Теория Мэттиса – Бардина

Теория Мэттиса-Бардина — это теория, описывающая электродинамические свойства сверхпроводимости . Он обычно применяется в области исследований оптической спектроскопии сверхпроводников.

Его вывели для объяснения аномального скин-эффекта сверхпроводников. Первоначально аномальный скин-эффект указывает на неклассическую реакцию металлов на высокочастотное электромагнитное поле при низкой температуре, которая была решена Робертом Г. Чемберсом . При достаточно низких температурах и высоких частотах классически предсказанная глубина скин-эффекта ( нормальный скин-эффект ) не работает из-за увеличения средней длины свободного пробега электронов в хорошем металле. Не только нормальные металлы, но и сверхпроводники также демонстрируют аномальный скин-эффект, который следует учитывать с помощью теории Бардина, Купера и Шриффера (BCS).

Реакция на электромагнитную волну

Самый ясный факт, который дает теория БКШ, — это наличие спаривания двух электронов ( куперовской пары ). После перехода в сверхпроводящее состояние возникает сверхпроводящая щель 2Δ в одночастичной плотности состояний , и дисперсионное соотношение можно описать как полупроводник с запрещенной зоной 2Δ вокруг энергии Ферми . Согласно золотому правилу Ферми , вероятности перехода можно записать как

$\alpha _{s}=\int {\left|M_{s}\right|^{2}N_{s}(E)N_{s}(E+\hbar \omega )\times [f(E)-f(E+\hbar \omega )]{\rm {}}}dE$

где $N_{s}$ – плотность состояний. И $M_{s}$ – матричный элемент гамильтониана взаимодействия $H_{1}$ где

$H_{1}=\sum \limits _{k\sigma ,k'\sigma '}{B_{k'\sigma ',k\sigma }c_{k'\sigma '}^{*}}c_{k'\sigma '}$

В сверхпроводящем состоянии каждый член гамильтониана зависим, поскольку сверхпроводящее состояние представляет собой фазово-когерентную суперпозицию занятых одноэлектронных состояний, тогда как в нормальном состоянии оно независимо. Поэтому в абсолютном квадрате матричного элемента появляются интерференционные члены. Результат когерентности меняет матричный элемент $M_{s}$ в матричный элемент $M$ одиночного электрона и коэффициенты когерентности F (Δ, E , E' ).

$F(\Delta ,E,E')={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {\Delta ^{2}}{EE'}}\right)$

Тогда скорость перехода

$\alpha _{s}=\int {\left|M\right|^{2}F(\Delta ,E,E+\hbar \omega )N_{s}(E)N_{s}(E+\hbar \omega )\times [f(E)-f(E+\hbar \omega )]{\rm {}}}dE$

где скорость перехода можно перевести в действительную часть комплексной проводимости, $\sigma _{1}$, поскольку поглощение электродинамической энергии пропорционально $\sigma _{1}E^{2}$.

${\frac {\alpha _{s}}{\alpha _{n}}}={\frac {\sigma _{1s}}{\sigma _{n}}}$

В условиях конечной температуры реакцию электронов на падающую электромагнитную волну можно рассматривать как две части: «сверхпроводящие» и «нормальные» электроны. Первый соответствует основному сверхпроводящему состоянию, а следующий — термически возбужденным электронам из основного состояния. Эта картина представляет собой так называемую «двухжидкостную» модель. Если рассматривать «нормальные» электроны, то отношение оптической проводимости к оптической проводимости нормального состояния будет равно

${\frac {\alpha _{s}}{\alpha _{n}}}={\frac {2}{\hbar \omega }}\int _{\Delta }^{\infty }{{\frac {\left[{{\text{E(E + }}\hbar \omega {\text{)}}+\Delta ^{2}}\right][f(E)-f(E+\hbar \omega )]}{(E^{2}-\Delta ^{2})^{1/2}[(E+\hbar \omega )^{2}-\Delta ^{2}]^{1/2}}}dE}{-}\Theta (\hbar \omega -2\Delta ){\frac {1}{\hbar \omega }}\int _{\Delta -\hbar \omega }^{-\Delta }{{\frac {\left[{{\text{E(E + }}\hbar \omega {\text{)}}+\Delta ^{2}}\right][1-2f(E+\hbar \omega )]}{(E^{2}-\Delta ^{2})^{1/2}[(E+\hbar \omega )^{2}-\Delta ^{2}]^{1/2}}}dE}$

где $\Theta (x)$ – тэта-функция Хевисайда. Первый член верхнего уравнения — это вклад «нормальных» электронов, а второй член — вклад сверхпроводящих электронов.

Использование в оптических исследованиях

Рассчитанная оптическая проводимость нарушает правило сумм, согласно которому спектральный вес должен сохраняться при переходе. Этот результат означает, что недостающая область спектрального веса сосредоточена в пределе нулевой частоты, соответствующей дельта-функции Дирака (которая охватывает проводимость сверхпроводящего конденсата, т.е. куперовских пар). Многие экспериментальные данные подтверждают это предсказание. Этот рассказ об электродинамике сверхпроводимости является отправной точкой оптических исследований. Поскольку любая сверхпроводящая температура _{превышает 200 К} , а величина сверхпроводящей щели составляет около 3,5 кВ _{, микроволновая или дальняя} никогда не инфракрасная спектроскопия является подходящим методом применения этой теории. С помощью теории Мэттиса-Бардина мы можем вывести полезные свойства сверхпроводящая щель, как щелевая симметрия.

Дальнейшее чтение

• Майкл Тинкхэм, «Введение в сверхпроводимость» . Второе издание.
• Шу-Анг-Чжоу, Электродинамика твердого тела и микроволновая сверхпроводимость .