Множественность (статистическая механика)

В статистической механике под множественностью (также называемой статистическим весом ) понимают число микросостояний, соответствующих определенному макросостоянию термодинамической системы . Обычно обозначается $\Omega$, это связано с конфигурационной энтропией изолированной системы по формуле энтропии Больцмана $$S=k_{\text{B}}\log \Omega ,$$где $S$ это энтропия и $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана .

Пример: парамагнетик с двумя состояниями

с двумя состояниями Упрощенная модель парамагнетика представляет собой пример процесса расчета множественности конкретного макросостояния. Эта модель состоит из системы N микроскопических диполей μ , которые могут быть выровнены или направлены против внешнего магнитного B. поля Позволять $N_{\uparrow }$ представляют количество диполей, ориентированных на внешнее поле, и $N_{\downarrow }$ представляют количество противонаправленных диполей. Энергия одиночного ориентированного диполя равна $U_{\uparrow }=-\mu B,$ а энергия противонаправленного диполя равна $U_{\downarrow }=\mu B;$ таким образом, общая энергия системы равна $$U=(N_{\downarrow }-N_{\uparrow })\mu B.$$

Цель состоит в том, чтобы определить кратность как функцию U ; оттуда можно определить энтропию и другие термодинамические свойства системы. Однако в качестве промежуточного шага полезно вычислить кратность как функцию $N_{\uparrow }$ и $N_{\downarrow }.$ Этот подход показывает, что количество доступных макросостояний равно N + 1 . Например, в очень маленькой системе с N = 2 диполями имеются три макросостояния, соответствующие $N_{\uparrow }=0,1,2.$ Поскольку $N_{\uparrow }=0$ и $N_{\uparrow }=2$ макросостояния требуют, чтобы оба диполя были либо антивыровнены, либо выровнены, соответственно, множественность любого из этих состояний равна 1. Однако в $N_{\uparrow }=1,$ любой диполь может быть выбран для выровненного диполя, поэтому множественность равна 2. В общем случае множественность состояния или количество микросостояний с $N_{\uparrow }$ выровненные диполи следует из комбинаторики , что приводит к $$\Omega ={\frac {N!}{N_{\uparrow }!(N-N_{\uparrow })!}}={\frac {N!}{N_{\uparrow }!N_{\downarrow }!}},$$где второй шаг следует из того, что $N_{\uparrow }+N_{\downarrow }=N.$

С $N_{\uparrow }-N_{\downarrow }=-{\tfrac {U}{\mu B}},$ энергия U может быть связана с $N_{\uparrow }$ и $N_{\downarrow }$ следующее: $${\begin{aligned}N_{\uparrow }&={\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}}\\[4pt]N_{\downarrow }&={\frac {N}{2}}+{\frac {U}{2\mu B}}.\end{aligned}}$$

Таким образом, окончательное выражение для множественности как функции внутренней энергии имеет вид $$\Omega ={\frac {N!}{\left({\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}}\right)!\left({\frac {N}{2}}+{\frac {U}{2\mu B}}\right)!}}.$$

Это можно использовать для расчета энтропии в соответствии с формулой энтропии Больцмана; оттуда можно рассчитать другие полезные свойства, такие как температура и теплоемкость.