного 3D-пространства, оно должно иметь одинаковое количество степеней свободы . Поскольку четыре координаты имеют четыре степени свободы, на них должно быть наложено ограничение. Мы можем выбрать такое ограничение, чтобы теорема Пифагора выполнялась в новом четырехмерном пространстве. То есть

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,$.

Константа может быть положительной или отрицательной. Для удобства мы можем выбрать константу

$\kappa ^{-1}R^{2}$ где $R^{2}\,$ сейчас позитивно и $\kappa \equiv \pm 1$.

Теперь мы можем использовать это ограничение, чтобы исключить искусственную четвертую координату. $w$. Дифференциал ограничивающего уравнения равен

$xdx+ydy+zdz+wdw=0\,$ ведущий к $dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,$.

Затыкание $dw$ в исходное уравнение дает

$dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}$.

Эта форма обычно не особенно привлекательна, поэтому часто применяется преобразование координат: $x=r\sin \theta \cos \phi$, $y=r\sin \theta \sin \phi$, $z=r\cos \theta$. При таком преобразовании координат

$dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$.

Без встраивания

Геометрию n-мерного пространства также можно описать с помощью римановой геометрии . Изотропное однородное и пространство можно описать метрикой:

$dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,$.

Это сводится к евклидову пространству, когда $\lambda =0$. Но можно сказать, что пространство « плоское », если тензор Вейля имеет все нулевые компоненты. В трехмерном пространстве это условие выполняется, когда тензор Риччи ( $R_{ab}$) равна произведению метрики на скаляр Риччи ( $R$, не путать с буквой R из предыдущего раздела). То есть $R_{ab}=g_{ab}R$. Расчет этих составляющих из метрики дает, что

$\lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)$ где $k\equiv {\frac {R}{2}}$.

Это дает метрику:

$dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$.

где $k$ может быть нулевым, положительным или отрицательным и не ограничен ±1.

Открытый, плоский, закрытый

Изотропное однородное и пространство можно описать метрикой:

$dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$.

В пределе, когда константа кривизны ( $R$ плоское евклидово пространство ) становится бесконечно большим, возвращается . По сути это то же самое, что установка $\kappa$ до нуля. Если $\kappa$ не равно нулю, пространство не евклидово. Когда $\kappa =+1$ пространство называется замкнутым или эллиптическим . Когда $\kappa =-1$ Пространство называется открытым или гиперболическим .

Треугольники, лежащие на поверхности открытого пространства, будут иметь сумму углов меньше 180°. Треугольники, лежащие на поверхности замкнутого пространства, будут иметь сумму углов больше 180°. Объем, однако, не $(4/3)\pi r^{3}$.

См. также

• CAT( k ) пространство
• Неположительная кривизна

Дальнейшее чтение

• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 42: Искривленное пространство
• Папаставридис, Джон Г. (1999). «Общие n -мерные (римановы) поверхности» . Тензорное исчисление и аналитическая динамика . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 211–218. ISBN  0-8493-8514-8 .

Внешние ссылки

• Curved Spaces , симулятор многосвязных вселенных, разработанный Джеффри Уиксом