Линейное каноническое преобразование
В гамильтоновой механике линейное каноническое преобразование ( LCT ) представляет собой семейство интегральных преобразований , которое обобщает многие классические преобразования. Он имеет 4 параметра и 1 ограничение, поэтому это трехмерное семейство, и его можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL 2 ( R ) на частотно-временной плоскости (области). Поскольку это определяет исходную функцию с точностью до знака, это преобразуется в действие ее двойного покрытия на исходное функциональное пространство.
LCT обобщает преобразования Фурье , дробное Фурье , Лапласа , Гаусса-Вейерштрасса , Баргмана и преобразования Френеля как частные случаи. Название «линейное каноническое преобразование» происходит от канонического преобразования , карты, которая сохраняет симплектическую структуру, поскольку SL 2 ( R ) также можно интерпретировать как симплектическую группу Sp 2 , и, таким образом, LCT являются линейными картами частотно-временной области. которые сохраняют симплектическую форму и их действие на гильбертовом пространстве задается метаплектической группой .
Рассмотрены основные свойства упомянутых выше преобразований, такие как масштабирование, сдвиг, умножение координат. Любое линейное каноническое преобразование связано с аффинными преобразованиями в фазовом пространстве, определяемом координатами время-частота или положение-импульс.
Определение
[ редактировать ]LCT можно представить несколькими способами; легче всего, [1] его можно параметризовать матрицей 2×2 с определителем 1, т. е. элементом специальной линейной группы SL 2 ( C ). Тогда для любой такой матрицы при ad − bc = 1 соответствующее интегральное преобразование от функции к определяется как
Особые случаи
[ редактировать ]Многие классические преобразования являются частными случаями линейного канонического преобразования:
Масштабирование
[ редактировать ]Масштабирование , , соответствует обратному масштабированию временных и частотных измерений (по мере того, как время идет быстрее, частоты становятся выше, а временное измерение уменьшается):
Преобразование Фурье
[ редактировать ]Преобразование Фурье соответствует повороту по часовой стрелке на 90° в плоскости время-частота, представленному матрицей
Дробное преобразование Фурье
[ редактировать ]Дробное преобразование Фурье соответствует повороту на произвольный угол; это эллиптические элементы SL 2 ( R ), представленные матрицами Преобразование Фурье — это дробное преобразование Фурье, когда Обратное преобразование Фурье соответствует
Преобразование Френеля
[ редактировать ]соответствует Преобразование Френеля сдвигу и представляет собой семейство параболических элементов , представленных матрицами где z — расстояние, а λ — длина волны.
Преобразование Лапласа
[ редактировать ]Преобразование Лапласа соответствует повороту на 90° в комплексную область и может быть представлено матрицей
Дробное преобразование Лапласа
[ редактировать ]Дробное преобразование Лапласа соответствует повороту на произвольный угол в комплексную область и может быть представлено матрицей [2] Преобразование Лапласа — это дробное преобразование Лапласа, когда Обратное преобразование Лапласа соответствует
Чип-умножение
[ редактировать ]Чирикающее умножение, , соответствует : [ нужна ссылка ]
Состав
[ редактировать ]Состав LCT соответствует умножению соответствующих матриц; это также известно как свойство аддитивности функции распределения Вигнера (WDF). Иногда продукт преобразований может получить знаковый коэффициент из-за выбора другой ветви квадратного корня в определении LCT. В литературе это называется метаплектической фазой .
Если LCT обозначается , т.е.
затем
где
Если это , где это LCT , затем
LCT эквивалентна операции скручивания для WDF, и распределение классов Коэна также имеет операцию скручивания.
Мы можем свободно использовать LCT для преобразования параллелограмма с центром в (0, 0) в другой параллелограмм, имеющий ту же площадь и тот же центр:
Из этой картинки мы знаем, что точка (−1, 2) преобразуется в точку (0, 1), а точка (1, 2) преобразуется в точку (4, 3). В результате можно записать уравнения
Решение этих уравнений дает ( a , b , c , d ) = (2, 1, 1, 1).
В оптике и квантовой механике
[ редактировать ]Параксиальные оптические системы, полностью реализованные с использованием тонких линз и распространением через свободное пространство и / или среду с градиентной преломляемостью (GRIN), представляют собой системы с квадратичной фазой (QPS); они были известны до того, как Мошинский и Кен (1974) обратили внимание на их значение в связи с каноническими преобразованиями в квантовой механике. Влияние любого произвольного QPS на входное волновое поле можно описать с помощью линейного канонического преобразования, частный случай которого был развит Сигалом (1963) и Баргманном (1961) с целью формализовать бозонное исчисление Фока (1928). [3]
В квантовой механике линейные канонические преобразования можно отождествить с линейными преобразованиями, которые смешивают оператор импульса с оператором положения и оставляют неизменными канонические коммутационные соотношения .
Приложения
[ редактировать ]Канонические преобразования используются для анализа дифференциальных уравнений. К ним относятся диффузия , свободная частица Шредингера , линейный потенциал (свободное падение) и уравнения осциллятора притяжения и отталкивания. Оно также включает в себя несколько других, таких как уравнение Фоккера-Планка . Хотя этот класс далеко не универсален, простота, с которой находятся решения и свойства, делает канонические преобразования привлекательным инструментом для решения подобных задач. [4]
Здесь обсуждается распространение волн через воздух, линзу и между спутниковыми антеннами. Все вычисления можно свести к матричной алгебре 2×2. В этом дух LCT.
Распространение электромагнитных волн
[ редактировать ]
что система выглядит так, как показано на рисунке, волна перемещается из плоскости ( xi , , yi ) в плоскость ( x Предполагая , y ). Преобразование Френеля используется для описания распространения электромагнитных волн в свободном пространстве:
где
- — волновое число ,
- λ — длина волны ,
- z — расстояние распространения,
- — мнимая единица.
Это эквивалентно LCT (сдвигу), когда
Чем больше расстояние перемещения ( z ), тем сильнее эффект сдвига.
Сферическая линза
[ редактировать ]
С линзой, изображенной на рисунке, и показателем преломления, обозначенным как n , результат будет [5]
где f — фокусное расстояние, а Δ — толщина линзы.
Искажение, проходящее через объектив, аналогично LCT, когда
Это также эффект сдвига: чем меньше фокусное расстояние, тем эффект сдвига больше.
Сферическое зеркало
[ редактировать ]
Сферическое зеркало, например спутниковую антенну, можно описать как LCT, с
Это очень похоже на линзу, за исключением того, что фокусное расстояние заменено радиусом R тарелки. Сферическое зеркало с радиусом кривизны R эквивалентно тонкой линзе с фокусным расстоянием f = − R /2 (по соглашению R <0 для вогнутого зеркала, R > 0 для выпуклого зеркала). Следовательно, если радиус меньше, эффект сдвига больше.
Совместное свободное пространство и сферическая линза
[ редактировать ]
Отношение между входом и выходом мы можем использовать LCT для представления
- Если , это обратное реальное изображение.
- Если , это преобразование Фурье+масштабирование
- Если , это дробное преобразование Фурье + масштабирование
Основные свойства
[ редактировать ]В этой части мы покажем основные свойства LCT.
Оператор | Матрица преобразования |
---|---|
Учитывая двумерный вектор-столбец ниже мы показываем некоторые основные свойства (результат) для конкретного ввода:
Вход | Выход | Примечание |
---|---|---|
где | ||
линейность | ||
Теорема Парсеваля | ||
где | комплексно-сопряженный | |
умножение | ||
вывод | ||
модуляция | ||
сдвиг | ||
где | масштабирование | |
масштабирование | ||
1 | ||
где | ||
Пример
[ редактировать ]
Рассматриваемая система изображена на рисунке справа: две антенны – одна является излучателем, другая – приёмником – и сигнал, распространяющийся между ними на расстояние D .Во-первых, для антенны А (излучателя) матрица ЛКП выглядит так:
Тогда для антенны B (приемника) матрица LCT аналогичным образом принимает вид:
Наконец, для распространения сигнала в воздухе матрица LCT имеет вид:
Если объединить все три компонента, LCT системы составит:
Связь с физикой элементарных частиц
[ редактировать ]Показано, что можно установить связи между некоторыми свойствами кварков и лептонов (в том числе стерильных нейтрино ) и спиновым представлением многомерных линейных канонических преобразований. [6] [7] В этом подходе электрический заряд , слабый гиперзаряд и слабый изоспин частиц выражаются как линейные комбинации некоторых операторов, определенных из генераторов алгебры Клиффорда, связанных со спиновым представлением линейных канонических преобразований. Существование цветового заряда также объясняется в этой схеме.

Основное квантовое состояние кварка или лептона ) в этом контексте описывается с (включая состояния импульса и положения использованием концепций квантового фазового пространства и фазового пространства представления квантовой механики . [8]
См. также
[ редактировать ]- Распределение Сигала–Шейла–Вейля , метаплектическая группа операторов, связанных с чирплетным преобразованием.
- Другие частотно-временные преобразования:
- Приложения:
Примечания
[ редактировать ]- ^ де Брёйн, НГ (1973). «Теория обобщенных функций с приложениями к распределению Вигнера и соотношению Вейля», Nieuw Arch. Вискд. , III. Сер., 21 , 205–280.
- ^ PR Deshmukh & AS Gudadhe (2011) Структура свертки для двух версий дробного преобразования Лапласа. Журнал науки и искусства, 2 (15): 143–150. "ОСНОВНОЙ" . Архивировано из оригинала 23 декабря 2012 г. Проверено 29 августа 2012 г.
- ^ КБ Вольф (1979) Гл. 9: Канонические преобразования .
- ^ КБ Вольф (1979) Гл. 9 и 10 .
- ^ Гудман, Джозеф В. (2005), Введение в оптику Фурье (3-е изд.), Издательство Roberts and Company, ISBN 0-9747077-2-4 , §5.1.3, стр. 100–102.
- ^ RT Ranaivoson et al (2021) Phys. Скр. 96, 065204, arXiv:1804.10053 [квант-ph]
- ^ Раоэлина Андриамболлона и др. (2021) J. Phys. Общий. 5 091001, arXiv:2109.03807 [геп-ф]
- ^ RT Ranaivoson et al (2022) J. Phys. Общий. 6 095010, arXiv:2008.10602 [квант-ph]
Ссылки
[ редактировать ]- Дж. Дж. Хили, М. А. Кутай, Х. М. Озактас и Дж. Т. Шеридан, « Линейные канонические преобразования: теория и приложения », Спрингер, Нью-Йорк, 2016 г.
- Джей Джей Дин, « Конспект курса частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования », факультет электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
- К.Б. Вольф, « Интегральные преобразования в науке и технике », гл. 9 и 10, Нью-Йорк, Plenum Press, 1979.
- С.А. Коллинз, «Интеграл дифракции системы линз, записанный в терминах матричной оптики», J. Opt. Соц. амер. 60 , 1168–1177 (1970).
- М. Мошинский и К. Кен, «Линейные канонические преобразования и их унитарные представления», J. Math. Физ. 12 , 8, 1772–1783, (1971).
- Б. М. Хеннелли и Дж. Т. Шеридан, «Быстрый численный алгоритм линейного канонического преобразования», J. Opt. Соц. Являюсь. А 22 , 5, 928–937 (2005).
- Х. М. Озактас, А. Коч, И. Сари и М. А. Кутай, «Эффективное вычисление квадратично-фазовых интегралов в оптике», Опт. Позволять. 31 , 35–37 (2006).
- Бин-Чжао Ли, Ран Тао, Юэ Ван, «Новые формулы выборки, связанные с линейным каноническим преобразованием», Signal Processing ' 87' , 983–990, (2007).
- А. Коч, Х. М. Озактас, К. Кандан и М. А. Кутай, «Цифровые вычисления линейных канонических преобразований», IEEE Trans. Сигнальный процесс. , том. 56, нет. 6, 2383–2394 (2008).
- Ран Тао, Бин-Чжао Ли, Юэ Ван, «О дискретизации сигналов с ограниченной полосой пропускания, связанных с линейным каноническим преобразованием», IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, нет. 11, 5454–5464, (2008).
- Д. Столер, «Операторные методы в физической оптике», 26-й ежегодный технический симпозиум . Международное общество оптики и фотоники, 1982.
- Тянь-Чжоу Сюй, Бин-Чжао Ли, « Линейное каноническое преобразование и его приложения », Пекин, Science Press, 2013.
- Раоэлина Андриамболлона, Р. Т. Ранайвосон, HDE Рандриамиси, Р. Ханитриариву, «Алгебра дисперсионных операторов и линейные канонические преобразования», Int. Дж. Теория. Физ. , 56 , 4, 1258–1273, (2017)
- Р.Т. Ранайвосон и др., «Линейные канонические преобразования в релятивистской квантовой физике», Phys. Скр. 96 , 065204, (2021).
- Татьяна Алиева., Мартин Дж. Бастианс. (2016) Линейные канонические преобразования: определение и свойства. В: Хили Дж., Альпер Кутай М., Озактас Х., Шеридан Дж. (ред.) Линейные канонические преобразования. Серия Springer по оптическим наукам, том 198. Springer, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
- Раоэлина Андриамболлона и др., «Существование стерильных нейтрино, предполагаемое на основе ковариации LCT», J. Phys. Коммун. 5 , 091001, (2021).
- RT Ranaivoson и др., «Инвариантные квадратичные операторы, связанные с линейными каноническими преобразованиями», J. Phys. Коммун. 6 , 095010, (2022).