Линейное каноническое преобразование

В гамильтоновой механике линейное каноническое преобразование ( LCT ) представляет собой семейство интегральных преобразований , которое обобщает многие классические преобразования. Он имеет 4 параметра и 1 ограничение, поэтому это трехмерное семейство, и его можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL ₂ ( R ) на частотно-временной плоскости (области). Поскольку это определяет исходную функцию с точностью до знака, это преобразуется в действие ее двойного покрытия на исходное функциональное пространство.

LCT обобщает преобразования Фурье , дробное Фурье , Лапласа , Гаусса-Вейерштрасса , Баргмана и преобразования Френеля как частные случаи. Название «линейное каноническое преобразование» происходит от канонического преобразования , карты, которая сохраняет симплектическую структуру, поскольку SL ₂ ( R ) также можно интерпретировать как симплектическую группу Sp ₂ , и, таким образом, LCT являются линейными картами частотно-временной области. которые сохраняют симплектическую форму и их действие на гильбертовом пространстве задается метаплектической группой .

Рассмотрены основные свойства упомянутых выше преобразований, такие как масштабирование, сдвиг, умножение координат. Любое линейное каноническое преобразование связано с аффинными преобразованиями в фазовом пространстве, определяемом координатами время-частота или положение-импульс.

Определение

LCT можно представить несколькими способами; легче всего, его можно параметризовать матрицей 2×2 с определителем 1, т. е. элементом специальной линейной группы SL ₂ ( C ). Тогда для любой такой матрицы ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ при ad − bc = 1 соответствующее интегральное преобразование от функции $x(t)$ к $X(u)$ определяется как

$$X_{(a,b,c,d)}(u)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1}{ib}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\,dt,&{\text{when }}b\neq 0,\\{\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(d\cdot u),&{\text{when }}b=0.\end{cases}}$$

Особые случаи

Многие классические преобразования являются частными случаями линейного канонического преобразования:

Масштабирование

Масштабирование , $x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)$, соответствует обратному масштабированию временных и частотных измерений (по мере того, как время идет быстрее, частоты становятся выше, а временное измерение уменьшается): $${\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}$$

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье соответствует повороту по часовой стрелке на 90° в плоскости время-частота, представленному матрицей $${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.$$

Дробное преобразование Фурье

Дробное преобразование Фурье соответствует повороту на произвольный угол; это эллиптические элементы SL ₂ ( R ), представленные матрицами $${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$$Преобразование Фурье — это дробное преобразование Фурье, когда $\theta =90^{\circ }.$ Обратное преобразование Фурье соответствует $\theta =-90^{\circ }.$

Преобразование Френеля

соответствует Преобразование Френеля сдвигу и представляет собой семейство параболических элементов , представленных матрицами $${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},$$где z — расстояние, а λ — длина волны.

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа соответствует повороту на 90° в комплексную область и может быть представлено матрицей $${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}.$$

Дробное преобразование Лапласа

Дробное преобразование Лапласа соответствует повороту на произвольный угол в комплексную область и может быть представлено матрицей $${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \theta &i\sin \theta \\i\sin \theta &-i\cos \theta \end{bmatrix}}.$$Преобразование Лапласа — это дробное преобразование Лапласа, когда $\theta =90^{\circ }.$ Обратное преобразование Лапласа соответствует $\theta =-90^{\circ }.$

Чип-умножение

Чирикающее умножение, $x(u)\mapsto e^{i\pi \tau u^{2}}x(u)$, соответствует $b=0,c=\tau$: $${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}.$$

Состав

Состав LCT соответствует умножению соответствующих матриц; это также известно как свойство аддитивности функции распределения Вигнера (WDF). Иногда продукт преобразований может получить знаковый коэффициент из-за выбора другой ветви квадратного корня в определении LCT. В литературе это называется метаплектической фазой .

Если LCT обозначается ⁠ $O_{F}^{(a,b,c,d)}$⁠ , т.е.

$$X_{(a,b,c,d)}(u)=O_{F}^{(a,b,c,d)}[x(t)],$$

затем

$$O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}\left\{O_{F}^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}[x(t)],$$

где

$${\begin{bmatrix}a_{3}&b_{3}\\c_{3}&d_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{bmatrix}}.$$

Если $W_{X(a,b,c,d)}(u,v)$ это $X_{(a,b,c,d)}(u)$, где $X_{(a,b,c,d)}(u)$ это LCT $x(t)$, затем

$$W_{X(a,b,c,d)}(u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av),$$$$W_{X(a,b,c,d)}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v).$$

LCT эквивалентна операции скручивания для WDF, и распределение классов Коэна также имеет операцию скручивания.

Мы можем свободно использовать LCT для преобразования параллелограмма с центром в (0, 0) в другой параллелограмм, имеющий ту же площадь и тот же центр:

Из этой картинки мы знаем, что точка (−1, 2) преобразуется в точку (0, 1), а точка (1, 2) преобразуется в точку (4, 3). В результате можно записать уравнения

$${\begin{cases}-a+2b=0,\\-c+2d=1,\end{cases}}\qquad {\begin{cases}a+2b=4,\\c+2d=3.\end{cases}}$$

Решение этих уравнений дает ( a , b , c , d ) = (2, 1, 1, 1).

В оптике и квантовой механике

Параксиальные оптические системы, полностью реализованные с использованием тонких линз и распространением через свободное пространство и / или среду с градиентной преломляемостью (GRIN), представляют собой системы с квадратичной фазой (QPS); они были известны до того, как Мошинский и Кен (1974) обратили внимание на их значение в связи с каноническими преобразованиями в квантовой механике. Влияние любого произвольного QPS на входное волновое поле можно описать с помощью линейного канонического преобразования, частный случай которого был развит Сигалом (1963) и Баргманном (1961) с целью формализовать бозонное исчисление Фока (1928).

В квантовой механике линейные канонические преобразования можно отождествить с линейными преобразованиями, которые смешивают оператор импульса с оператором положения и оставляют неизменными канонические коммутационные соотношения .

Приложения

Канонические преобразования используются для анализа дифференциальных уравнений. К ним относятся диффузия , свободная частица Шредингера , линейный потенциал (свободное падение) и уравнения осциллятора притяжения и отталкивания. Оно также включает в себя несколько других, таких как уравнение Фоккера-Планка . Хотя этот класс далеко не универсален, простота, с которой находятся решения и свойства, делает канонические преобразования привлекательным инструментом для решения подобных задач.

Здесь обсуждается распространение волн через воздух, линзу и между спутниковыми антеннами. Все вычисления можно свести к матричной алгебре 2×2. В этом дух LCT.

Распространение электромагнитных волн

что система выглядит так, как показано на рисунке, волна перемещается из плоскости ( xi _, , yi ₎ в плоскость ( x Предполагая , y ). Преобразование Френеля используется для описания распространения электромагнитных волн в свободном пространстве:

$$U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}\left[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}\right]}U_{i}(x_{i},y_{i})\,dx_{i}\,dy_{i},$$

где

⁠ $k=2\pi /\lambda$⁠ — волновое число ,

λ — длина волны ,

z — расстояние распространения,

⁠ $j={\sqrt {-1}}$⁠ — мнимая единица.

Это эквивалентно LCT (сдвигу), когда

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.$$

Чем больше расстояние перемещения ( z ), тем сильнее эффект сдвига.

Сферическая линза

С линзой, изображенной на рисунке, и показателем преломления, обозначенным как n , результат будет

$$U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y),$$

где f — фокусное расстояние, а Δ — толщина линзы.

Искажение, проходящее через объектив, аналогично LCT, когда

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}.$$

Это также эффект сдвига: чем меньше фокусное расстояние, тем эффект сдвига больше.

Сферическое зеркало

Сферическое зеркало, например спутниковую антенну, можно описать как LCT, с

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}.$$

Это очень похоже на линзу, за исключением того, что фокусное расстояние заменено радиусом R тарелки. Сферическое зеркало с радиусом кривизны R эквивалентно тонкой линзе с фокусным расстоянием f = − R /2 (по соглашению R <0 для вогнутого зеркала, R > 0 для выпуклого зеркала). Следовательно, если радиус меньше, эффект сдвига больше.

Совместное свободное пространство и сферическая линза

Отношение между входом и выходом мы можем использовать LCT для представления

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{2}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-1/\lambda f&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-z_{2}/f&\lambda (z_{1}+z_{2})-\lambda z_{1}z_{2}/f\\-1/\lambda f&1-z_{1}/f\end{bmatrix}}\,.$$

1. Если ⁠ $z_{1}=z_{2}=2f$⁠ , это обратное реальное изображение.
2. Если ⁠ $z_{1}=z_{2}=f$⁠ , это преобразование Фурье+масштабирование
3. Если ⁠ $z_{1}=z_{2}$⁠ , это дробное преобразование Фурье + масштабирование

Основные свойства

В этой части мы покажем основные свойства LCT.

Оператор	Матрица преобразования
$L(T)$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$L(T_{1})L(T_{2})$	$T_{2}T_{1}$
$L^{-1}(T)=L(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$
$L({\widehat {T}})=L^{*}(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&b^{t}\\c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$
$F$	${\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}$
${\begin{cases}FL(T)F^{-1}=L^{*}(T^{t-1})\\F^{-1}L(T)F=L^{*}(T^{t-1})\end{cases}}$	${\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}$

Учитывая двумерный вектор-столбец $r={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$ ниже мы показываем некоторые основные свойства (результат) для конкретного ввода:

Вход	Выход	Примечание
$f_{i}(r)$	$f_{o}(r)=L(T){\displaystyle f_{i}(r)},$ где $T={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$\sum _{n}a_{n}f_{n}(r)$	$\sum _{n}a_{n}Lf_{n}(r)$	линейность
$f_{i}(r),h_{i}(r)$	$\int f_{i}(r)h_{i}^{*}(r)\,dr=\int f_{o}(r)h_{o}^{*}(r)\,dr$	Теорема Парсеваля
$f_{i}^{*}(r)$	$[L(T^{-1})f_{i}(r)]^{*},$ где $T^{-1}={\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$	комплексно-сопряженный
$\mathrm {M} ^{n}f_{i}(r)$	$(d^{t}\mathrm {M} -b^{t}D)^{n}f_{o}(r),\quad \mathrm {M} =r$	умножение
$D^{n}f_{i}(r)$	$(-c^{t}\mathrm {M} -a^{t}D)^{n}f_{o}(r),\quad D=(i2\pi )^{-1}\nabla ^{t}$	вывод
$f_{i}(r)e^{i2\pi k^{t}r}$	$f_{o}(r-bk)e^{i2\pi k^{t}d^{t}r}e^{-i\pi k^{t}b^{t}dk}$	модуляция
$f_{i}(r-k)$	$f_{o}(r)e^{i2\pi k^{t}c^{t}r}e^{-i\pi k^{t}c^{t}ak}$	сдвиг
$|\det(W)|^{-1/2}f_{i}(W^{-1}r)$	$L({\tilde {T}})f_{i}(r),$ где ${\tilde {T}}=T{\begin{bmatrix}W&0\\0&W^{t-1}\end{bmatrix}}$	масштабирование
$f_{i}(-r)$	$L(-T)f_{i}(r)=f_{o}(-r)$	масштабирование
1	$(\det(A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^{-1}r}$
$e^{i\pi r^{t}L_{i}r}$	$[\det(A+iL_{i})]^{-1/2}e^{-\pi r^{t}L_{o}r},$ где $\,iL_{o}=(C+iDL_{i})(A+iBL_{i})^{-1}$
$e^{i2\pi k^{t}r}$	$(\det(A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^{-1}r}*e^{-i\pi k^{t}A^{-1}BK}e^{i2\pi k^{t}CA^{-1}r}$

Пример

Рассматриваемая система изображена на рисунке справа: две антенны – одна является излучателем, другая – приёмником – и сигнал, распространяющийся между ними на расстояние D .Во-первых, для антенны А (излучателя) матрица ЛКП выглядит так:

$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.$$

Тогда для антенны B (приемника) матрица LCT аналогичным образом принимает вид:

$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.$$

Наконец, для распространения сигнала в воздухе матрица LCT имеет вид:

$${\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.$$

Если объединить все три компонента, LCT системы составит:

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.$$

Связь с физикой элементарных частиц

Показано, что можно установить связи между некоторыми свойствами кварков и лептонов (в том числе стерильных нейтрино ) и спиновым представлением многомерных линейных канонических преобразований. В этом подходе электрический заряд , слабый гиперзаряд и слабый изоспин частиц выражаются как линейные комбинации некоторых операторов, определенных из генераторов алгебры Клиффорда, связанных со спиновым представлением линейных канонических преобразований. Существование цветового заряда также объясняется в этой схеме.

Линейные канонические преобразования и классификация фермионов

Основное квантовое состояние кварка или лептона ) в этом контексте описывается с (включая состояния импульса и положения использованием концепций квантового фазового пространства и фазового пространства представления квантовой механики .

См. также

• Распределение Сигала–Шейла–Вейля , метаплектическая группа операторов, связанных с чирплетным преобразованием.
• Другие частотно-временные преобразования:
  • Дробное преобразование Фурье
  • Непрерывное преобразование Фурье
  • Преобразование чирплета
• Приложения:
  • Восстановление фокуса на основе линейного канонического преобразования
  • Анализ матрицы лучевого переноса

Ссылки

• Дж. Дж. Хили, М. А. Кутай, Х. М. Озактас и Дж. Т. Шеридан, « Линейные канонические преобразования: теория и приложения », Спрингер, Нью-Йорк, 2016 г.
• Джей Джей Дин, « Конспект курса частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования », факультет электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
• К.Б. Вольф, « Интегральные преобразования в науке и технике », гл. 9 и 10, Нью-Йорк, Plenum Press, 1979.
• С.А. Коллинз, «Интеграл дифракции системы линз, записанный в терминах матричной оптики», J. Opt. Соц. амер. 60 , 1168–1177 (1970).
• М. Мошинский и К. Кен, «Линейные канонические преобразования и их унитарные представления», J. Math. Физ. 12 , 8, 1772–1783, (1971).
• Б. М. Хеннелли и Дж. Т. Шеридан, «Быстрый численный алгоритм линейного канонического преобразования», J. Opt. Соц. Являюсь. А 22 , 5, 928–937 (2005).
• Х. М. Озактас, А. Коч, И. Сари и М. А. Кутай, «Эффективное вычисление квадратично-фазовых интегралов в оптике», Опт. Позволять. 31 , 35–37 (2006).
• Бин-Чжао Ли, Ран Тао, Юэ Ван, «Новые формулы выборки, связанные с линейным каноническим преобразованием», Signal Processing ' 87' , 983–990, (2007).
• А. Коч, Х. М. Озактас, К. Кандан и М. А. Кутай, «Цифровые вычисления линейных канонических преобразований», IEEE Trans. Сигнальный процесс. , том. 56, нет. 6, 2383–2394 (2008).
• Ран Тао, Бин-Чжао Ли, Юэ Ван, «О дискретизации сигналов с ограниченной полосой пропускания, связанных с линейным каноническим преобразованием», IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, нет. 11, 5454–5464, (2008).
• Д. Столер, «Операторные методы в физической оптике», 26-й ежегодный технический симпозиум . Международное общество оптики и фотоники, 1982.
• Тянь-Чжоу Сюй, Бин-Чжао Ли, « Линейное каноническое преобразование и его приложения », Пекин, Science Press, 2013.
• Раоэлина Андриамболлона, Р. Т. Ранайвосон, HDE Рандриамиси, Р. Ханитриариву, «Алгебра дисперсионных операторов и линейные канонические преобразования», Int. Дж. Теория. Физ. , 56 , 4, 1258–1273, (2017)
• Р.Т. Ранайвосон и др., «Линейные канонические преобразования в релятивистской квантовой физике», Phys. Скр. 96 , 065204, (2021).
• Татьяна Алиева., Мартин Дж. Бастианс. (2016) Линейные канонические преобразования: определение и свойства. В: Хили Дж., Альпер Кутай М., Озактас Х., Шеридан Дж. (ред.) Линейные канонические преобразования. Серия Springer по оптическим наукам, том 198. Springer, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
• Раоэлина Андриамболлона и др., «Существование стерильных нейтрино, предполагаемое на основе ковариации LCT», J. Phys. Коммун. 5 , 091001, (2021).
• RT Ranaivoson и др., «Инвариантные квадратичные операторы, связанные с линейными каноническими преобразованиями», J. Phys. Коммун. 6 , 095010, (2022).