Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование — это замена канонических координат ( q , p ) → ( Q , P ) , сохраняющая форму уравнений Гамильтона . Иногда это называют инвариантностью формы . Хотя уравнения Гамильтона сохраняются, им не обязательно сохранять явную форму самого гамильтониана . Канонические преобразования полезны сами по себе, а также составляют основу уравнений Гамильтона-Якоби (полезный метод расчета сохраняющихся величин ) и теоремы Лиувилля (которая сама по себе является основой классической статистической механики ).

Поскольку лагранжева механика основана на обобщенных координатах , преобразования координат q → Q не влияют на вид уравнений Лагранжа и, следовательно, не влияют на вид уравнений Гамильтона , если импульс одновременно изменяется преобразованием Лежандра в

$$P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,$$

где $\left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}$ — новые координаты, сгруппированные в канонические сопряженные пары импульсов $P_{i}$ и соответствующие должности $Q_{i},$ для $i=1,2,\ldots \ N,$ с $N$ — число степеней свободы в обеих системах координат.

Следовательно, преобразования координат (также называемые преобразованиями точек ) являются разновидностью канонических преобразований. Однако класс канонических преобразований гораздо шире, поскольку старые обобщенные координаты, импульсы и даже время могут быть объединены в новые обобщенные координаты и импульсы. Канонические преобразования, которые явно не включают время, называются ограниченными каноническими преобразованиями (во многих учебниках рассматривается только этот тип).

Современные математические описания канонических преобразований рассматриваются в рамках более широкой темы симплектоморфизма , которая охватывает предмет с расширенными математическими предпосылками, такими как кокасательные расслоения , внешние производные и симплектические многообразия .

Обозначения

Переменные, выделенные жирным шрифтом, такие как q, представляют собой список N обобщенных координат , которые не нужно трансформировать, как вектор при вращении , и аналогичным образом p представляет соответствующий обобщенный импульс , например,

$${\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}$$

Точка над переменной или списком означает производную по времени, например:

$${\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}$$

и равенства считаются выполненными для всех координат, например:

$${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (\forall i).$$

Обозначение скалярного произведения между двумя списками с одинаковым количеством координат является сокращением суммы произведений соответствующих компонентов, например:

$$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$$

Скалярное произведение (также известное как «внутреннее произведение») отображает два списка координат в одну переменную, представляющую одно числовое значение. Координаты после преобразования аналогично помечены Q для преобразованных обобщенных координат и P для преобразованного обобщенного импульса.

Условия

Ограниченные канонические преобразования — это преобразования координат, при которых преобразованные координаты Q и P не имеют явной зависимости от времени, т.е. ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ и ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$. Функциональная форма уравнений Гамильтона имеет вид

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}$$

В общем, преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) не сохраняет форму уравнений Гамильтона , но при отсутствии зависимости от времени в преобразовании возможны некоторые упрощения. Следуя формальному определению канонического преобразования, можно показать, что для этого типа преобразования новый гамильтониан (иногда называемый каминианом ) можно выразить как:

$$K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)$$

где он отличается частичной производной по времени функции, известной как генератор, которая сводится к тому, что она является функцией времени только для ограниченных канонических преобразований.

Помимо того, что форма гамильтониана остается неизменной, он также позволяет использовать неизмененный гамильтониан в уравнениях движения Гамильтона благодаря указанной выше форме:

$${\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}$$

Хотя канонические преобразования относятся к более общему набору преобразований фазового пространства, соответствующему менее разрешительным преобразованиям гамильтониана, они обеспечивают более простые условия для получения результатов, которые можно далее обобщить. Все следующие условия, за исключением условия билинейной инвариантности, могут быть обобщены на канонические преобразования, в том числе временные.

Косвенные условия

Поскольку ограниченные преобразования не имеют явной зависимости от времени (по определению), производная по времени новой обобщенной координаты Q _m равна

$${\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}$$

где {⋅, ⋅} — скобка Пуассона .

Аналогично, для тождества сопряженного импульса P _m с использованием формы камильтониана следует, что:

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}$$

Из-за вида гамильтоновых уравнений движения

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}$$

если преобразование является каноническим, два полученных результата должны быть равны, что приводит к уравнениям:

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$$

Аналогичное рассуждение для обобщенных импульсов P _m приводит к двум другим системам уравнений:

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$$

Это косвенные условия проверки каноничности данного преобразования.

Симплектическое условие

Иногда гамильтоновы соотношения представляются как:

$${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$$

Где ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

и ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$. Аналогично, пусть ${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$.

Из соотношения частных производных, преобразующих ${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$ соотношение в терминах частных производных с новыми переменными дает ${\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$ где ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$. Аналогично для ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$,

$${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H$$

Из-за вида гамильтоновых уравнений для ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$,

$${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H$$

где ${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$ может использоваться из-за формы Камильтониана. Приравнивание этих двух уравнений дает симплектическое условие:

$$MJM^{T}=J$$

Левая часть вышеизложенного называется матрицей Пуассона $\varepsilon$, обозначенный как ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$. Аналогично, матрица Лагранжа $\eta$ может быть построен как ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$. Можно показать, что симплектическое условие также эквивалентно условию ${\textstyle M^{T}JM=J}$ с помощью ${\textstyle J^{-1}=-J}$ свойство. Набор всех матриц ${\textstyle M}$ удовлетворяющие симплектическим условиям, образуют симплектическую группу . Симплектические условия эквивалентны косвенным условиям, поскольку оба они приводят к уравнению ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$, который используется в обоих выводах.

скобки

Скобка Пуассона , которая определяется как:

$$\{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)$$

можно представить в матричной форме как:

$$\{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)$$

Следовательно, использование отношений частных производных и симплектического условия дает:

$$\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }$$

Симплектическое состояние можно также восстановить, взяв ${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$ и ${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$ что показывает, что ${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$. Таким образом, эти условия эквивалентны симплектическим условиям. Кроме того, можно видеть, что ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$, что также является результатом явного вычисления матричного элемента путем его расширения.

Инвариантность

Скобка Лагранжа , которая определяется как:

$$[u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)$$

можно представить в матричной форме как:

$$[u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)$$

Используя аналогичный вывод, получаем:

$$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }$$

Симплектическое состояние можно также восстановить, взяв ${\textstyle u=\eta _{i}}$ и ${\textstyle v=\eta _{j}}$ что показывает, что ${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$. Таким образом, эти условия эквивалентны симплектическим условиям. Кроме того, можно видеть, что ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$, что также является результатом явного вычисления матричного элемента путем его расширения.

Условия билинейной инвариантности

Этот набор условий применим только к ограниченным каноническим преобразованиям или каноническим преобразованиям, которые не зависят от переменной времени.

Рассмотрим произвольные вариации двух видов в одной паре обобщенной координаты и соответствующего импульса:

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

Площадь бесконечно малого параллелограмма определяется выражением:

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

Это следует из ${\textstyle M^{T}JM=J}$ симплектическое условие сохранения бесконечно малой площади при каноническом преобразовании:

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

Обратите внимание, что новые координаты не обязательно должны быть полностью ориентированы в одной координатной плоскости импульса.

Следовательно, условие в более общем виде формулируется как инвариантность формы ${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$ при каноническом преобразовании, расширенном как:

$$\sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ$$

Если вышеизложенное будет соблюдаться для любых произвольных вариаций, то это будет возможно только при соблюдении косвенных условий. Форма уравнения, ${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$ также известен как симплектическое произведение векторов ${\textstyle {v}}$ и ${\textstyle w}$ а условие билинейной инвариантности можно сформулировать как локальное сохранение симплектического произведения.

Теорема Лиувилля

Косвенные условия позволяют доказать теорему Лиувилля , которая утверждает, что объем в фазовом пространстве сохраняется при канонических преобразованиях, т. е.

$$\int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P}$$

По исчислению последний интеграл должен равняться первому, умноженному на определитель якобиана M.

$$\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p}$$

Где ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

Использование свойства «разделения» якобианов дает

$$M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.$$

Устранение повторяющихся переменных дает

$$M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.$$

Применение косвенных условий выше дает $\operatorname {det} (M)=1$.

Подход с использованием порождающих функций

Основная статья: Производящая функция (физика)

Чтобы гарантировать допустимое преобразование между ( q , p , H ) и ( Q , P , K ) , мы можем прибегнуть к подходу прямой производящей функции . Оба набора переменных должны подчиняться принципу Гамильтона . Это интеграл действия по лагранжианам. ${\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ и ${\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$, полученное из соответствующего гамильтониана с помощью «обратного» преобразования Лежандра , должно быть стационарным в обоих случаях (чтобы можно было использовать уравнения Эйлера – Лагранжа для получения гамильтоновых уравнений движения обозначенного вида; как это показано, например, здесь ):

$${\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}$$

Один из способов обоих вариационных интегральных выполнения равенств состоит в том, чтобы иметь

$$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$$

Лагранжианы не уникальны: всегда можно умножить на константу λ и добавить полную производную по времени. dG / dt и дают те же уравнения движения (как обсуждалось в Wikibooks ). Обычно масштабный коэффициент λ устанавливается равным единице; Канонические преобразования, для которых λ ≠ 1, называются расширенными каноническими преобразованиями . dG / dt сохраняется, иначе проблема была бы тривиальной, и новые канонические переменные не могли бы отличаться от старых.

Здесь G — производящая функция одной старой канонической координаты ( q или p ), одной новой канонической координаты ( Q или P ) и (возможно) времени t . Таким образом, существует четыре основных типа производящих функций (хотя могут существовать и смеси этих четырех типов) в зависимости от выбора переменных. Как будет показано ниже, производящая функция будет определять преобразование от старых канонических координат к новым , и любое такое преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) гарантированно будет каноническим.

Подробно обсуждаются различные производящие функции и их свойства, представленные в таблице ниже:

Свойства четырех основных канонических преобразований

Генерирующая функция	Генерация производных функций		Преобразованный гамильтониан	Тривиальные случаи
$G=G_{1}(q,Q,t)$	$p={\frac {\partial G_{1}}{\partial q}}$	$P=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial Q}}$	${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}}$	$G_{1}=qQ$	$Q=p$	$P=-q$
$G=G_{2}(q,P,t)-QP$	$p={\frac {\partial G_{2}}{\partial q}}$	$Q={\frac {\partial G_{2}}{\partial P}}$		$G_{2}=qP$	$Q=q$	$P=p$
$G=G_{3}(p,Q,t)+qp$	$q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}$	$P=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}$		$G_{3}=pQ$	$Q=-q$	$P=-p$
$G=G_{4}(p,P,t)+qp-QP$	$q=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial p}}$	$Q={\frac {\partial G_{4}}{\partial P}}$		$G_{1}=pP$	$Q=p$	$P=-q$

Производящая функция типа 1

Производящая функция 1-го типа G ₁ зависит только от старых и новых обобщенных координат

$$G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)$$

Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширим определяющее уравнение, приведенное выше.

$$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$$\ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\$$

определить отношения между новыми обобщенными координатами Q и старыми каноническими координатами ( q , p ) . В идеале можно инвертировать эти соотношения и получить формулы для каждого Q _k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для Q -координат во вторую систему N уравнений

$$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных импульсов P в старых канонических координатах ( q , p ) . Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты ( q , p ) как функции новых канонических координат ( Q , P ) . Подстановка обратных формул в итоговое уравнение

$$K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$$

дает формулу для K как функции новых канонических координат ( Q , P ) .

На практике эта процедура проще, чем кажется, поскольку производящая функция обычно проста. Например, пусть

$$G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q}$$

Это приводит к замене обобщенных координат на импульсы и наоборот.

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}$$

и К = ЧАС . Этот пример показывает, насколько независимы координаты и импульсы в гамильтоновой формулировке; они являются эквивалентными переменными.

Генерирующая функция типа 2

Производящая функция второго типа $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ зависит только от старых обобщенных координат и новых обобщенных импульсов

$$G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$$

где $-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ члены представляют собой преобразование Лежандра , позволяющее изменить правую часть приведенного ниже уравнения. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширим определяющее уравнение, приведенное выше.

$$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$$

Поскольку старые координаты и новые импульсы независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$$

определяют отношения между новыми обобщенными импульсами P и старыми каноническими координатами ( q , p ) . В идеале можно инвертировать эти соотношения и получить формулы для каждого P _k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для P -координат во вторую систему N уравнений

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных координат Q через старые канонические координаты ( q , p ) . Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты ( q , p ) как функции новых канонических координат ( Q , P ) . Подстановка перевернутых формул в итоговое уравнение

$$K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$$

дает формулу для K как функции новых канонических координат ( Q , P ) .

На практике эта процедура проще, чем кажется, поскольку производящая функция обычно проста. Например, пусть

$$G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P}$$

где g — набор N функций. Это приводит к точечному преобразованию обобщенных координат

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)$$

Производящая функция типа 3

Производящая функция 3-го типа $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ зависит только от старых обобщенных импульсов и новых обобщенных координат

$$G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p}$$

где $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p}$ члены представляют собой преобразование Лежандра, позволяющее изменить левую часть приведенного ниже уравнения. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширим определяющее уравнение, приведенное выше.

$$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$$

определить отношения между новыми обобщенными координатами Q и старыми каноническими координатами ( q , p ) . В идеале можно инвертировать эти соотношения и получить формулы для каждого Q _k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для Q -координат во вторую систему N уравнений

$$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных импульсов P в старых канонических координатах ( q , p ) . Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты ( q , p ) как функции новых канонических координат ( Q , P ) . Подстановка обратных формул в итоговое уравнение

$$K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$$

дает формулу для K как функции новых канонических координат ( Q , P ) .

На практике эта процедура проще, чем кажется, поскольку производящая функция обычно проста.

Генерирующая функция типа 4

Производящая функция 4-го типа $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ зависит только от старого и нового обобщенных импульсов

$$G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$$

где $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ члены представляют собой преобразование Лежандра, позволяющее изменить обе части приведенного ниже уравнения. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширим определяющее уравнение, приведенное выше.

$$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$$

определяют отношения между новыми обобщенными импульсами P и старыми каноническими координатами ( q , p ) . В идеале можно инвертировать эти соотношения и получить формулы для каждого P _k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для P -координат во вторую систему N уравнений

$$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных координат Q через старые канонические координаты ( q , p ) . Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты ( q , p ) как функции новых канонических координат ( Q , P ) . Подстановка перевернутых формул в итоговое уравнение

$$K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$$

дает формулу для K как функции новых канонических координат ( Q , P ) .

Ограничения на создание функций

Например, используя производящую функцию второго рода: ${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$ и ${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$, первая система уравнений, состоящая из переменных ${\textstyle \mathbf {p} }$, ${\textstyle \mathbf {q} }$ и ${\textstyle \mathbf {P} }$ нужно перевернуть, чтобы получить ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$. Этот процесс возможен, когда матрица, определяемая формулой ${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$ не является особенным.

$$\left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}$$

Следовательно, на производительные функции накладываются ограничения на наличие матриц: ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$, ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$, ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$ и ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$, будучи несингулярным.

Ограничения производящих функций

С ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ неособа, то это означает, что ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$ также несингулярен. Поскольку матрица ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ является обратным ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$, преобразования производящих функций типа 2 всегда имеют неособый ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ матрица. Аналогично можно утверждать, что производящие функции типа 1 и типа 4 всегда имеют неособую ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ матрица, тогда как производящие функции типа 2 и типа 3 всегда имеют неособую ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ матрица. Следовательно, канонические преобразования, возникающие в результате этих производящих функций, не являются полностью общими.

Другими словами, поскольку ( Q , P ) и ( q , p ) являются каждая 2 N независимыми функциями, отсюда следует, что для того, чтобы иметь производящую функцию вида ${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ и $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ или $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ и $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$, соответствующие матрицы Якобиана ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ и ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ ограничены тем, что они не являются сингулярными, гарантируя, что производящая функция является функцией 2 N + 1 независимых переменных. Однако, как особенность канонических преобразований, всегда можно выбрать 2 N таких независимых функций из наборов ( q , p ) или ( Q , P ) , чтобы сформировать представление производящей функции канонических преобразований, включая переменную времени. Следовательно, можно доказать, что каждое конечное каноническое преобразование может быть задано как замкнутая, но неявная форма, являющаяся вариантом данных четырех простых форм.

Условия канонического преобразования

отношения

От: $K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}$, рассчитать ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$:

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}$$

Поскольку левая часть ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ которая не зависит от динамики частиц, приравнивая коэффициенты ${\textstyle {\dot {q}}}$ и ${\textstyle {\dot {p}}}$ до нуля, получены канонические правила преобразования. Этот шаг эквивалентен приравниванию левой части к ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$.

Сходным образом:

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}$$

Аналогично правила канонического преобразования получаются путем приравнивания левой части к ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$.

Два вышеуказанных отношения можно объединить в матричной форме следующим образом: ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ (который также сохранит ту же форму для расширенного канонического преобразования), где результат ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H}$, был использован. Поэтому канонические соотношения преобразования называются эквивалентными ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ в этом контексте.

Канонические соотношения трансформации теперь можно переформулировать, включив в них зависимость от времени:

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$$

С ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ и ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$, если Q и P не зависят явно от времени, ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$ можно взять. Таким образом, анализ ограниченных канонических преобразований согласуется с этим обобщением.

Симплектическое условие

Применяя преобразование формулы координат для $\nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H$, в уравнениях гамильтониана дает:

$${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$$

Аналогично для ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$:

$${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$$

или:

$${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$$

Если последние члены каждого уравнения сокращаются из-за ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ условие от канонических преобразований. Следовательно, оставляя симплектическое отношение: ${\textstyle MJM^{T}=J}$ что также эквивалентно условию ${\textstyle M^{T}JM=J}$. Из двух приведенных выше уравнений следует, что из условия симплектики следует уравнение ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$, из которого можно восстановить косвенные условия. Таким образом, можно сказать, что симплектические условия и косвенные условия эквивалентны в контексте использования производящих функций.

скобки Пуассона

С ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ и ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ где в последних равенствах использовано условие симплектики. С использованием ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$, равенства ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }}$ и ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}$ из которых следует инвариантность скобок Пуассона и Лагранжа.

преобразование

отношения

Решив для:

$$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$$

с различными формами производящей функции связь между K и H выглядит как ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ вместо этого, что также относится к ${\textstyle \lambda =1}$ случай.

Все результаты, представленные ниже, можно получить также заменой ${\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q}$, ${\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p}$ и ${\textstyle H\rightarrow {\lambda }H}$ от известных решений, так как сохраняет форму уравнений Гамильтона . Поэтому говорят, что расширенные канонические преобразования являются результатом канонического преобразования ( ${\textstyle \lambda =1}$) и тривиальное каноническое преобразование ( ${\textstyle \lambda \neq 1}$), который имеет ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ (для данного примера ${\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}$ что удовлетворяет условию).

Используя те же шаги, которые ранее использовались в предыдущем обобщении, с ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ в общем случае и сохраняя уравнение ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$, расширенные канонические преобразования частных дифференциальных отношений получаются как:

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$$

Симплектическое условие

Выполнив те же шаги для вывода симплектических условий, что и:

$${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$$

и

$${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$$

где используется ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ вместо этого дает:

$${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$$

Вторую часть каждого уравнения сокращаем. Следовательно, вместо этого условием расширенного канонического преобразования становится: ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$.

и

Скобки Пуассона изменяются следующим образом:

$$\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }$$

тогда как скобки Лагранжа изменяются как:

$$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }$$

Следовательно, скобка Пуассона масштабируется обратно пропорционально ${\textstyle \lambda }$ тогда как скобка Лагранжа масштабируется в раз ${\textstyle \lambda }$.

Бесконечно-зимальное каноническое преобразование

Рассмотрим каноническое преобразование, зависящее от непрерывного параметра $\alpha$, следующее:

${\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}$

Для бесконечно малых значений $\alpha$, соответствующие преобразования называются бесконечно малыми каноническими преобразованиями , которые также известны как дифференциальные канонические преобразования.

Рассмотрим следующую производящую функцию:

$G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)$

Поскольку для $\alpha =0$, $G_{2}=qP$ имеет результирующее каноническое преобразование, $Q=q$ и $P=p$, этот тип производящей функции можно использовать для бесконечно малого канонического преобразования, ограничив $\alpha$ до бесконечно малой величины. Из условий генераторов второго типа:

$${\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}$$

С $P=P(q,p,t;\alpha )$, меняя переменные функции $G$ к $G(q,p,t)$ и пренебрегая членами более высокого порядка $\alpha$, дает:

$${\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}$$

Бесконечно малые канонические преобразования также можно получить, используя матричную форму симплектического условия.

преобразования

См. Также: Активная и пассивная трансформация.

При пассивном взгляде на преобразования система координат изменяется без изменения физической системы, тогда как при активном взгляде на преобразования система координат сохраняется, и говорят, что физическая система претерпевает преобразования. Таким образом, используя соотношения бесконечно малых канонических преобразований, говорят, что изменение состояний системы при активном рассмотрении канонического преобразования равно:

${\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}$

или как $\delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G$ в матричной форме.

Для любой функции $u(\eta )$, он изменяется при активном просмотре преобразования в соответствии с:

$\delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.$

Учитывая изменение гамильтонианов в активном представлении , т.е. для фиксированной точки,

$$K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}$$

где ${\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')}$ отображаются в точку, ${\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})}$ бесконечно малым каноническим преобразованием и аналогичной заменой переменных для $G(q,P,t)$ к $G(q,p,t)$ считается до первого порядка $\alpha$. Следовательно, если гамильтониан инвариантен относительно бесконечно малых канонических преобразований, его генератор является константой движения.

Примеры ИКТ

времени

принимая $G(q,p,t)=H(q,p,t)$ и $\alpha =dt$, затем $\delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta$. Таким образом, непрерывное применение такого преобразования отображает координаты $\eta (\tau )$ к $\eta (\tau +t)$. Следовательно, если гамильтониан инвариантен к сдвигу во времени, т. е. не имеет явной зависимости от времени, его значение сохраняется для движения.

Перевод

принимая $G(q,p,t)=p_{k}$, $\delta p_{i}=0$ и $\delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}$. Следовательно, канонический импульс вызывает сдвиг соответствующей обобщенной координаты, и если гамильтониан является инвариантом перевода, импульс является константой движения.

Ротация

Рассмотрим ортогональную систему для системы N-частиц:

${\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}$

Выбор генератора: $G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)$ и бесконечно малое значение $\alpha =\delta \phi$, то изменение координат для x определяется выражением:

${\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}$

и аналогично для y:

${\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}$

тогда как z-компонент всех частиц не изменяется: $\delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0$.

Эти преобразования соответствуют повороту вокруг оси z на угол $\delta \phi$ в первом приближении. Следовательно, повторное применение бесконечно малого канонического преобразования порождает вращение системы частиц вокруг оси z. Если гамильтониан инвариантен относительно вращения вокруг оси z, то генератор — составляющая момента импульса вдоль оси вращения — является инвариантом движения.

Движение

Само движение (или, что то же самое, сдвиг начала времени) является каноническим преобразованием. Если $\mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )$ и $\mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )$, то принцип Гамильтона автоматически выполняется

$$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0$$

поскольку действительная траектория $(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))$ всегда должен удовлетворять принципу Гамильтона , независимо от конечных точек.

Примеры

• Перевод $\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b}$ где $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ два постоянных вектора — это каноническое преобразование. Действительно, матрица Якобиана представляет собой тождество, которое является симплектическим: $I^{\text{T}}JI=J$.
• Набор $\mathbf {x} =(q,p)$ и $\mathbf {X} =(Q,P)$, преобразование $\mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x}$ где $R\in SO(2)$ — матрица вращения второго порядка, каноническая. Учитывая, что специальные ортогональные матрицы подчиняются $R^{\text{T}}R=I$ легко видеть, что якобиан симплектичен. Однако этот пример работает только в измерении 2: $SO(2)$ — единственная специальная ортогональная группа, в которой каждая матрица симплектична. Обратите внимание, что вращение здесь действует на $(q,p)$ и не на $q$ и $p$ независимо, поэтому это не то же самое, что физическое вращение ортогональной пространственной системы координат.
• Преобразование $(Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)$, где $f(p)$ является произвольной функцией $p$, является каноническим. Матрица Якобиана действительно имеет вид
  $${\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}$$
  что является симплектическим.

Современное математическое описание

В математических терминах канонические координаты — это любые координаты в фазовом пространстве ( кокасательном расслоении ) системы, которые позволяют каноническую одну форму записать как

$$\sum _{i}p_{i}\,dq^{i}$$

с точностью до полного дифференциала ( точная форма ). Замена переменной между одним набором канонических координат и другим является каноническим преобразованием . Индекс обобщенных координат q здесь записан в виде верхнего индекса ( $q^{i}$), а не в виде нижнего индекса , как это было сделано выше ( $q_{i}$). Верхний индекс передает свойства контравариантного преобразования обобщенных координат и не означает, что координата возводится в степень. Более подробную информацию можно найти в статье о симплектоморфизме .

История

Первое крупное применение канонического преобразования было сделано в 1846 году Шарлем Делоне при изучении системы Земля-Луна-Солнце . Результатом этой работы стала публикация пары больших томов под названием «Мемуары» Французской академии наук в 1860 и 1867 годах.

См. также

• Симплектоморфизм
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Теорема Лиувилля (гамильтониан)
• Преобразование Матье
• Линейное каноническое преобразование

Ссылки

• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2007). Классическая механика (3-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон [ua] ISBN  978-0-321-18897-7 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975) [1939]. Механика . Перевод Белла, С.Дж .; Сайкс, Дж. Б. (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN  978-0-7506-28969 .
• Джакалья, Джорджио Эухенио Оскар (1972). Методы возмущений в нелинейных системах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-90054-3 . LCCN   72-87714 .
• Ланцос, Корнелиус (24 апреля 2012 г.). Вариационные принципы механики . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-13470-3 .
• Лурье, Анатолий Иванович (2002). Аналитическая механика (1-е изд.). Шпрингер-Верлаг Берлин. ISBN  978-3-642-53650-2 .
• Гупта, Правин П.; Гупта, Санджай (2008). Жесткая динамика (10-е изд.). Кришна Пракашан Медиа.
• Джонс, Оливер Дэвис (2005). Аналитическая механика для теории относительности и квантовой механики . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-856726-4 .
• Лемос, Нивалдо А (2018). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-108-41658-0 .
• Хэнд, Луи Н.; Финч, Джанет Д. (1999). Аналитическая механика (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521573276 .
• Сударшан, ЕС Джордж; Мукунда, Н. (2010). Классическая динамика: современный взгляд . Уайли. ISBN  9780471835400 .