Трансфер-матричный метод

О методе в оптике см. Метод трансфер-матрицы (оптика) .

В статистической механике метод трансфер-матрицы представляет собой математический метод , который используется для записи статистической суммы в более простую форму. Его представили в 1941 году Ганс Крамерс и Грегори Ванньер . Во многих одномерных решетчатых моделях статистическая сумма сначала записывается как n -кратное суммирование по каждому возможному микросостоянию , а также содержит дополнительное суммирование вклада каждого компонента в энергию системы внутри каждого микросостояния.

Обзор

Модели более высокой размерности содержат еще больше суммаций. Для систем, содержащих более нескольких частиц, такие выражения могут быстро стать слишком сложными, чтобы их можно было вычислить напрямую, даже на компьютере.

Вместо этого функцию раздела можно переписать эквивалентным образом. Основная идея состоит в том, чтобы записать статистическую сумму в виде

${\mathcal {Z}}=\mathbf {v} _{0}\cdot \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}\cdot \mathbf {v} _{N+1}$

где v0 _{размером} и vN _{трансфер - +1} векторы размерности p , а p × p матрицы Wk _— — так называемые матрицы . В некоторых случаях, особенно для систем с периодическими граничными условиями, статистическую сумму можно записать проще:

${\mathcal {Z}}=\operatorname {tr} \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}$

где «tr» обозначает трассировку матрицы . В любом случае статистическую сумму можно точно решить с помощью собственного анализа . Если все матрицы представляют собой одну и ту же матрицу W , статистическую сумму можно аппроксимировать как N ^й степень наибольшего собственного значения W , поскольку след представляет собой сумму собственных значений, а собственные значения произведения двух диагональных матриц равны произведению их отдельных собственных значений.

Метод трансфер-матрицы используется, когда всю систему можно разбить на последовательность подсистем, взаимодействующих только со смежными подсистемами. Например, трехмерная кубическая решетка спинов в модели Изинга может быть разложена на последовательность двумерных плоских решеток спинов, которые взаимодействуют только смежно. Размерность p передаточной матрицы p × p равна количеству состояний, которые может иметь подсистема; сама матрица передачи W _k кодирует статистический вес , связанный с конкретным состоянием подсистемы k - 1, находящимся рядом с другим состоянием подсистемы k .

Важно отметить, что методы трансфер-матрицы позволяют рассматривать вероятностные решетчатые модели с алгебраической точки зрения, позволяя, например, использовать результаты теории представлений.

В качестве примера наблюдаемых, которые можно вычислить с помощью этого метода, можно привести вероятность определенного состояния. $m$ происходящее в позиции x, определяется следующим образом:

$\mathrm {Pr} _{m}(x)={\frac {\operatorname {tr} \left[\prod _{k=1}^{x}\mathbf {W} _{k}\mathbf {Pj} \prod _{k'=x+1}^{N}\mathbf {W} _{k'}\right]}{\operatorname {tr} \left[\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right]}}$

Где $Pj$ это матрица проекции состояния $m$, имеющий элементы $Pj_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }\delta _{\mu m}$

Методы трансфер-матрицы сыграли решающую роль для многих точных решений задач статистической механики , включая модели Зимма-Брэгга и Лифсона-Ройга перехода спираль-клубок , модели трансфер-матрицы для связывания белка с ДНК , а также знаменитое точное решение. двумерной модели Изинга Ларса Онсагера .

См. также

• Оператор трансфера

Ссылки

Примечания

• Родни Дж. Бакстер (1982). Точно решенные модели статистической механики . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-083182-1 .
• Тейф В.Б. (2007). «Общий формализм матрицы переноса для расчета связывания ДНК-белка-лекарства в регуляции генов» . Нуклеиновые кислоты Рез . 35 (11): е80. дои : 10.1093/нар/gkm268 . ЧВК   1920246 . ПМИД   17526526 .
• Ефремов А.К., Винарди Р.С., Ян Дж. (2016). «Трансфер-матричные расчеты микромеханики ДНК-полимеров при ограничениях на растяжение и крутящий момент» . Физ. Преподобный Е. 94 (3): 032404. Бибкод : 2016PhRvE..94c2404E . дои : 10.1103/PhysRevE.94.032404 . ПМИД   27739846 .
• Ефремов А.К., Ян Дж (2018). «Трансфер-матричные расчеты влияния ограничений натяжения и крутящего момента на взаимодействия ДНК-белок» . Нуклеиновые кислоты Рез . 46 (13): 6504–6527. дои : 10.1093/nar/gky478 . ПМК   6061897 . ПМИД   29878241 .