Формула произведения Лжи
В математике формула произведения Ли , названная в честь Софуса Ли (1875), но также широко называемая формулой произведения Троттера , [1] названный в честь Хейла Троттера , утверждает, что для произвольных размера m × m действительных или комплексных матриц A и B , [2] где е А обозначает экспоненту A . матричную Формула произведения Лия – Троттера [3] и теорема Троттера–Като [4] распространите это на некоторые неограниченные линейные A и B. операторы [5]
Эта формула является аналогом классического показательного закона.
которое справедливо для всех действительных или комплексных чисел x и y . Если x и y заменены матрицами A и B , а экспонента заменена матричной экспонентой , обычно необходимо, чтобы A и B перестановились, чтобы закон все еще выполнялся. Однако формула произведения Ли справедлива для всех матриц A и B , даже для тех, которые не коммутируют.
Формула произведения Ли концептуально связана с формулой Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа , поскольку обе они являются заменой в контексте некоммутирующих операторов классического экспоненциального закона.
Формула имеет приложения, например, в формулировке интеграла по путям квантовой механики. Это позволяет разделить оператор эволюции Шредингера ( пропагатор ) на чередующиеся приращения кинетических и потенциальных операторов (разложение Сузуки-Троттера, по Троттеру и Масуо Судзуки ). Эта же идея используется при построении методов расщепления численного решения дифференциальных уравнений . Более того, теоремы Ли о произведении достаточно для доказательства формулы Фейнмана–Каца . [6]
Теорему Троттера–Като можно использовать для аппроксимации линейных C 0 -полугрупп . [7]
См. также
[ редактировать ]Цитаты
[ редактировать ]- ^ Коэн и др. 1982 год
- ^ Холл, 2015 г., Теорема 2.11.
- ^ Троттер 1959
- ^ Като 1978
- ^ Холл, 2013 г. , Теорема 20.1.
- ^ Аппельбаум 2019
- ^ Ито и Каппель
Загребнов Валентин А. и др., Формулы произведения Троттера-Като (Теория операторов: Серия достижений и приложений, Том 296, Birkhäuser 2024). https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-031-56720-9
Ссылки
[ редактировать ]- Софус Ли и Фридрих Энгель (1888, 1890, 1893). Теория групп трансформации (1-е издание, Лейпциг; 2-е издание, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
- Альбеверио, Серджио А.; Хёг-Крон, Рафаэль Дж. (1976), Математическая теория интегралов по траектории Фейнмана: Введение , Конспект лекций по математике, том. 423 (1-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0079827 , hdl : 10852/44049 , ISBN 978-3-540-07785-5
- Аппельбаум, Дэвид (2019). «Формула Фейнмана-Каца через формулу произведения Ли-Като-Троттера». Полугруппы линейных операторов: с приложениями к анализу, теории вероятностей и физике . Издательство Кембриджского университета. стр. 123–125. ISBN 978-1-108-71637-6 .
- Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-0-387-40122-5
- «Формула произведения Троттера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Коэн, Джоэл Э.; Фридланд, Шмуэль; Като, Тосио; Келли, ФП (1982). «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF) . Линейная алгебра и ее приложения . 45 : 55–95. дои : 10.1016/0024-3795(82)90211-7 .
- Ито, Кадзуфуми; Каппель, Франц (1998). «Теорема Троттера-Като и аппроксимация УЧП» . Математика вычислений . 67 (221): 21–44. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00915-6 . JSTOR 2584971 .
- Като, Тосио (1978), "Формула произведения Троттера для произвольной пары самосопряженных полугрупп сжатия", Темы функционального анализа (эссе, посвященные М. Г. Крейну по случаю его 70-летия) , Адв. по математике. Доп. Студ., вып. 3, Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 185–195, MR 0538020.
- Троттер, Х.Ф. (1959), «О произведении полугрупп операторов», Труды Американского математического общества , 10 (4): 545–551, doi : 10.2307/2033649 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033649 , MR 0108732
- Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982), «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF) , Линейная алгебра и ее приложения , 45 : 55–95, doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
- Варадараджан, В.С. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1 , стр. 99.
- Сузуки, Масуо (1976). «Обобщенная формула Троттера и систематические аппроксимации экспоненциальных операторов и внутренние выводы с применением к задачам многих тел» . Комм. Математика. Физ . 51 (2): 183–190. дои : 10.1007/bf01609348 . S2CID 121900332 .