Трансфер-матричный метод (оптика)

О методе матрицы переноса в геометрической оптике см. Анализ матрицы переноса лучей . Информацию о методе трансфер-матрицы в статистической физике см. в разделе « Метод трансфер-матрицы» .

Распространение луча через слой

Метод матрицы переноса — метод, используемый в оптике и акустике для анализа распространения электромагнитных или акустических волн через стратифицированную среду ; стопка тонких пленок . Это актуально, например, для проектирования просветляющих покрытий и диэлектрических зеркал .

Отражение от света . единой границы раздела двух описывается уравнениями Френеля сред Однако при наличии нескольких интерфейсов , как показано на рисунке, сами отражения также частично передаются, а затем частично отражаются. В зависимости от точной длины пути эти отражения могут мешать деструктивно или конструктивно. Общее отражение слоистой структуры представляет собой сумму бесконечного числа отражений.

Метод матрицы переноса основан на том, что согласно уравнениям Максвелла существуют простые условия непрерывности электрического поля через границы от одной среды к другой. Если поле в начале слоя известно, поле в конце слоя можно получить с помощью простой матричной операции. Затем стопку слоев можно представить как системную матрицу, которая является произведением матриц отдельных слоев. Последний шаг метода включает преобразование матрицы системы обратно в коэффициенты отражения и передачи .

Формализм электромагнитных волн

Ниже описано, как матрица переноса применяется к электромагнитным волнам (например, свету) заданной частоты, распространяющимся через стопку слоев при нормальном падении . Его можно обобщить для рассмотрения падения под углом, поглощающих сред и сред с магнитными свойствами . Мы предполагаем, что слои стопки перпендикулярны $z\,$ оси и что поле внутри одного слоя можно представить как суперпозицию бегущей влево и вправо волны с волновым числом $k\,$,

$E(z)=E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz}\,$.

следует Потому что из уравнения Максвелла , что электрическое поле $E\,$ и магнитное поле (его нормированная производная) ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ должно быть непрерывным на границе, поле удобно представить в виде вектора ${\textstyle (E(z),H(z))\,}$, где

$H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,$.

Поскольку существуют два уравнения, связывающие $E\,$ и $H\,$ к $E_{r}\,$ и $E_{l}\,$, эти два представления эквивалентны. В новом представлении распространение на расстояние $L\,$ в положительном направлении $z\,$ описывается матрицей, принадлежащей специальной линейной группе SL( 2 , C )

$M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\sin kL\\{\frac {i}{Z_{c}}}\sin kL&\cos kL\end{array}}\right),$

и

$\left({\begin{array}{c}E(z+L)\\H(z+L)\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(z)\\H(z)\end{array}}\right)$

Такая матрица может представлять распространение через слой, если $k\,$ – волновое число в среде и $L\,$ толщина слоя:Для системы с $N\,$ слои, каждый слой $j\,$ имеет матрицу переноса $M_{j}\,$, где $j\,$ увеличивается в сторону более высокого $z\,$ ценности. Тогда матрица передачи системы будет равна

$M_{s}=M_{N}\cdot \ldots \cdot M_{2}\cdot M_{1}.$

Обычно хотелось бы знать коэффициенты отражения и пропускания слоистой структуры. Если стек слоев начинается с $z=0\,$, то для отрицательного $z\,$, поле описывается как

$E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,$

где $E_{0}\,$ - амплитуда приходящей волны, $k_{L}\,$ волновое число в левой среде и $r\,$ – амплитудный (не интенсивность!) коэффициент отражения слоистой структуры. На другой стороне слоистой структуры поле состоит из передаваемого поля, распространяющегося вправо.

$E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',$

где $t\,$ – амплитудное пропускание, $k_{R}\,$ волновое число в самой правой среде, а $L'$ это общая толщина. Если ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ и ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$, то можно решить

$\left({\begin{array}{c}E(z_{R})\\H(z_{R})\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(0)\\H(0)\end{array}}\right)$

с точки зрения матричных элементов $M_{mn}\,$ системной матрицы $M_{s}\,$ и получить

$t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i(k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\right]$

и

$r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11})}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\right]$.

Коэффициент пропускания и отражения (т. е. доли падающей интенсивности ${\textstyle \left|E_{0}\right|^{2}}$ передаваемые и отражаемые слоем) часто имеют более практическое применение и определяются как ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ и $R=|r|^{2}\,$соответственно (при нормальной заболеваемости).

Пример

В качестве иллюстрации рассмотрим один слой стекла с показателем преломления n и толщиной d, подвешенный в воздухе с волновым числом k (в воздухе). В стекле волновое число равно $k'=nk\,$. Матрица переноса

$M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)$.

Амплитудный коэффициент отражения можно упростить до

$r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}$.

Эта конфигурация эффективно описывает интерферометр Фабри – Перо или эталон: для ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$, отражение исчезает.

Акустические волны

К звуковым волнам можно применить метод матрицы переноса. Вместо электрического поля E и его производной H смещение u и напряжение $\sigma =Cdu/dz$, где $C$ модуль p-волны следует использовать .

Формализм матрицы Абелеса

Отражение от многослойного интерфейса

Абелеса Матричный метод это быстрый и простой в вычислительном отношении способ расчета зеркальной отражательной способности от слоистого интерфейса как функции перпендикулярной импульса передачи Q _z :

$Q_{z}={\frac {4\pi }{\lambda }}\sin \theta =2k_{z}$

где θ — угол падения/отражения падающего излучения , а λ — длина волны излучения.Измеренная отражательная способность зависит от изменения плотности длины рассеяния (SLD).профиль ρ ( z ), перпендикулярный границе раздела. Хотя профиль плотности длины рассеянияобычно является непрерывно меняющейся функцией, структуру интерфейса часто можно хорошо аппроксимировать моделью пластины, в которой слои толщиной ( d _n ), плотностью длины рассеяния ( ρ _n ) и шероховатостью ( σ _n,n+1 ) расположены между супер- и субфазами. Затем используется процедура уточнения, чтобы минимизировать различия между теоретическими и измеренными кривыми отражательной способности путем изменения параметров, описывающих каждый слой.

В этом описании интерфейс разделен на n слоев. Поскольку падающий нейтронный пучокпреломляется каждым из слоев, волновой вектор k в слое n определяется выражением:

$k_{n}={\sqrt {{k_{z}}^{2}-4\pi ({\rho }_{n}-{\rho }_{0})}}$

Коэффициент отражения Френеля между слоями n и n+1 тогда определяется следующим образом:

$r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}$

Поскольку граница между каждым слоем вряд ли будет идеально гладкой, шероховатость/диффузность каждой границы изменяет коэффициент Френеля и учитывается функцией ошибок , как описано Невотом и Кроче (1980) .

$r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}\exp(-2k_{n}k_{n+1}{\sigma _{n,n+1}}^{2})$

Вводится фазовый коэффициент β , который учитывает толщину каждого слоя.

$\beta _{0}=0$

$\beta _{n}=ik_{n}d_{n}$

где $i^{2}=-1$. характеристическая матрица c _n Затем для каждого слоя рассчитывается .

$c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _{n}\right)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\right)&\exp \left(-\beta _{n}\right)\end{array}}\right]$

Результирующая матрица определяется как упорядоченное произведение этих характеристических матриц.

$M=\prod _{n}c_{n}$

откуда коэффициент отражения рассчитывается как:

$R=\left|{\frac {M_{10}}{M_{00}}}\right|^{2}$

См. также

• Нейтронная рефлектометрия
• Эллипсометрия
• Исчисление Джонса
• Отражательная способность рентгеновских лучей
• Метод матрицы рассеяния

Дальнейшее чтение

• Многослойная отражательная способность : вычисление вероятностей передачи и отражения на основе первых принципов из многослойного слоя с комплексными показателями преломления.
• Слоистые материалы и диаграммы фотонных зон (лекция 23) в открытом курсе Массачусетского технологического института . Электронные, оптические и магнитные свойства материалов .
• Распространение электромагнитных волн через тонкие пленки и многослойные материалы (лекция 13) на открытом курсе Массачусетского технологического института « Процессы переноса нано-макро» . Включает короткое обсуждение акустических волн.

Внешние ссылки

Существует ряд компьютерных программ, реализующих этот расчет:

• FreeSnell — это отдельная компьютерная программа, реализующая метод матрицы переноса, включая более сложные аспекты, такие как гранулированные пленки.
• Thinfilm — веб-интерфейс, реализующий метод матрицы передачи, выводящий коэффициенты отражения и прохождения, а также эллипсометрические параметры Psi и Delta.
• Luxpop.com — еще один веб-интерфейс, реализующий метод трансфер-матрицы.
• Программы расчета трансфер-матриц на Python и Mathematica .
• Программное обеспечение EMPy («Электромагнитный Python») .
• motofit — программа для анализа данных нейтронной и рентгеновской рефлектометрии.
• OpenFilters — программа для проектирования оптических фильтров.
• Py_matrix — это код Python с открытым исходным кодом, который реализует метод матрицы переноса для многослоев с произвольными тензорами диэлектрической проницаемости. Он был специально создан для плазмонных и магнитоплазмонных расчетов.
• Калькулятор и установщик в браузере. Интерактивный калькулятор отражательной способности Javascript с использованием матричного метода и аппроксимации шероховатости Нево-Кроче (расчетное ядро ​​преобразовано из C через Emscripten )