скобка Пуассона

Симеон Дени Пуассон

В математике и классической механике скобка Пуассона — важная бинарная операция в гамильтоновой механике , играющая центральную роль в уравнениях движения Гамильтона, которые управляют эволюцией во времени гамильтоновой динамической системы . Скобка Пуассона также выделяет определенный класс преобразований координат, называемых каноническими преобразованиями , которые отображают канонические системы координат в канонические системы координат. «Каноническая система координат» состоит из канонических переменных положения и импульса (ниже обозначенных $q_{i}$ и $p_{i}$соответственно), которые удовлетворяют каноническим скобочным соотношениям Пуассона. Набор возможных канонических преобразований всегда очень богат. Например, часто можно выбрать сам гамильтониан $H=H(q,p,t)$ как одна из новых канонических координат импульса.

В более общем смысле скобка Пуассона используется для определения алгебры Пуассона которой является алгебра функций на многообразии Пуассона , частным случаем . Есть и другие общие примеры: это встречается в теории алгебр Ли , где тензорная алгебра алгебры Ли образует алгебру Пуассона; Подробное описание того, как это происходит, приведено в статье об универсальной обертывающей алгебре . Квантовые деформации универсальной обертывающей алгебры приводят к понятию квантовых групп .

Все эти объекты названы в честь Симеона Дени Пуассона . Он представил скобку Пуассона в своем трактате по механике 1809 года.

Характеристики

Учитывая две функции f и g , которые зависят от фазового пространства и времени, их скобка Пуассона $\{f,g\}$ — еще одна функция, зависящая от фазового пространства и времени. Следующие правила справедливы для любых трех функций $f,\,g,\,h$ фазового пространства и времени:

Антикоммутативность

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

Билинейность

$\{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R}$

Правило Лейбница

$\{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}$

Личность Якоби

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

Также, если функция $k$ постоянен в фазовом пространстве (но может зависеть от времени), тогда $\{f,\,k\}=0$ для любого $f$.

Определение в канонических координатах

В канонических координатах (также известных как координаты Дарбу ) $(q_{i},\,p_{i})$ на фазовом пространстве по двум функциям $f(p_{i},\,q_{i},t)$ и $g(p_{i},\,q_{i},t)$, скобка Пуассона принимает вид $$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).$$

Скобки Пуассона канонических координат имеют вид $${\begin{aligned}\{q_{i},q_{j}\}&=0\\\{p_{i},p_{j}\}&=0\\\{q_{i},p_{j}\}&=\delta _{ij}\end{aligned}}$$где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Уравнения движения Гамильтона

Уравнения движения Гамильтона имеют эквивалентное выражение в терминах скобки Пуассона. Наиболее наглядно это можно продемонстрировать в явной системе координат. Предположим, что $f(p,q,t)$ является функцией на траекторном многообразии решения. Тогда из правила цепочки многих переменных : $${\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.$$

Далее можно взять $p=p(t)$ и $q=q(t)$ быть решениями уравнений Гамильтона ; то есть, $${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}$$

Затем $${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}$$

Таким образом, временная эволюция функции $f$ на симплектическом многообразии можно задать как однопараметрическое семейство симплектоморфизмов ( т. е. канонических преобразований , диффеоморфизмов, сохраняющих площадь), со временем $t$ будучи параметром: гамильтонианово движение — это каноническое преобразование, порожденное гамильтонианом. То есть в нем сохранены скобки Пуассона, так что в любой момент $t$ в решении уравнений Гамильтона $$q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),$$могут служить координатами скобки. Скобки Пуассона являются каноническими инвариантами .

Сбрасывая координаты, $${\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.$$

Оператор в конвективной части производной $i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}$, иногда называют лиувиллианом (см. теорему Лиувилля (гамильтониан) ).

Матрица Пуассона в канонических преобразованиях

Основная статья: Каноническое преобразование

Понятие скобок Пуассона можно расширить до понятия матриц, определив матрицу Пуассона.

Рассмотрим следующее каноническое преобразование: $$\eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}$$Определение ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$матрица Пуассона определяется как ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$, где $J$ представляет собой симплектическую матрицу согласно тем же соглашениям, которые используются для упорядочения набора координат. Из определения следует, что: $${\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.$$

Матрица Пуассона удовлетворяет следующим известным свойствам: $${\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}$$

где ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$ известна как матрица Лагранжа, элементы которой соответствуют скобкам Лагранжа . Последнее тождество также можно сформулировать следующим образом: $$\sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}$$Обратите внимание, что здесь суммирование включает как обобщенные координаты, так и обобщенный импульс.

Инвариантность скобки Пуассона можно выразить как: ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$, что непосредственно приводит к симплектическому условию: ${\textstyle MJM^{T}=J}$.

Константы движения

Интегрируемая система будет иметь константы движения помимо энергии . Такие константы движения будут коммутировать с гамильтонианом под скобкой Пуассона. Предположим, некоторая функция $f(p,q)$ является константой движения. Это означает, что если $p(t),q(t)$ является траекторией или решением уравнений движения Гамильтона , то $$0={\frac {df}{dt}}$$по этой траектории. Затем $$0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}$$где, как и выше, промежуточный шаг следует за применением уравнений движения, и мы предполагаем, что $f$ явно не зависит от времени. Это уравнение известно как уравнение Лиувилля . Содержание теоремы Лиувилля состоит в том, что эволюция во времени меры, заданной функцией распределения, $f$ определяется приведенным выше уравнением.

Если скобка Пуассона $f$ и $g$ исчезает ( $\{f,g\}=0$), затем $f$ и $g$ Говорят, что они находятся в инволюции . Чтобы гамильтонова система была полностью интегрируемой , необходимо $n$ независимые константы движения должны находиться во взаимной инволюции , где $n$ это число степеней свободы.

Кроме того, согласно теореме Пуассона , если две величины $A$ и $B$ явно не зависят от времени ( $A(p,q),B(p,q)$) константы движения, как и их скобка Пуассона $\{A,\,B\}$. Однако это не всегда дает полезный результат, поскольку число возможных констант движения ограничено ( $2n-1$ для системы с $n$ степеней свободы), поэтому результат может быть тривиальным (константа или функция $A$ и $B$.)

Скобка Пуассона на бескоординатном языке

Позволять $M$ быть симплектическим многообразием , то есть многообразием, снабженным симплектической формой : 2-формой $\omega$ который является одновременно замкнутым (т. е. его внешняя производная $d\omega$ исчезает) и невырожден . Например, в описанном выше лечении возьмите $M$ быть $\mathbb {R} ^{2n}$ и возьми $$\omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.$$

Если $\iota _{v}\omega$ — это внутренний продукт или операция сжатия , определяемая формулой $(\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)$, то невырожденность эквивалентна утверждению, что для каждой одноформы $\alpha$ существует уникальное векторное поле $\Omega _{\alpha }$ такой, что $\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha$. Альтернативно, $\Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)$. Тогда, если $H$ является гладкой функцией на $M$, векторное поле Гамильтона $X_{H}$ можно определить как $\Omega _{dH}$. Это легко увидеть $${\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}$$

Скобка Пуассона $\ \{\cdot ,\,\cdot \}$ на ( M , ω ) — билинейная операция над дифференцируемыми функциями , определяемая формулой $\{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})$; скобка Пуассона двух функций на M сама является функцией на M . Скобка Пуассона антисимметрична, потому что: $$\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.$$

Более того,

$${\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\&=(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_{g}}f.\end{aligned}}$$ ( 1 )

Здесь X _g f обозначает векторное поле X _g, примененное к функции f как производная по направлению, а ${\mathcal {L}}_{X_{g}}f$ обозначает (полностью эквивалентную) производную Ли функции f .

Если α — произвольная одноформа на M , векторное поле Ω _α порождает (по крайней мере локально) поток $\phi _{x}(t)$ удовлетворяющее граничному условию $\phi _{x}(0)=x$ и дифференциальное уравнение первого порядка $${\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.$$

The $\phi _{x}(t)$ будут симплектоморфизмами ( каноническими преобразованиями ) для каждого t как функция от x тогда и только тогда, когда ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0$; когда это верно, Ω _α называется симплектическим векторным полем . Вспоминая личность Картана ${\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega$ и d ω = 0 , то отсюда следует, что ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha$. Следовательно, Ω _α — симплектическое векторное поле тогда и только тогда, когда α — замкнутая форма . С $d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0$, отсюда следует, что каждое гамильтоново векторное поле X _f является симплектическим векторным полем и что гамильтонов поток состоит из канонических преобразований. Из (1) выше при гамильтоновом потоке X _H , $${\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.$$

Это фундаментальный результат гамильтоновой механики, определяющий эволюцию во времени функций, определенных в фазовом пространстве. Как отмечалось выше, когда { f , H } = 0 , f является константой движения системы. Кроме того, в канонических координатах (с $\{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0$ и $\{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}$), из этой формулы непосредственно следуют уравнения Гамильтона для временной эволюции системы.

также следует Из (1) , что скобка Пуассона является дифференцированием ; то есть он удовлетворяет некоммутативной версии правила произведения Лейбница :

$$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},$$ и $$\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$$ ( 2 )

Скобка Пуассона тесно связана со скобкой Ли гамильтоновых векторных полей. Поскольку производная Ли является выводом, $${\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .$$

Таким образом, если v и w симплектичны, используя ${\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0$, личность Картана и тот факт, что $\iota _{w}\omega$ представляет собой закрытую форму, $$\iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).$$

Отсюда следует, что $[v,w]=X_{\omega (w,v)}$, так что

$$[X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}.$$ ( 3 )

Таким образом, скобка Пуассона на функциях соответствует скобке Ли ассоциированных гамильтоновых векторных полей. Мы также показали, что скобка Ли двух симплектических векторных полей является гамильтоновым векторным полем и, следовательно, также является симплектической. На языке абстрактной алгебры симплектические векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли гладких векторных полей на M , а гамильтоновы векторные поля образуют идеал этой подалгебры. (бесконечномерной) Ли симплектоморфизмов группы M Симплектические векторные поля представляют собой алгебру Ли .

Широко распространено мнение, что тождество Якоби для скобки Пуассона $$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$следует из соответствующего тождества для скобки Ли векторных полей, но это верно лишь с точностью до локально постоянной функции. Однако, чтобы доказать тождество Якоби для скобки Пуассона, достаточно показать , что: $$\operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]$$где оператор $\operatorname {ad} _{g}$ на гладких функциях на M определяется формулой $\operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}$ а скобка в правой части — коммутатор операторов, $[\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A}$. В силу (1) оператор $\operatorname {ad} _{g}$ равен оператору X _g . Доказательство тождества Якоби следует из (3), поскольку с точностью до множителя —1 скобка Ли векторных полей является всего лишь их коммутатором как дифференциальных операторов.

Алгебра , гладких функций на M вместе со скобкой Пуассона образует алгебру Пуассона поскольку она является алгеброй Ли под скобкой Пуассона, что дополнительно удовлетворяет правилу Лейбница (2) . Мы показали, что каждое симплектическое многообразие является многообразием Пуассона , то есть многообразием с оператором «фигурной скобки» на гладких функциях таким, что гладкие функции образуют алгебру Пуассона. Однако не каждое пуассоновское многообразие возникает таким образом, поскольку пуассоновы многообразия допускают вырождение, которое не может возникнуть в симплектическом случае.

Результат о сопряженных импульсах

Учитывая гладкое векторное поле $X$ в конфигурационном пространстве пусть $P_{X}$ быть его сопряженным импульсом . Отображение сопряженного момента представляет собой алгебры Ли антигомоморфизм из скобки Ли в скобку Пуассона: $$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.$$

Этот важный результат заслуживает краткого доказательства. Напишите векторное поле $X$ в точку $q$ в пространстве конфигурации как $$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$$где ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ — местная система координат. Сопряженный импульс $X$ имеет выражение $$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$$где $p_{i}$ – функции импульса, сопряженные с координатами. Тогда в какой-то момент $(q,p)$ в фазовом пространстве , $${\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}$$

Вышесказанное справедливо для всех $(q,p)$, давая желаемый результат.

Квантование

Скобки Пуассона деформируются в скобки Мойала при квантовании , то есть они обобщаются на другую алгебру Ли, алгебру Мойала , или, что то же самое в гильбертовом пространстве , на квантовые коммутаторы . Вигнера-Инёню Их групповое сжатие (классический предел ħ → 0 ) дает указанную выше алгебру Ли.

Чтобы сформулировать это более явно и точно, универсальная обертывающая алгебра алгебры Гейзенберга является алгеброй Вейля (по модулю отношения, согласно которому центр является единицей). Тогда произведение Мойала является частным случаем звездчатого произведения в алгебре символов. Явное определение алгебры символов и звездного произведения дано в статье об универсальной обертывающей алгебре .

См. также

• Коммутатор
• Кронштейн Дирака
• скобка Лагранжа
• Кронштейн Мойал
• Кронштейн Пайерлса
• Фазовое пространство
• Алгебра Пуассона
• Кольцо Пуассона
• Супералгебра Пуассона
• Суперскобка Пуассона

Ссылки

• Арнольд, Владимир Иванович (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-96890-2 .
• Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1982). Механика . Курс теоретической физики . Том. 1 (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2896-9 .
• Карасев Михаил Владимирович; Маслов, Виктор П. (1993). Нелинейные скобки Пуассона, Геометрия и квантование . Переводы математических монографий. Том. 119. Перевод Сосинского Алексея; Шишкова, М.А. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0821887967 . МР   1214142 .
• Моретти, Вальтер (2023). Аналитическая механика, Классическая, Лагранжева и Гамильтонова механика, Теория стабильности, Специальная теория относительности . УНИТЕКСТ. Том. 150. Спрингер. ISBN  978-3-031-27612-5 .
• Пуассон, Симеон-Дени (1809). «Память об изменении произвольных констант в вопросах механики» (PDF) . Журнал Политехнической школы, 15-я тетрадь . 8 :266-344.
• Марль, Шарль-Мишель (2009). «Начало симплектической геометрии: работы Лагранжа и Пуассона в 1808-1810 годах». Письма по математической физике . 90 :3-21. arXiv : 0902.0685 . дои : 10.1007/s11005-009-0347-y .

Внешние ссылки

• «Скобки Пуассона» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн . «скобка Пуассона» . Математический мир .