Парциальноволновой анализ

Парциально-волновой анализ в контексте квантовой механики относится к методу решения задач рассеяния путем разложения каждой волны на составляющие ее компоненты углового момента и решения с использованием граничных условий .

Предварительная теория рассеяния

Следующее описание следует каноническому пути введения элементарной теории рассеяния. Устойчивый пучок частиц рассеивается на сферически-симметричном потенциале. $V(r)$, который имеет малую дальность действия, так что на больших расстояниях $r\to \infty$, частицы ведут себя как свободные частицы. В принципе, любая частица должна описываться волновым пакетом , но вместо этого мы описываем рассеяние плоской волны $\exp(ikz)$ путешествуя вдоль оси z , поскольку волновые пакеты можно разложить по плоским волнам, а это математически проще. Поскольку пучок включается на времена, большие по сравнению со временем взаимодействия частиц с потенциалом рассеяния, предполагается стационарное состояние. Это означает, что стационарное уравнение Шрёдингера для волновой функции $\Psi (\mathbf {r} )$ представление пучка частиц должно быть решено:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} ).$

Делаем следующий анзац :

$\Psi (\mathbf {r} )=\Psi _{0}(\mathbf {r} )+\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} ),$

где $\Psi _{0}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikz)$ - приходящая плоская волна, а $\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )$ представляет собой рассеянную часть, возмущающую исходную волновую функцию.

Это асимптотическая форма $\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )$ это представляет интерес, поскольку наблюдения вблизи центра рассеяния (например, атомного ядра) в большинстве случаев невозможны, а регистрация частиц происходит вдали от начала координат. На больших расстояниях частицы должны вести себя как свободные частицы, а $\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )$ следовательно, должно быть решением свободного уравнения Шредингера. Это предполагает, что она должна иметь форму, подобную плоской волне, без каких-либо физически бессмысленных частей. Поэтому мы исследуем разложение по плоским волнам :

$e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).$

Сферическая функция Бесселя $j_{\ell }(kr)$ асимптотически ведет себя как

$j_{\ell }(kr)\to {\frac {1}{2ikr}}{\big (}\exp[i(kr-\ell \pi /2)]-\exp[-i(kr-\ell \pi /2)]{\big )}.$

Это соответствует исходящей и приходящей сферической волне. Для рассеянной волновой функции ожидаются только уходящие части. Поэтому мы ожидаем $\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r$ на больших расстояниях и установили асимптотику рассеянной волны

$\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}},$

где $f(\theta ,k)$ – так называемая амплитуда рассеяния , которая в данном случае зависит только от угла места $\theta$ и энергия.

В заключение это дает следующее асимптотическое выражение для всей волновой функции:

$\Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}.$

Парциальное расширение

В случае сферически-симметричного потенциала $V(\mathbf {r} )=V(r)$волновая функция рассеяния может быть разложена по сферическим гармоникам , которые сводятся к полиномам Лежандра из-за азимутальной симметрии (отсутствие зависимости от $\phi$):

$\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }(\cos \theta ).$

В стандартной задаче рассеяния предполагается, что падающий луч принимает форму плоской волны с волновым числом k , которую можно разложить на парциальные волны с помощью разложения плоской волны через сферические функции Бесселя и полиномы Лежандра :

$\psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).$

Здесь мы предположили сферическую систему координат, в которой ось z совпадает с направлением луча. Радиальная часть этой волновой функции состоит исключительно из сферической функции Бесселя, которую можно переписать как сумму двух сферических функций Ханкеля :

$j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)\right).$

Это имеет физический смысл: h _ℓ ⁽²⁾ асимптотически (т.е. при больших r ) ведет себя как i ^{-( ℓ +1)} и ^ИКР /( kr ) и, таким образом, является исходящей волной, тогда как h _ℓ ⁽¹⁾ асимптотически ведет себя как i ^{ℓ +1} и ^{- икр} /( kr ) и, таким образом, является приходящей волной. На входящую волну не влияет рассеяние, а на исходящую волну модифицируется фактор, известный как парциальной S-матрицы элемент S _ℓ :

${\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right),$

где u _ℓ ( r )/ r — радиальная составляющая фактической волновой функции. Фазовый сдвиг рассеяния δ _ℓ определяется как половина фазы S _ℓ :

$S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}.$

Если поток не потерян, то | С _ℓ | = 1 , и, следовательно, фазовый сдвиг является реальным. Обычно это так, если только потенциал не имеет воображаемого поглощающего компонента, который часто используется в феноменологических моделях для моделирования потерь из-за других каналов реакции.

Следовательно, полная асимптотическая волновая функция равна

$\psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ell }(\cos \theta ).$

Вычитание ψ _дает асимптотическую функцию исходящей волновой волны:

$\psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).$

Используя асимптотическое поведение сферических функций Ганкеля, получаем

$\psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta ).$

Поскольку амплитуда рассеяния f ( θ , k ) определяется из соотношения

$\psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ,k),$

отсюда следует, что

$f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta ),$

и, таким образом, дифференциальное сечение определяется выражением

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}.$

Это работает для любого взаимодействия на близком расстоянии. Для дальнодействующих взаимодействий (таких как кулоновское взаимодействие ) суммирование по ℓ может не сходиться. Общий подход к таким задачам состоит в рассмотрении кулоновского взаимодействия отдельно от короткодействующего взаимодействия, поскольку кулоновская задача может быть решена точно в терминах кулоновских функций , которые берут на себя роль функций Ганкеля в этой задаче.

Ссылки

• Гриффитс, доктор медицинских наук (1995). Введение в квантовую механику . Пирсон Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7 .

Внешние ссылки

• Парциальный волновой анализ для чайников
• Парциальный волновой анализ рассеяния.