Уравнение Гросса – Питаевского

Уравнение Гросса–Питаевского ( ГПЭ , имени Юджина П. Гросса и Лев Петрович Питаевский ) описывает основное состояние квантовой системы идентичных бозонов с использованием приближения Хартри–Фока и модели псевдопотенциального взаимодействия.

( Конденсат Бозе-Эйнштейна БЭК) представляет собой газ бозонов , находящихся в одном квантовом состоянии и, следовательно, может быть описан одной и той же волновой функцией . Свободная квантовая частица описывается одночастичным уравнением Шрёдингера . Взаимодействие между частицами в реальном газе учитывается соответствующим уравнением Шрёдингера для многих тел. В приближении Хартри–Фока полная волновая функция $\Psi$ системы $N$ бозоны рассматриваются как произведение одночастичных функций $\psi$: $$\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N}),$$ где $\mathbf {r} _{i}$ это координата $i$-й бозон. Если среднее расстояние между частицами в газе больше длины рассеяния (то есть в так называемом пределе разбавления), то истинный потенциал взаимодействия, который присутствует в этом уравнении, можно аппроксимировать псевдопотенциалом . При достаточно низкой температуре, когда длина волны де Бройля значительно превышает диапазон бозон-бозонного взаимодействия, процесс рассеяния можно хорошо аппроксимировать s -волновым рассеянием (т.е. $\ell =0$ в парциальноволновом анализе (так называемом потенциале твердой сферы ) только термин. В этом случае псевдопотенциальный модельный гамильтониан системы можно записать как $$H=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} _{i}^{2}}}+V(\mathbf {r} _{i})\right)+\sum _{i<j}{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}),$$ где $m$ - масса бозона, $V$ внешний потенциал, $a_{s}$ – длина рассеяния бозон-бозонной s -волны, $\delta (\mathbf {r} )$ — дельта-функция Дирака .

Вариационный метод показывает, что если одночастичная волновая функция удовлетворяет следующему уравнению Гросса – Питаевского $$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}+V(\mathbf {r} )+{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=\mu \psi (\mathbf {r} ),$$ полная волновая функция минимизирует математическое ожидание модельного гамильтониана при условии нормализации ${\textstyle \int dV\,|\Psi |^{2}=N.}$ Следовательно, такая одночастичная волновая функция описывает основное состояние системы.

в основном состоянии GPE — это модельное уравнение для одночастичной волновой функции в конденсате Бозе-Эйнштейна . По форме оно похоже на уравнение Гинзбурга-Ландау и иногда называется « нелинейным уравнением Шрёдингера ».

Нелинейность уравнения Гросса–Питаевского возникает во взаимодействии между частицами: приравнивание константы взаимодействия в уравнении Гросса–Питаевского к нулю (см. следующий раздел) восстанавливает одночастичное уравнение Шрёдингера, описывающее частицу. внутри ловущего потенциала.

Говорят, что уравнение Гросса–Питаевского ограничивается режимом слабого взаимодействия. Тем не менее, даже в этом режиме он может не воспроизвести интересные явления. Чтобы изучить БЭК за пределами этого предела слабых взаимодействий, необходимо реализовать поправку Ли-Хуан-Яна (LHY). Альтернативно, в 1D-системах можно использовать либо точный подход, а именно модель Либа-Линигера , или расширенное уравнение, например уравнение Либа-Линигера Гросса – Питаевского (иногда называемый модифицированным или обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера ).

Форма уравнения

Уравнение имеет вид уравнения Шрёдингера с добавлением члена взаимодействия. Константа связи $g$ пропорциональна s -волны длине рассеяния $a_{s}$ двух взаимодействующих бозонов:

$g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}},$

где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка , $m$ — масса бозона. Плотность энергии ​

${\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \Psi (\mathbf {r} )|^{2}+V(\mathbf {r} )|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}+{\frac {1}{2}}g|\Psi (\mathbf {r} )|^{4},$

где $\Psi$ волновая функция или параметр порядка, а $V$ – внешний потенциал (например, гармоническая ловушка). Независимое от времени уравнение Гросса – Питаевского для сохраняющегося числа частиц имеет вид

$\mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ),$

где $\mu$ – химический потенциал , который находится из условия, что число частиц связано с волновой функцией соотношением

$N=\int |\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r.$

Из нестационарного уравнения Гросса–Питаевского можно найти структуру конденсата Бозе–Эйнштейна при различных внешних потенциалах (например, в гармонической ловушке).

Зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского имеет вид

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t).$

Из этого уравнения мы можем посмотреть на динамику конденсата Бозе-Эйнштейна. Он используется для поиска коллективных мод захваченного газа.

Решения

Поскольку уравнение Гросса–Питаевского является нелинейным уравнением в частных производных , найти точные решения сложно. В результате решения приходится аппроксимировать с помощью множества методов.

Точные решения

Свободная частица

Простейшим точным решением является решение для свободных частиц, при котором $V(\mathbf {r} )=0$:

$\Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\frac {N}{V}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }.$

Это решение часто называют решением Хартри. Хотя он и удовлетворяет уравнению Гросса – Питаевского, он оставляет брешь в энергетическом спектре из-за взаимодействия:

$E(\mathbf {k} )=N\left[{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+g{\frac {N}{2V}}\right].$

Согласно теореме Гугенгольца–Пайнса , взаимодействующий бозе-газ не имеет энергетической щели (в случае отталкивающих взаимодействий).

Солитон

В бозе-эйнштейновском конденсате может образоваться одномерный солитон , причем в зависимости от того, является ли взаимодействие притягивающим или отталкивающим, существует либо светлый, либо темный солитон. Оба солитона представляют собой локальные возмущения в конденсате с однородной фоновой плотностью.

Если БЭК отталкивает, то $g>0$, то возможным решением уравнения Гросса–Питаевского будет

$\psi (x)=\psi _{0}\tanh \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\xi }}\right),$

где $\psi _{0}$ значение волновой функции конденсата при $\infty$, и $\xi =\hbar /{\sqrt {2mn_{0}g}}=1/{\sqrt {8\pi a_{s}n_{0}}}$ — длина когерентности (она же длина исцеления , см. ниже). Это решение представляет собой темный солитон, поскольку в пространстве ненулевой плотности существует дефицит конденсата. Темный солитон также является разновидностью топологического дефекта , поскольку $\psi$ переключается между положительными и отрицательными значениями в начале координат, что соответствует $\pi$ фазовый сдвиг.

Для $g<0$ решение

$\psi (x,t)=\psi (0)e^{-i\mu t/\hbar }{\frac {1}{\cosh \left({\sqrt {2m|\mu |/\hbar ^{2}}}x\right)}},$

где химический потенциал $\mu =g|\psi (0)|^{2}/2$. Это решение представляет собой светлый солитон, поскольку в пространстве нулевой плотности имеется концентрация конденсата.

Длина заживления

Длина исцеления дает минимальное расстояние, на котором может восстановиться параметр порядка , что описывает, насколько быстро волновая функция БЭК может приспособиться к изменениям потенциала. Если плотность конденсата растет от 0 до n на расстоянии ξ, длину заживления можно рассчитать, приравняв

квантовое давление и энергия взаимодействия:

${\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi ^{2}}}=gn\implies \xi =(8\pi na_{s})^{-1/2}$

Длина исцеления должна быть намного меньше любого масштаба в решении одночастичной волновой функции. Длина заживления также определяет размер вихрей, которые могут образоваться в сверхтекучей жидкости. Это расстояние, на котором волновая функция восстанавливается от нуля в центре вихря до значения в объеме сверхтекучей жидкости (отсюда и название «исцеляющая» длина).

Вариационные решения

В системах, где точное аналитическое решение невозможно, можно сделать вариационную аппроксимацию. Основная идея состоит в том, чтобы составить вариационный анзац для волновой функции со свободными параметрами, подключить его к свободной энергии и минимизировать энергию по отношению к свободным параметрам.

Численные решения

Несколько численных методов, таких как расщепленный метод Кранка – Николсона. и спектр Фурье методы, были использованы для решения GPE. Также существуют различные программы на Фортране и Си для решения контактного взаимодействия. и дальнодействующее диполярное взаимодействие .

Приближение Томаса – Ферми

Если число частиц в газе очень велико, межатомное взаимодействие становится таким большим, что в уравнении Гросса – Питаевского можно пренебречь членом кинетической энергии. Это называется приближением Томаса – Ферми и приводит к одночастичной волновой функции.

$\psi (x,t)={\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}.$

А профиль плотности

$n(x,t)={\frac {\mu -V(x)}{g}}.$

В гармонической ловушке (где потенциальная энергия квадратична по отношению к смещению от центра) это дает профиль плотности, обычно называемый профилем плотности «перевернутой параболы».

приближение Боголюбова

Боголюбовская трактовка уравнения Гросса-Питаевского представляет собой метод, позволяющий найти элементарные возбуждения конденсата Бозе-Эйнштейна. Для этого волновую функцию конденсата аппроксимируют суммой равновесной волновой функции $\psi _{0}={\sqrt {n}}e^{-i\mu t}$ и небольшое возмущение $\delta \psi$:

$\psi =\psi _{0}+\delta \psi .$

Затем эта форма подставляется в зависящее от времени уравнение Гросса–Питаевского и его комплексно-сопряженное уравнение и линеаризуется до первого порядка по $\delta \psi$:

$i\hbar {\frac {\partial \delta \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi +V\delta \psi +g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi +\psi _{0}^{2}\delta \psi ^{*}),$

$-i\hbar {\frac {\partial \delta \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi ^{*}+V\delta \psi ^{*}+g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi ^{*}+(\psi _{0}^{*})^{2}\delta \psi ).$

Предполагая, что

$\delta \psi =e^{-i\mu t}{\big (}u({\boldsymbol {r}})e^{-i\omega t}-v^{*}({\boldsymbol {r}})e^{i\omega t}{\big )},$

можно найти следующие связанные дифференциальные уравнения для $u$ и $v$ взяв $e^{\pm i\omega t}$ части как независимые компоненты:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu -\hbar \omega \right)u-gnv=0,$

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu +\hbar \omega \right)v-gnu=0.$

Для однородной системы, т.е. для $V({\boldsymbol {r}})={\text{const}}$, можно получить $V=\hbar \mu -gn$ из уравнения нулевого порядка. Тогда мы предполагаем $u$ и $v$ быть плоскими волнами импульса ${\boldsymbol {q}}$, что приводит к энергетическому спектру

$\hbar \omega =\epsilon _{\boldsymbol {q}}={\sqrt {{\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}+2gn\right)}}.$

Для больших ${\boldsymbol {q}}$дисперсионное уравнение квадратично по ${\boldsymbol {q}}$, как и следовало ожидать для обычных невзаимодействующих одночастичных возбуждений. Для маленьких ${\boldsymbol {q}}$, дисперсионное соотношение линейное:

$\epsilon _{\boldsymbol {q}}=s\hbar q,$

с $s={\sqrt {ng/m}}$ скорость звука в конденсате, также известная как второй звук . Тот факт, что $\epsilon _{\boldsymbol {q}}/(\hbar q)>s$ показывает, согласно критерию Ландау, что конденсат является сверхтекучей жидкостью, а это значит, что если объект перемещаться в конденсате со скоростью меньшей s , то производить возбуждения будет энергетически невыгодно, и объект будет двигаться без диссипации, что является характеристикой сверхтекучей жидкости . Были проведены эксперименты, чтобы доказать эту сверхтекучесть конденсата, с использованием сильно сфокусированного лазера с синей расстройкой. Такое же дисперсионное соотношение обнаруживается при описании конденсата с микроскопического подхода с использованием формализма вторичного квантования .

Сверхтекучесть во вращающемся спиральном потенциале

Вихревая дипольная ловушка с топологическим зарядом $\ell =2$ загружен ультрахолодным ансамблем

Оптическая потенциальная яма $V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)=V_{\text{twist}}(z,r,\theta ,t)$ могут быть образованы двумя встречными оптическими вихрями с длинами волн $\lambda _{\pm }=2\pi c/\omega _{\pm }$, эффективная ширина $D$ и топологический заряд $\ell$:

$E_{\pm }(\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\exp(-i\omega _{\pm }t\pm ik_{\pm }z+i\ell \theta ),$

где $\delta \omega =(\omega _{+}-\omega _{-})$. В цилиндрической системе координат $(z,r,\theta )$ потенциальная яма имеет замечательную геометрию двойной спирали :

$V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)\sim V_{0}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{D^{2}}}\right)r^{2|\ell |}\left(1+\cos[\delta \omega t+(k_{+}+k_{-})z+2\ell \theta ]\right).$

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью $\Omega =\delta \omega /2\ell$, зависящее от времени уравнение Гросса–Питаевского со спиральным потенциалом имеет вид

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\text{twist}}(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}-\Omega {\hat {L}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t),$

где ${\hat {L}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}$ — оператор углового момента. Решение волновой функции конденсата $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ представляет собой суперпозицию двух обращенных вещественно-волновых вихрей:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\times {\big (}\exp(-i\omega _{+}t+ik_{+}z+i\ell \theta )+\exp(-i\omega _{-}t-ik_{-}z-i\ell \theta ){\big )}.$

Макроскопически наблюдаемый импульс конденсата равен

$\langle \Psi |{\hat {P}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}\hbar (k_{+}-k_{-}),$

где $N_{\text{at}}$ – число атомов в конденсате. Это означает, что атомный ансамбль движется когерентно вдоль $z$ ось с групповой скоростью, направление которой определяется знаками топологического заряда $\ell$ и угловая скорость $\Omega$:

$V_{z}={\frac {2\Omega \ell }{k_{+}+k_{-}}}.$

Угловой момент спирально захваченного конденсата равен нулю:

$\langle \Psi |{\hat {L}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}[\ell \hbar -\ell \hbar ]=0.$

Численное моделирование холодного атомного ансамбля в спиральном потенциале показало удержание отдельных атомных траекторий внутри спиральной потенциальной ямы.

Выводы и обобщения

Уравнение Гросса-Питаевского также можно вывести как квазиклассический предел теории многих тел S-волн, взаимодействующих идентичных бозонов, представленных в терминах когерентных состояний. Квазиклассический предел достигается для большого числа квантов, выражая теорию поля либо в представлении с положительным P (обобщенное P-представление Глаубера-Сударшана ), либо в представлении Вигнера .

Эффекты конечной температуры можно рассматривать в рамках обобщенного уравнения Гросса – Питаевского, включив рассеяние между атомами конденсата и неконденсата: из которого можно восстановить уравнение Гросса–Питаевского в пределе низких температур.

Дальнейшее чтение

• Петик, CJ; Смит, Х. (2002). Бозе-эйнштейновская конденсация в разбавленных газах . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66580-3 .
• Питаевский, Л.П.; Стрингари, С. (2003). Конденсация Бозе-Эйнштейна . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-850719-2 .

Внешние ссылки

• Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI — это библиотека для крупномасштабного моделирования, основанная на разложении Троттера-Сузуки , которая также может решать уравнение Гросса-Питаевского.
• XMDS XMDS — это библиотека спектральных уравнений в частных производных, которую можно использовать для решения уравнения Гросса – Питаевского.