Chern–Simons form

В математике формы Черна -Саймонса представляют собой определенные вторичные характеристические классы . ^{[ 1 ]} Теория названа в честь Шиинг-Шен Черна и Джеймса Харриса Саймонса , соавторов статьи 1974 года под названием «Характерные формы и геометрические инварианты», из которой возникла теория. ^{[ 2 ]}

Определение

Учитывая многообразие и алгебру Ли со значениями 1-формы $\mathbf {A}$ над ним мы можем определить семейство p -форм : ^{[ 3 ]}

В одном измерении Черна – Саймонса 1-форма имеет вид

\operatorname {Tr} [\mathbf {A} ].

В трех измерениях 3-форма Черна – Саймонса имеет вид

\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].

В пяти измерениях 5-форма Черна – Саймонса имеет вид

{\begin{aligned}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}}

где кривизна F определяется как

\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .

Общая форма Черна – Саймонса $\omega _{2k-1}$ определяется таким образом, что

d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} (F^{k}),

где произведение клина используется для определения F ^к. Правая часть этого уравнения пропорциональна k -му характеру Черна связности $\mathbf {A}$ .

Черна–Саймонса В общем, p -форма определена для любого нечетного p . ^{[ 4 ]}

Приложение к физике

В 1978 году Альберт Шварц сформулировал теорию Черна-Саймонса , раннюю топологическую квантовую теорию поля , используя формы Черна-Саймонса. ^{[ 5 ]}

В калибровочной теории интеграл по формы Черна-Саймонса является глобальным геометрическим инвариантом и обычно является калибровочным инвариантом модулю сложения целого числа.

См. также

Ссылки

^ Фрид, Дэниел (15 января 2009 г.). «Замечания о теории Черна – Саймонса» (PDF) . Проверено 1 апреля 2020 г.
^ Черн, Шиинг-Шен; Тиан, Г.; Ли, Питер (1996). Математик и его математические работы: Избранные статьи С. С. Черна . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-2385-4 .
^ «Форма Черна-Саймонса в nLab» . ncatlab.org . Проверено 1 мая 2020 г.
^ Мур, Грег (7 июня 2019 г.). «Введение в теории Черна-Саймонса» (PDF) . Техасский университет . Проверено 7 июня 2019 г.
^ Шварц, А.С. (1978). «Статистическая сумма вырожденного квадратичного функционала и инварианты Рэя-Зингера». Письма по математической физике . 2 (3): 247–252. Бибкод : 1978LMaPh...2..247S . дои : 10.1007/BF00406412 . S2CID 123231019 .

Дальнейшее чтение

Черн, С.-С. ; Саймонс, Дж. (1974). «Характеристические формы и геометрические инварианты». Анналы математики . Вторая серия. 99 (1): 48–69. дои : 10.2307/1971013 . JSTOR 1971013 .
Бертльманн, Рейнхольд А. (2001). «Форма Черна – Саймонса, гомотопический оператор и аномалия» . Аномалии в квантовой теории поля (пересмотренная ред.). Кларендон Пресс . стр. 321–341. ISBN 0-19-850762-3 .

[1] Фрид, Дэниел (15 января 2009 г.). «Замечания о теории Черна – Саймонса» (PDF) . Проверено 1 апреля 2020 г.

[2] Черн, Шиинг-Шен; Тиан, Г.; Ли, Питер (1996). Математик и его математические работы: Избранные статьи С. С. Черна . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-2385-4 .

[3] «Форма Черна-Саймонса в nLab» . ncatlab.org . Проверено 1 мая 2020 г.

[4] Мур, Грег (7 июня 2019 г.). «Введение в теории Черна-Саймонса» (PDF) . Техасский университет . Проверено 7 июня 2019 г.

[5] Шварц, А.С. (1978). «Статистическая сумма вырожденного квадратичного функционала и инварианты Рэя-Зингера». Письма по математической физике . 2 (3): 247–252. Бибкод : 1978LMaPh...2..247S . дои : 10.1007/BF00406412 . S2CID 123231019 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Eleven-dimensional supergravity Type I supergravity Type IIA supergravity Type IIB supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach