Jump to content

Линейное каноническое преобразование

В гамильтоновой механике линейное каноническое преобразование ( LCT ) представляет собой семейство интегральных преобразований , которое обобщает многие классические преобразования. Он имеет 4 параметра и 1 ограничение, поэтому это трехмерное семейство, и его можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL 2 ( R ) на частотно-временной плоскости (области). Поскольку это определяет исходную функцию с точностью до знака, это преобразуется в действие ее двойного покрытия на исходное функциональное пространство.

LCT обобщает преобразования Фурье , дробное Фурье , Лапласа , Гаусса-Вейерштрасса , Баргмана и преобразования Френеля как частные случаи. Название «линейное каноническое преобразование» происходит от канонического преобразования , карты, которая сохраняет симплектическую структуру, поскольку SL 2 ( R ) также можно интерпретировать как симплектическую группу Sp 2 , и, таким образом, LCT являются линейными картами частотно-временной области. которые сохраняют симплектическую форму и их действие на гильбертовом пространстве задается метаплектической группой .

Рассмотрены основные свойства упомянутых выше преобразований, такие как масштабирование, сдвиг, умножение координат. Любое линейное каноническое преобразование связано с аффинными преобразованиями в фазовом пространстве, определяемом координатами время-частота или положение-импульс.

Определение

[ редактировать ]

LCT можно представить несколькими способами; легче всего, [1] его можно параметризовать матрицей 2×2 с определителем 1, т. е. элементом специальной линейной группы SL 2 ( C ). Тогда для любой такой матрицы при ad bc = 1 соответствующее интегральное преобразование от функции к определяется как

Особые случаи

[ редактировать ]

Многие классические преобразования являются частными случаями линейного канонического преобразования:

Масштабирование

[ редактировать ]

Масштабирование , , соответствует обратному масштабированию временных и частотных измерений (по мере того, как время идет быстрее, частоты становятся выше, а временное измерение уменьшается):

Преобразование Фурье

[ редактировать ]

Преобразование Фурье соответствует повороту по часовой стрелке на 90° в плоскости время-частота, представленному матрицей

Дробное преобразование Фурье

[ редактировать ]

Дробное преобразование Фурье соответствует повороту на произвольный угол; это эллиптические элементы SL 2 ( R ), представленные матрицами Преобразование Фурье — это дробное преобразование Фурье, когда Обратное преобразование Фурье соответствует

Преобразование Френеля

[ редактировать ]

соответствует Преобразование Френеля сдвигу и представляет собой семейство параболических элементов , представленных матрицами где z — расстояние, а λ — длина волны.

Преобразование Лапласа

[ редактировать ]

Преобразование Лапласа соответствует повороту на 90° в комплексную область и может быть представлено матрицей

Дробное преобразование Лапласа

[ редактировать ]

Дробное преобразование Лапласа соответствует повороту на произвольный угол в комплексную область и может быть представлено матрицей [2] Преобразование Лапласа — это дробное преобразование Лапласа, когда Обратное преобразование Лапласа соответствует

Чип-умножение

[ редактировать ]

Чирикающее умножение, , соответствует : [ нужна ссылка ]

Состав LCT соответствует умножению соответствующих матриц; это также известно как свойство аддитивности функции распределения Вигнера (WDF). Иногда продукт преобразований может получить знаковый коэффициент из-за выбора другой ветви квадратного корня в определении LCT. В литературе это называется метаплектической фазой .

Если LCT обозначается , т.е.

затем

где

Если это , где это LCT , затем

LCT эквивалентна операции скручивания для WDF, и распределение классов Коэна также имеет операцию скручивания.

Мы можем свободно использовать LCT для преобразования параллелограмма с центром в (0, 0) в другой параллелограмм, имеющий ту же площадь и тот же центр:

Из этой картинки мы знаем, что точка (−1, 2) преобразуется в точку (0, 1), а точка (1, 2) преобразуется в точку (4, 3). В результате можно записать уравнения

Решение этих уравнений дает ( a , b , c , d ) = (2, 1, 1, 1).

В оптике и квантовой механике

[ редактировать ]

Параксиальные оптические системы, полностью реализованные с использованием тонких линз и распространением через свободное пространство и / или среду с градиентной преломляемостью (GRIN), представляют собой системы с квадратичной фазой (QPS); они были известны до того, как Мошинский и Кен (1974) обратили внимание на их значение в связи с каноническими преобразованиями в квантовой механике. Влияние любого произвольного QPS на входное волновое поле можно описать с помощью линейного канонического преобразования, частный случай которого был развит Сигалом (1963) и Баргманном (1961) с целью формализовать бозонное исчисление Фока (1928). [3]

В квантовой механике линейные канонические преобразования можно отождествить с линейными преобразованиями, которые смешивают оператор импульса с оператором положения и оставляют неизменными канонические коммутационные соотношения .

Приложения

[ редактировать ]

Канонические преобразования используются для анализа дифференциальных уравнений. К ним относятся диффузия , свободная частица Шредингера , линейный потенциал (свободное падение) и уравнения осциллятора притяжения и отталкивания. Оно также включает в себя несколько других, таких как уравнение Фоккера-Планка . Хотя этот класс далеко не универсален, простота, с которой находятся решения и свойства, делает канонические преобразования привлекательным инструментом для решения подобных задач. [4]

Здесь обсуждается распространение волн через воздух, линзу и между спутниковыми антеннами. Все вычисления можно свести к матричной алгебре 2×2. В этом дух LCT.

Распространение электромагнитных волн

[ редактировать ]

что система выглядит так, как показано на рисунке, волна перемещается из плоскости ( xi , , yi ) в плоскость ( x Предполагая , y ). Преобразование Френеля используется для описания распространения электромагнитных волн в свободном пространстве:

где

волновое число ,
λ длина волны ,
z — расстояние распространения,
— мнимая единица.

Это эквивалентно LCT (сдвигу), когда

Чем больше расстояние перемещения ( z ), тем сильнее эффект сдвига.

Сферическая линза

[ редактировать ]

С линзой, изображенной на рисунке, и показателем преломления, обозначенным как n , результат будет [5]

где f — фокусное расстояние, а Δ — толщина линзы.

Искажение, проходящее через объектив, аналогично LCT, когда

Это также эффект сдвига: чем меньше фокусное расстояние, тем эффект сдвига больше.

Сферическое зеркало

[ редактировать ]

Сферическое зеркало, например спутниковую антенну, можно описать как LCT, с

Это очень похоже на линзу, за исключением того, что фокусное расстояние заменено радиусом R тарелки. Сферическое зеркало с радиусом кривизны R эквивалентно тонкой линзе с фокусным расстоянием f = − R /2 (по соглашению R <0 для вогнутого зеркала, R > 0 для выпуклого зеркала). Следовательно, если радиус меньше, эффект сдвига больше.

Совместное свободное пространство и сферическая линза

[ редактировать ]

Отношение между входом и выходом мы можем использовать LCT для представления

  1. Если , это обратное реальное изображение.
  2. Если , это преобразование Фурье+масштабирование
  3. Если , это дробное преобразование Фурье + масштабирование

Основные свойства

[ редактировать ]

В этой части мы покажем основные свойства LCT.

Оператор Матрица преобразования

Учитывая двумерный вектор-столбец ниже мы показываем некоторые основные свойства (результат) для конкретного ввода:

Вход Выход Примечание
где
линейность
Теорема Парсеваля
где комплексно-сопряженный
умножение
вывод
модуляция
сдвиг
где масштабирование
масштабирование
1
где

Рассматриваемая система изображена на рисунке справа: две антенны – одна является излучателем, другая – приёмником – и сигнал, распространяющийся между ними на расстояние D .Во-первых, для антенны А (излучателя) матрица ЛКП выглядит так:

Тогда для антенны B (приемника) матрица LCT аналогичным образом принимает вид:

Наконец, для распространения сигнала в воздухе матрица LCT имеет вид:

Если объединить все три компонента, LCT системы составит:

Связь с физикой элементарных частиц

[ редактировать ]

Показано, что можно установить связи между некоторыми свойствами кварков и лептонов (в том числе стерильных нейтрино ) и спиновым представлением многомерных линейных канонических преобразований. [6] [7] В этом подходе электрический заряд , слабый гиперзаряд и слабый изоспин частиц выражаются как линейные комбинации некоторых операторов, определенных из генераторов алгебры Клиффорда, связанных со спиновым представлением линейных канонических преобразований. Существование цветового заряда также объясняется в этой схеме.

Классификация кварков и лептонов на основе спинового представления линейных канонических преобразований
Линейные канонические преобразования и классификация фермионов

Основное квантовое состояние кварка или лептона ) в этом контексте описывается с (включая состояния импульса и положения использованием концепций квантового фазового пространства и фазового пространства представления квантовой механики . [8]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ де Брёйн, НГ (1973). «Теория обобщенных функций с приложениями к распределению Вигнера и соотношению Вейля», Nieuw Arch. Вискд. , III. Сер., 21 , 205–280.
  2. ^ PR Deshmukh & AS Gudadhe (2011) Структура свертки для двух версий дробного преобразования Лапласа. Журнал науки и искусства, 2 (15): 143–150. "ОСНОВНОЙ" . Архивировано из оригинала 23 декабря 2012 г. Проверено 29 августа 2012 г.
  3. ^ КБ Вольф (1979) Гл. 9: Канонические преобразования .
  4. ^ КБ Вольф (1979) Гл. 9 и 10 .
  5. ^ Гудман, Джозеф В. (2005), Введение в оптику Фурье (3-е изд.), Издательство Roberts and Company, ISBN  0-9747077-2-4 , §5.1.3, стр. 100–102.
  6. ^ RT Ranaivoson et al (2021) Phys. Скр. 96, 065204, arXiv:1804.10053 [квант-ph]
  7. ^ Раоэлина Андриамболлона и др. (2021) J. Phys. Общий. 5 091001, arXiv:2109.03807 [геп-ф]
  8. ^ RT Ranaivoson et al (2022) J. Phys. Общий. 6 095010, arXiv:2008.10602 [квант-ph]
  • Дж. Дж. Хили, М. А. Кутай, Х. М. Озактас и Дж. Т. Шеридан, « Линейные канонические преобразования: теория и приложения », Спрингер, Нью-Йорк, 2016 г.
  • Джей Джей Дин, « Конспект курса частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования », факультет электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
  • К.Б. Вольф, « Интегральные преобразования в науке и технике », гл. 9 и 10, Нью-Йорк, Plenum Press, 1979.
  • С.А. Коллинз, «Интеграл дифракции системы линз, записанный в терминах матричной оптики», J. Opt. Соц. амер. 60 , 1168–1177 (1970).
  • М. Мошинский и К. Кен, «Линейные канонические преобразования и их унитарные представления», J. Math. Физ. 12 , 8, 1772–1783, (1971).
  • Б. М. Хеннелли и Дж. Т. Шеридан, «Быстрый численный алгоритм линейного канонического преобразования», J. Opt. Соц. Являюсь. А 22 , 5, 928–937 (2005).
  • Х. М. Озактас, А. Коч, И. Сари и М. А. Кутай, «Эффективное вычисление квадратично-фазовых интегралов в оптике», Опт. Позволять. 31 , 35–37 (2006).
  • Бин-Чжао Ли, Ран Тао, Юэ Ван, «Новые формулы выборки, связанные с линейным каноническим преобразованием», Signal Processing ' 87' , 983–990, (2007).
  • А. Коч, Х. М. Озактас, К. Кандан и М. А. Кутай, «Цифровые вычисления линейных канонических преобразований», IEEE Trans. Сигнальный процесс. , том. 56, нет. 6, 2383–2394 (2008).
  • Ран Тао, Бин-Чжао Ли, Юэ Ван, «О дискретизации сигналов с ограниченной полосой пропускания, связанных с линейным каноническим преобразованием», IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, нет. 11, 5454–5464, (2008).
  • Д. Столер, «Операторные методы в физической оптике», 26-й ежегодный технический симпозиум . Международное общество оптики и фотоники, 1982.
  • Тянь-Чжоу Сюй, Бин-Чжао Ли, « Линейное каноническое преобразование и его приложения », Пекин, Science Press, 2013.
  • Раоэлина Андриамболлона, Р. Т. Ранайвосон, HDE Рандриамиси, Р. Ханитриариву, «Алгебра дисперсионных операторов и линейные канонические преобразования», Int. Дж. Теория. Физ. , 56 , 4, 1258–1273, (2017)
  • Р.Т. Ранайвосон и др., «Линейные канонические преобразования в релятивистской квантовой физике», Phys. Скр. 96 , 065204, (2021).
  • Татьяна Алиева., Мартин Дж. Бастианс. (2016) Линейные канонические преобразования: определение и свойства. В: Хили Дж., Альпер Кутай М., Озактас Х., Шеридан Дж. (ред.) Линейные канонические преобразования. Серия Springer по оптическим наукам, том 198. Springer, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
  • Раоэлина Андриамболлона и др., «Существование стерильных нейтрино, предполагаемое на основе ковариации LCT», J. Phys. Коммун. 5 , 091001, (2021).
  • RT Ranaivoson и др., «Инвариантные квадратичные операторы, связанные с линейными каноническими преобразованиями», J. Phys. Коммун. 6 , 095010, (2022).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e90dd01dd075d0cee1a97a2c8b293b8e__1716894000
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e9/8e/e90dd01dd075d0cee1a97a2c8b293b8e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Linear canonical transformation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)