Анализ матрицы лучевого переноса

Анализ матрицы переноса лучей (также известный как матричный анализ ABCD ) представляет собой математическую форму для выполнения вычислений трассировки лучей в достаточно простых задачах, которые можно решить, рассматривая только параксиальные лучи. Каждый оптический элемент (поверхность, интерфейс, зеркало или ход луча) описывается матрицей лучей переноса 2×2 , которая работает с вектором, описывающим входящий луч света, для расчета исходящего луча. Таким образом, умножение последовательных матриц дает краткую матрицу переноса лучей, описывающую всю оптическую систему. Та же самая математика используется и в ускорительной физике для отслеживания частиц через магнитные установки ускорителя частиц , см. электронную оптику .

Этот метод, как описано ниже, получен с использованием параксиального приближения , которое требует, чтобы все направления лучей (направления, нормальные к волновым фронтам) находились под небольшими углами θ относительно оптической оси системы, так что приближение $\sin \theta \approx \theta$ остается в силе. Небольшое значение θ также означает, что поперечная протяженность пучков лучей ( x и y ) мала по сравнению с длиной оптической системы (таким образом, «параксиальной»). Поскольку приличная система визуализации, где это не относится ко всем лучам, все равно должна правильно фокусировать параксиальные лучи, этот матричный метод правильно описывает положения фокальных плоскостей и увеличений, однако аберрации все равно необходимо оценивать с использованием методов полной трассировки лучей .

Определение матрицы

В матричном анализе переноса лучей (ABCD) оптический элемент (здесь толстая линза) обеспечивает преобразование между $(x_{1},\theta _{1})$ на входной плоскости и $(x_{2},\theta _{2})$ когда луч достигает выходной плоскости.

Метод трассировки лучей основан на двух опорных плоскостях, называемых входной и выходной плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оптической оси системы. В любой точке оптического цуга определяется оптическая ось, соответствующая центральному лучу; этот центральный луч распространяется, чтобы определить оптическую ось дальше в оптическом ряду, который не обязательно должен находиться в одном и том же физическом направлении (например, при изгибе призмой или зеркалом). Поперечные направления x и y (ниже мы рассматриваем только направление x ) затем определяются как ортогональные применяемым оптическим осям. Световой луч входит в компонент, пересекающий его входную плоскость на расстоянии x ₁ от оптической оси, и движется в направлении, составляющем угол θ ₁ с оптической осью. После распространения до выходной плоскости этот луч находится на расстоянии х ₂ от оптической оси и под углом θ ₂ по отношению к ней. n ₁ и n ₂ - показатели преломления среды во входной и выходной плоскости соответственно.

Матрица ABCD, представляющая компонент или систему, связывает выходной луч с входом согласно $${\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},$$где значения четырех матричных элементов, таким образом, определяются выражением $$A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},$$и $$C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.$$

Это связывает векторы лучей на входной и выходной плоскостях с помощью матрицы переноса лучей (RTM) M , которая представляет оптический компонент или систему, присутствующую между двумя опорными плоскостями. Аргумент термодинамики, основанный на черного тела . излучении можно использовать, чтобы показать, что определителем РТМ является отношение показателей преломления: $$\det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_{1}}{n_{2}}}.$$

В результате, если входная и выходная плоскости расположены в одной и той же среде или в двух разных средах, имеющих одинаковые показатели преломления, то определитель M просто равен 1.

Другая конвенция для лучевых векторов можно использовать. Вместо использования θ ≈sin θ вторым элементом лучевого вектора является n sin θ , который пропорционален не углу луча как таковому, а поперечной составляющей волнового вектора .Это изменяет матрицы ABCD, приведенные в таблице ниже, где задействовано преломление на границе раздела.

Использование матриц передачи таким образом аналогично матрицам 2×2, описывающим электронные двухпортовые сети , в частности различным так называемым матрицам ABCD, которые аналогичным образом можно умножать для решения каскадных систем.

Несколько примеров

• Например, если между двумя плоскостями есть свободное пространство, матрица переноса лучей определяется следующим образом: $$\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}},$$ где d — расстояние между двумя базовыми плоскостями (измеренное вдоль оптической оси). Таким образом, уравнение переноса лучей принимает вид: $${\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},$$ и это связывает параметры двух лучей как: $${\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}$$
• Другой простой пример — тонкая линза . Его RTM определяется следующим образом: $$\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}},$$ где f — фокусное расстояние линзы. Для описания комбинаций оптических компонентов матрицы переноса лучей можно перемножить, чтобы получить общее RTM для составной оптической системы. Для примера свободного пространства длиной d, за которым следует линза с фокусным расстоянием f : $$\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\-{\frac {1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}.$$

Обратите внимание: поскольку умножение матриц некоммутативно , это не то же самое RTM, что и для линзы, за которой следует свободное пространство: $$\mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}.$$

Таким образом, матрицы должны быть упорядочены соответствующим образом: последняя матрица предварительно умножает предпоследнюю, и так далее, пока первая матрица не будет предварительно умножена на вторую. Другие матрицы могут быть построены для представления границ раздела со средами с разными показателями преломления , отражения от зеркал и т. д.

Собственные значения

Матрицу переноса лучей можно рассматривать как линейное каноническое преобразование . По собственным значениям оптической системы систему можно разделить на несколько классов. Предположим, что матрица ABCD, представляющая систему, связывает выходной луч с входом согласно $${\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .$$

Вычисляем собственные значения матрицы $\mathbf {T}$ это удовлетворяет ваш собственный вопрос $$[{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,$$вычислив определитель $${\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.$$

Позволять $m={\frac {(A+D)}{2}}$, и у нас есть собственные значения $\lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}$.

По ценностям $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$, есть несколько возможных случаев. Например:

1. Пара действительных собственных значений: $r$ и $r^{-1}$, где $r\neq 1$. Этот корпус представляет собой лупу ${\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}$
2. $\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$ или $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-1$. Этот случай представляет собой единичную матрицу (или с дополнительным преобразователем координат) ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$.
3. $\lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1$. Этот случай имеет место тогда, но не только тогда, когда система является либо единичным оператором, либо участком свободного пространства, либо линзой.
4. Пара двух унимодулярных комплексно-сопряженных собственных значений. $e^{i\theta }$ и $e^{-i\theta }$. Этот случай аналогичен разделимому дробному преобразованию Фурье .

Матрицы для простых оптических компонентов

Элемент	Матрица	Примечания
Распространение в свободном пространстве или в среде с постоянным показателем преломления.	${\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}$	d = расстояние
Преломление на плоской границе раздела	${\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}$	n 1 = начальный показатель преломления n 2 = конечный показатель преломления.
Преломление на изогнутой границе раздела	${\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}$	R = радиус кривизны, R > 0 для выпуклости (центр кривизны после границы раздела) n 1 = начальный показатель преломления n 2 = конечный показатель преломления.
Отражение от плоского зеркала	${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	Действительно для плоских зеркал, ориентированных под любым углом к ​​падающему лучу. И луч, и оптическая ось отражаются одинаково, поэтому общего изменения наклона или положения не происходит.
Отражение от изогнутого зеркала	${\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R_{e}}}&1\end{pmatrix}}$	$R_{e}=R\cos \theta$ эффективный радиус кривизны в тангенциальной плоскости (горизонтальном направлении) $R_{e}=R/\cos \theta$ эффективный радиус кривизны в сагиттальной плоскости (вертикальное направление) R = радиус кривизны, R > 0 для вогнутости, справедливо в параксиальном приближении. $\theta$ – угол падения зеркала в горизонтальной плоскости.
Тонкая линза	${\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{pmatrix}}$	f = фокусное расстояние линзы, где f > 0 для выпуклой/положительной (собирающей) линзы. Действительно только в том случае, если фокусное расстояние намного больше толщины линзы.
Толстая линза	${\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{2}n_{1}}}&{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{1}n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}$	n 1 = показатель преломления снаружи линзы. n 2 = показатель преломления самой линзы (внутри линзы). R 1 = Радиус кривизны Первой поверхности. R 2 = Радиус кривизны Второй поверхности. t = толщина центра линзы.
Одиночная призма	${\begin{pmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}$	$k=(\cos \psi /\cos \phi )$ – коэффициент расширения луча , где $\phi$ - угол падения, $\psi$ – угол преломления, d = длина пути призмы, n = показатель преломления материала призмы. Эта матрица применяется для ортогонального выхода луча.
Многопризменный расширитель луча с использованием r- призм	${\begin{pmatrix}M&B\\0&{\frac {1}{M}}\end{pmatrix}}$	M — общее увеличение луча, определяемое формулой $M=k_{1}k_{2}k_{3}\cdots k_{r}$, где k определено в предыдущей записи, а B — общее расстояние оптического распространения многопризменного расширителя.

лучевой оптикой и волновой

Теория линейного канонического преобразования предполагает связь между матрицей переноса лучей ( геометрической оптикой ) и волновой оптикой.

Элемент	Матрица в геометрической оптике	Оператор волновой оптики	Примечания
Масштабирование	${\begin{pmatrix}b^{-1}&0\\0&b\end{pmatrix}}$	${\mathcal {V}}[b]u(x)=u(bx)$
Квадратичный фазовый коэффициент	${\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}}$	$Q[c]=\exp i{\frac {k_{0}}{2}}cx^{2}$	$k_{0}$: волновое число
Оператор Френеля распространения в свободном пространстве	${\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}$	${\mathcal {R}}[d]\left\{U\left(x_{1}\right)\right\}={\frac {1}{\sqrt {i\lambda d}}}\int _{-\infty }^{\infty }U\left(x_{1}\right)e^{i{\frac {k}{2d}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}dx_{1}$	$x_{1}$: координата источника $x_{2}$: координата цели
Нормализованный оператор преобразования Фурье	${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$	${\mathcal {F}}=\left(i\lambda _{0}\right)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\exp \left(ik_{0}px\right)\right]\ldots$

Общее разложение

Существует бесконечное количество способов разложения матрицы переноса лучей. $\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ в конкатенацию нескольких матриц передачи. Например, в частном случае, когда $n_{1}=n_{2}$:

1. ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\D/B&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}B&0\\0&1/B\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\A/B&1\end{array}}\right]$.
2. ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/A&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}A&0\\0&A^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\\0&1\end{array}}\right]$
3. ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&A/C\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0\\0&-C\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&D/C\\0&1\end{array}}\right]$
4. ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&B/D\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\\0&D\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/D&1\end{array}}\right]$

Стабильность резонатора

РТМ-анализ особенно полезен при моделировании поведения света в оптических резонаторах , например, используемых в лазерах. В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух одинаковых обращенных друг к другу зеркал со 100% отражательной способностью и радиусом кривизны R , разделенных некоторым расстоянием d . Для целей трассировки лучей это эквивалентно серии одинаковых тонких линз с фокусным расстоянием f = R /2, каждая из которых отделена друг от друга длиной d . Эта конструкция известна как эквивалентный линзе канал или , эквивалентный линзе волновод . RTM каждой секции волновода, как указано выше, $$\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}$$.

Теперь RTM-анализ можно использовать для определения стабильности волновода (и, что то же самое, резонатора). То есть можно определить, при каких условиях свет, идущий по волноводу, будет периодически перефокусироваться и оставаться внутри волновода. Для этого можно найти все «собственные лучи» системы: входной лучевой вектор на каждом из упомянутых участков волновода, умноженный на действительный или комплексный коэффициент λ, равен выходному. Это дает: $$\mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.$$которое представляет собой уравнение собственных значений : $$\left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,$$где I 2×2 — единичная матрица .

Приступим к вычислению собственных значений трансфер-матрицы: $$\det \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0,$$что приводит к характеристическому уравнению $$\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,$$где $$\operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}$$является следом RTM, и $$\det(\mathbf {M} )=AD-BC=1$$является определителем RTM. После одной обычной замены имеем: $$\lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,$$где $$g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}$$– параметр устойчивости . Собственные значения являются решениями характеристического уравнения. По квадратичной формуле находим $$\lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.$$

Теперь рассмотрим луч после того, как N пройдет через систему: $${\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.$$

Если волновод устойчив, ни один луч не должен отклоняться сколь угодно далеко от главной оси, т. е. λ ^Н не должен расти без ограничений. Предполагать $g^{2}>1$. Тогда оба собственных значения действительны. С $\lambda _{+}\lambda _{-}=1$, один из них должен быть больше 1 (по абсолютной величине), что означает, что луч, соответствующий этому собственному вектору, не будет сходиться. Следовательно, в устойчивом волноводе $g^{2}\leq 1$, а собственные значения могут быть представлены комплексными числами: $$\lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },$$с заменой g = cos( φ ) .

Для $g^{2}<1$ позволять $r_{+}$ и $r_{-}$ — собственные векторы относительно собственных значений $\lambda _{+}$ и $\lambda _{-}$ соответственно, которые охватывают все векторное пространство, поскольку они ортогональны, последнее из-за $\lambda _{+}\neq \lambda _{-}$. Таким образом, входной вектор можно записать как $$c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},$$для некоторых констант $c_{+}$ и $c_{-}$.

После N секторов волновода выходные данные будут выглядеть так: $$\mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},$$что представляет собой периодическую функцию.

Гауссовы пучки

Те же матрицы можно использовать и для расчета эволюции гауссовских пучков. распространяющиеся через оптические компоненты, описываемые одними и теми же матрицами передачи. Если у нас есть гауссовский луч с длиной волны $\lambda _{0}$, радиус кривизны R (положительный для расходящегося, отрицательный для сходящегося), размер пятна луча w и показатель преломления n можно определить , комплексный параметр луча q по формуле: $${\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.$$

( R , w и q являются функциями положения.) Если ось луча находится в направлении z , с перетяжкой на уровне $z_{0}$ и диапазон Рэлея $z_{R}$, это можно эквивалентно записать как $$q=(z-z_{0})+iz_{R}.$$

Этот луч может распространяться через оптическую систему с заданной матрицей переноса лучей, используя уравнение : $${\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},$$где k — константа нормализации, выбранная так, чтобы второй компонент вектора луча оставался равным 1. Используя умножение матриц , это уравнение расширяется как $$q_{2}=k(Aq_{1}+B)$$и $$1=k(Cq_{1}+D)$$

Деление первого уравнения на второе устраняет константу нормализации: $$q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},$$

Последнее уравнение часто удобно выразить в обратной форме: $${\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.$$

Пример: Свободное место

Рассмотрим луч, проходящий расстояние d через свободное пространство, матрица переноса луча равна $${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}.$$и так $$q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d$$согласуется с приведенным выше выражением для обычного гауссовского распространения луча, т.е. $q=(z-z_{0})+iz_{R}$. По мере распространения луча изменяются как радиус, так и перетяжка.

Пример: Тонкая линза

Рассмотрим луч, проходящий через тонкую линзу с фокусным расстоянием f . Матрица переноса лучей $${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}.$$и так $$q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}$$$${\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}.$$ только действительная часть 1/ q Затрагивается : кривизна волнового фронта 1/ R уменьшается за счет мощности линзы 1/ f , а боковой размер луча w остается неизменным при выходе из тонкой линзы.

Матрицы более высокого ранга

В оптическом анализе также используются методы, использующие матрицы переноса более высокой размерности: 3×3, 4×4 и 6×6. В частности, матрицы распространения 4×4 используются при проектировании и анализе призменных последовательностей для сжатия импульсов в фемтосекундных лазерах .

См. также

• Трансфер-матричный метод (оптика)
• Линейное каноническое преобразование

Дальнейшее чтение

• Восточный Э.А. Салех и Малвин Карл Тейх (1991). Основы фотоники Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. Раздел 1.4, с. 26 – 36 .
• А. Джеррард, Дж. М. Берч, «Введение в матричные методы в оптике», исправленное издание, Dover Publications.

Внешние ссылки

• Толстые линзы (Матричные методы)
• Учебное пособие по матрицам ABCD. Содержит пример системной матрицы всей системы.
• Калькулятор ABCD Интерактивный калькулятор, помогающий решать матрицы ABCD.
• Simple Optical Designer (приложение для Android) Приложение для исследования оптических систем с использованием метода матрицы ABCD.