Уравнение Рариты – Швингера

В теоретической физике уравнение Рариты–Швингера представляет собой уравнение уравнение релятивистского поля фермионов со спином -3/2 . в четырехмерном плоском пространстве-времени Оно похоже на уравнение Дирака для фермионов со спином 1/2. Это уравнение было впервые введено Уильямом Раритой и Джулианом Швингером в 1941 году.

В современных обозначениях это можно записать так:

$\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0$

где $\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }$ это символ Леви-Чивита , $\gamma _{\kappa }$ являются матрицами Дирака (с $\kappa =0,1,2,3$) и $\gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$, $m$ это масса, $\sigma ^{\mu \nu }\equiv {\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$, и $\psi _{\nu }$ представляет собой векторный спинор с дополнительными компонентами по сравнению с четырехкомпонентным спинором в уравнении Дирака. Это соответствует ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ ) ⊗ (( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1/2 ( ⁠ ) ) представление группы Лоренца , точнее, ее 1, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) ⊕ ( ⁠ 1/2 ⁠ 1 , ) часть.

Это уравнение поля можно вывести как уравнение Эйлера-Лагранжа, соответствующее лагранжиану Рариты-Швингера :

${\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }$

где полоса выше $\psi _{\mu }$ обозначает сопряженное Дирака .

Это уравнение управляет распространением волновой функции составных объектов, таких как дельта-барионы (
Д
) или для гипотетического гравитино . До сих пор элементарная частица экспериментально не обнаружена со спином 3/2.

Безмассовое уравнение Рариты – Швингера обладает фермионной калибровочной симметрией: инвариантно относительно калибровочного преобразования. $\psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon$, где $\epsilon \equiv \epsilon _{\alpha }$ — произвольное спинорное поле. Это просто локальная суперсимметрия супергравитации , а поле должно быть гравитино.

Также существуют версии уравнения Рариты – Швингера «Вейля» и «Майорана».

Уравнения движения в безмассовом случае

Рассмотрим безмассовое поле Рариты–Швингера, описываемое лагранжевой плотностью

${\mathcal {L}}_{RS}={\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },$

где сумма по индексам спина неявна, $\psi _{\mu }$ являются майорановскими спинорами, а

$\gamma ^{\mu \nu \rho }\equiv {\frac {1}{3!}}\gamma ^{[\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho ]}.$

Для получения уравнений движения будем варьировать лагранжиан по полям $\psi _{\mu }$, получив:

$\delta {\mathcal {L}}_{RS}=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }+{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\delta \psi _{\rho }=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }-\partial _{\nu }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\delta \psi _{\rho }+{\text{ boundary terms}}$

использование свойств переворота Майораны мы видим, что второй и первый члены правой части равны, делая вывод, что

$\delta {\mathcal {L}}_{RS}=2\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },$

плюс несущественные граничные условия. Внушительный $\delta {\mathcal {L}}_{RS}=0$ таким образом, мы видим, что уравнение движения безмассового спинора Майораны Рариты – Швингера гласит:

$\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }=0.$

Калибровочная симметрия безмассового уравнения Рариты-Швингера позволяет выбрать калибровку $\gamma ^{\mu }\psi _{\mu }=0$, сводя уравнения к:

$\gamma ^{\nu }{\partial }_{\nu }\psi _{\mu }=0,\quad \partial ^{\mu }\psi _{\mu }=0,\quad \gamma ^{\mu }\psi _{\mu }=0.$

Решение со спинами 1/2 и 3/2 имеет вид:

$\psi _{0}=\kappa ,\quad \psi _{i}=\psi _{i}^{TT}+{\frac {\gamma ^{j}\partial _{j}}{\nabla ^{2}}}\gamma _{0}\partial _{i}\kappa ,$

где $\nabla ^{2}$ – пространственный лапласиан, $\psi _{i}^{TT}$ двукратно поперечный, несущий спин 3/2, и $\kappa$ удовлетворяет безмассовому уравнению Дирака, следовательно, имеет спин 1/2.

Недостатки уравнения

Современное описание массивных полей с более высоким спином с помощью формализмов Рариты-Швингера или Фирца-Паули страдает несколькими недугами.

Сверхсветовое распространение

Как и в случае с уравнением Дирака, электромагнитное взаимодействие можно добавить, преобразуя частную производную в калибровочную ковариантную производную :

$\partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }$.

В 1969 году Вело и Цванцигер показали, что лагранжиан Рариты-Швингера в сочетании с электромагнетизмом приводит к уравнению, решения которого представляют собой волновые фронты, некоторые из которых распространяются быстрее света. Другими словами, тогда поле страдает от акаузального, сверхсветового распространения; следовательно, квантование во взаимодействии с электромагнетизмом существенно ошибочно . Однако в расширенной супергравитации Дас и Фридман показали, что локальная суперсимметрия решает эту проблему .

Источники

• Рарита, Уильям; Швингер, Джулиан (1 июля 1941 г.). «К теории частиц с полуцелым спином». Физический обзор . 60 (1). Американское физическое общество (APS): 61. Бибкод : 1941PhRv...60...61R . дои : 10.1103/physrev.60.61 . ISSN   0031-899X .
• Коллинз П.Д.Б., Мартин А.Д. , Сквайрс Э.Дж., Физика элементарных частиц и космология (1989), Уайли, Раздел 1.6 .
• Вело, Джорджио; Цванцигер, Дэниел (25 октября 1969 г.). «Распространение и квантование волн Рариты-Швингера во внешнем электромагнитном потенциале». Физический обзор . 186 (5). Американское физическое общество (APS): 1337–1341. Бибкод : 1969PhRv..186.1337V . дои : 10.1103/physrev.186.1337 . ISSN   0031-899X .
• Вело, Джорджио; Цванцингер, Дэниел (25 декабря 1969 г.). «Непричинность и другие дефекты лагранжианов взаимодействия для частиц со спином один и выше». Физический обзор . 188 (5). Американское физическое общество (APS): 2218–2222. Бибкод : 1969PhRv..188.2218V . дои : 10.1103/physrev.188.2218 . ISSN   0031-899X .
• Кобаяши, М.; Шамалы, А. (15 апреля 1978 г.). «Минимальная электромагнитная связь для массивных полей со спином два». Физический обзор D . 17 (8). Американское физическое общество (APS): 2179–2181. Бибкод : 1978PhRvD..17.2179K . дои : 10.1103/physrevd.17.2179 . ISSN   0556-2821 .