По отдельности и даже вдвойне

В математике четное целое число , то есть число, делящееся на 2, называется четно-четным или дважды-четным, если оно кратно 4, и нечетно-четным или единично-четным, если оно не является таковым. Первые названия являются традиционными, заимствованными из древнегреческой математики ; последние стали обычным явлением в последние десятилетия.

Эти имена отражают основную концепцию теории чисел — 2-й порядок целого числа: сколько раз целое число можно разделить на 2. В частности, 2-й порядок ненулевого целого числа n — это максимальное целое значение k такое, что n / 2 ^к является целым числом. Это эквивалентно кратности 2 при простой факторизации .

Одно четное число можно разделить на 2 только один раз; оно четное, но его частное на 2 нечетно.
Двойно четное число — это целое число, которое делится на 2 более одного раза; оно четно, и его частное на 2 также четно.

Отдельное рассмотрение нечетных и четных чисел полезно во многих разделах математики, особенно в теории чисел, комбинаторике , теории кодирования (см. четные коды ) и других.

Определения

Древнегреческим терминам «четные времена-четные» ( древнегреческий : ἀρτιάκις ἄρτιος ) и «четные времена-нечетные» ( древнегреческий : ἀρτιάκις περισσός или ἀρτιοπέριττος дал различные неэквивалентные определения ) Евкл . id и более поздние писатели, такие как Никомах . ^[1] Сегодня идет стандартное развитие концепций. 2-порядок или 2-адический порядок — это просто частный случай p -адического порядка для общего простого числа p ; для получения см. p -адическое число дополнительной информации об этой широкой области математики. Многие из следующих определений непосредственно обобщаются на другие простые числа.

Для целого числа n 2-й порядок n (также называемый оценкой ) — это наибольшее натуральное число ν такое, что 2 ^н делит n . Это определение применимо к положительным и отрицательным числам n , хотя некоторые авторы ограничивают его положительными n ; и можно определить 2-порядок 0 как бесконечность (см. также четность нуля ). ^[2] 2-й порядок n обозначается ν ₂ ( n ) или ord ₂ ( n ). Его не следует путать с мультипликативным порядком по модулю 2 .

Второй порядок обеспечивает единое описание различных классов целых чисел, определяемых четностью:

Нечетные числа — это числа с ν ₂ ( n ) = 0, т. е. целые числа вида 2 m + 1 .
Четные числа — это те, у которых ν ₂ ( n ) > 0, т. е. целые числа вида 2 m . В частности:
- Одночетными считаются числа с ν ₂ ( n ) = 1, т. е. целые числа вида 4 m + 2 .
- Двойно четными считаются числа, у которых ν ₂ ( n ) > 1, т. е. целые числа вида 4 m .
  - В этой терминологии дважды четное число может делиться или не делиться на 8, поэтому в чистой математике не существует специальной терминологии для «тройно четных» чисел, хотя оно используется в учебных материалах для детей, включая более высокие кратные, такие как «четверно четное». " ^[3]

Можно также расширить 2-порядок до рациональных чисел , определив ν ₂ ( q ) как уникальное целое число ν, где

q=2^{\nu }{\frac {a}{b}}

и a и b оба нечетны. Например, полуцелые числа имеют отрицательный 2-й порядок, а именно -1. Наконец, определив 2-адическое абсолютное значение

|n|_{2}=2^{-\nu _{2}(n)},

мы уже находимся на пути к построению 2-адических чисел .

Приложения

Более безопасные ауты в дартс

Цель игры в дартс — набрать 0 очков, чтобы игрок с меньшим количеством очков имел больше шансов на победу. В начале этапа слово «меньше» имеет обычное значение абсолютного значения , и основная стратегия состоит в том, чтобы нацелиться на ценные области на мишени и набрать как можно больше очков. В конце этапа, поскольку для победы необходимо удвоить ставку, релевантной мерой становится 2-адическое абсолютное значение. При любом нечетном счете, каким бы малым он ни был по абсолютной величине, для победы потребуется как минимум два дротика. Любой четный результат от 2 до 40 можно удовлетворить с помощью одного дротика, а 40 — гораздо более желательный результат, чем 2, из-за последствий промаха.

Распространенная ошибка при прицеливании в двойное кольцо - вместо этого попасть в одиночное и случайно сократить свой счет вдвое. При счете 22 (единственное четное число) у человека есть шанс получить двойные 11. Если вы наберете одиночное 11, новый счет составит 11, что является нечетным, и для восстановления потребуется как минимум еще два дротика. Напротив, при броске на дабл 12 можно допустить ту же ошибку, но все же сделать 3 гейм-броска подряд: D12, D6 и D3. Обычно при счете n < 42 таких игровых бросков имеется ν ₂ ( n ) . Вот почему 32 = 2 ⁵ такой желательный счет: он делится 5 раз. ^[4]^[5]

Иррациональность квадратного корня из 2

Классическое доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален , основано на бесконечном спуске . Обычно часть доказательства абстрагируется, предполагая (или доказывая) существование неприводимых представлений рациональных чисел . Альтернативный подход заключается в использовании существования _{оператора ν2} .

Предположим от противного, что

{\sqrt {2}}={\frac {a}{b}},

где a и b — ненулевые натуральные числа. Возведите в квадрат обе части равенства и применитеоператор нормирования 2-го порядка ν ₂ к 2 b ² = а ²:

\nu _{2}\left(2b^{2}\right)=\nu _{2}\left(a^{2}\right)

\nu _{2}\left(b^{2}\right)+1=\nu _{2}\left(a^{2}\right)

2\nu _{2}(b)+1=2\nu _{2}(a)

\nu _{2}(a)-\nu _{2}(b)={\frac {1}{2}}

Поскольку оценки 2-го порядка являются целыми числами, разность не может быть равна рациональной ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ . Следовательно, от противного √ 2 не является рациональным.

Более конкретно, поскольку оценка 2 b ² является странным, а оценка ² четно, они должны быть различными целыми числами, так что $\left|2b^{2}-a^{2}\right|\geq 1$ . Тогда простой расчет дает нижнюю границу ${\textstyle {\frac {1}{3b^{2}}}}$ ради разницы $\left|{\sqrt {2}}-a/b\right|$ , что дает прямое доказательство иррациональности, не опирающееся на закон исключенного третьего . ^[6]

Геометрическая топология

В геометрической топологии многие свойства многообразий зависят только от их размерности по модулю 4 или по модулю 8; таким образом, многообразия одно- и двучетной размерности (4k +2 и 4k) часто изучают как классы . Например, двумерные многообразия имеют симметричную невырожденную билинейную форму средней размерности на своей группе когомологий , которая, таким образом, имеет целочисленную сигнатуру . И наоборот, одночетномерные многообразия имеют невырожденную кососимметричную билинейную форму в своем среднем измерении; если определить квадратичное уточнение этого до квадратичной формы (как на оснащенном многообразии ), можно получить инвариант Arf как инвариант по модулю 2. Нечетномерные многообразия, напротив, не имеют этих инвариантов, хотя в теории алгебраической хирургии можно определить более сложные инварианты. Эта 4-кратная и 8-кратная периодичность в структуре многообразий связана с 4-кратной периодичностью L-теории и 8-кратной периодичностью вещественной топологической K-теории , которая известна как периодичность Ботта .

Если компактное ориентированное гладкое спиновое многообразие имеет размерность n ≡ 4 по модулю 8 или ровно ν ₂ ( n ) = 2 , то его сигнатура является целым числом, кратным 16. ^[7]

Другие выступления

Одно четное число не может быть мощным числом . Его нельзя представить в виде разности двух квадратов . Однако одно четное число можно представить как разность двух пронических чисел или двух мощных чисел. ^[8]

В теории групп это относительно просто. ^[9] показать, что порядок неабелевой конечной простой группы не может быть однозначно четным числом. Фактически, по теореме Фейта–Томпсона она также не может быть нечетной, поэтому каждая такая группа имеет вдвойне четный порядок.

Цепная дробь Ламберта для функции тангенса дает следующую цепную дробь, включающую положительные одинарные четные числа: ^[10]

\tanh {\frac {1}{2}}={\frac {e-1}{e+1}}=0+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}

Это выражение приводит к аналогичным представлениям $e$ . ^[11]

В органической химии правило Хюккеля , также известное как правило 4n + 2, предсказывает, что система циклических π-связей , содержащая одно четное число p-электронов, будет ароматической . ^[12]

Связанные классификации

Хотя 2-й порядок может определить, когда целое число соответствует 0 (по модулю 4) или 2 (по модулю 4), он не может определить разницу между 1 (по модулю 4) или 3 (по модулю 4). Это различие имеет некоторые интересные следствия, такие как теорема Ферма о суммах двух квадратов .

См. также

p-адический порядок

Ссылки

^ Евклид; Йохан Людвиг Хейберг (1908). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Университетское издательство. стр. 281–284 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Лендьел, Тамас (1994). «Характеристика 2-адического порядка логарифма» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 32 : 397–401.
^ URL = https://www.parleybot.com/p/double-triple-quadruple-even-number.html | Онлайн-калькулятор нескольких событий
^ Нуньес, Терезинья и Питер Брайант (1996). Дети занимаются математикой . Блэквелл. стр. 98–99 . ISBN 0-631-18472-4 .
^ Эверсон, Фред (2006). Руководство для игрока в баре по победе в дартс . Траффорд. п. 39. ИСБН 1-55369-321-3 .
^ Бенсон, Дональд К. (2000). Момент доказательства: математические прозрения . Оксфорд УП. стр. 46–47. ISBN 0-19-513919-4 .
^ Ошанин, Серж, «Сигнатура по модулю 16, обобщенные инварианты Кервера и характеристические числа в вещественной K-теории», Mém. Соц. Математика. Франция 1980/81, нет. 5, 142 стр. МИСТЕР 1809832
^ * Макдэниел, Уэйн Л. (1982). «Представление каждого целого числа как разности мощных чисел». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 20 : 85–87.
^ См., например: Бурбаки (1989). Элементы математики: Алгебра I: Главы 1–3 (переиздание английского перевода 1974 года в мягкой обложке). Спрингер. стр. 154–155. ISBN 3-540-64243-9 .
^ Хайрер, Эрнст и Герхард Ваннер (1996). Анализ по истории . Спрингер. стр. 69–78 . ISBN 0-387-94551-2 .
^ Ланг, Серж (1995). Введение в диофантовые приближения . Спрингер. стр. 69–73. ISBN 0-387-94456-7 .
^ Уэллетт, Роберт Дж. и Дж. Дэвид Рон (1996). Органическая химия . Прентис Холл. п. 473. ИСБН 0-02-390171-3 .

Внешние ссылки

одно четное число в PlanetMath
Последовательность OEIS A016825 (номера соответствуют 2 по модулю 4)
Последовательность OEIS A008586 (кратно 4)

[1] Евклид; Йохан Людвиг Хейберг (1908). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Университетское издательство. стр. 281–284 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2] Лендьел, Тамас (1994). «Характеристика 2-адического порядка логарифма» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 32 : 397–401.

[3] URL = https://www.parleybot.com/p/double-triple-quadruple-even-number.html | Онлайн-калькулятор нескольких событий

[4] Нуньес, Терезинья и Питер Брайант (1996). Дети занимаются математикой . Блэквелл. стр. 98–99 . ISBN 0-631-18472-4 .

[5] Эверсон, Фред (2006). Руководство для игрока в баре по победе в дартс . Траффорд. п. 39. ИСБН 1-55369-321-3 .

[6] Бенсон, Дональд К. (2000). Момент доказательства: математические прозрения . Оксфорд УП. стр. 46–47. ISBN 0-19-513919-4 .

[7] Ошанин, Серж, «Сигнатура по модулю 16, обобщенные инварианты Кервера и характеристические числа в вещественной K-теории», Mém. Соц. Математика. Франция 1980/81, нет. 5, 142 стр. МИСТЕР 1809832

[8] * Макдэниел, Уэйн Л. (1982). «Представление каждого целого числа как разности мощных чисел». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 20 : 85–87.

[9] См., например: Бурбаки (1989). Элементы математики: Алгебра I: Главы 1–3 (переиздание английского перевода 1974 года в мягкой обложке). Спрингер. стр. 154–155. ISBN 3-540-64243-9 .

[10] Хайрер, Эрнст и Герхард Ваннер (1996). Анализ по истории . Спрингер. стр. 69–78 . ISBN 0-387-94551-2 .

[11] Ланг, Серж (1995). Введение в диофантовые приближения . Спрингер. стр. 69–73. ISBN 0-387-94456-7 .

[12] Уэллетт, Роберт Дж. и Дж. Дэвид Рон (1996). Органическая химия . Прентис Холл. п. 473. ИСБН 0-02-390171-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]